圓形薄板在均布載荷作用下的撓度

1、第四節(jié)平板應(yīng)力分析平板應(yīng)力分析3.4.1 概述3.4.2 圓平板對(duì)稱彎曲微分方程3. 4.3圓平板中的應(yīng)力3.4.4承受對(duì)稱載荷時(shí)環(huán)板中的應(yīng)力3.4.1 概述1、應(yīng)用：平封頭：常壓容器、高壓容器；貯槽底板：可以是各種形狀；換熱器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盤：圓平板、帶加強(qiáng)筋的圓平板；反應(yīng)器觸媒床支承板等。2、平板的幾何特征及平板分類幾何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分 類：厚板與薄板、大撓度板和小撓度板。t/bWl/5時(shí)（薄板）w/tl/5時(shí)（小撓度）按小撓度薄板計(jì)算3、載荷與內(nèi)力載荷：平面載荷：作用于板中面內(nèi)的載荷橫向載荷垂直于板中面的載荷復(fù)合載荷內(nèi)力：薄膜力一中面內(nèi)的拉、壓

2、力和面內(nèi)剪力，并產(chǎn)生面內(nèi)變形彎曲內(nèi)力彎矩、扭矩和橫向剪力，且產(chǎn)生彎扭變形當(dāng)變形很大時(shí)，面內(nèi)載荷也會(huì)產(chǎn)生彎曲內(nèi)力，而彎曲載荷也會(huì)產(chǎn)生面內(nèi)力, 所以，大撓度分析要比小撓度分析復(fù)雜的多。本書僅討論彈性薄板的小撓度理論。4、彈性薄板的小撓度理論基本假設(shè)一克?；舴騅irchhoff板彎曲時(shí)其中面保持中性，即板中面內(nèi)各點(diǎn)無伸縮和剪切變形，只有沿中 面法線卬的撓度。只有橫向力載荷變形前位于中面法線上的各點(diǎn)，變形后仍位于彈性曲面的同一法線上，且 法線上各點(diǎn)間的距離不變。類同于梁的平面假設(shè):變形前原為平面的梁的橫截面變形后仍保持為平面， 且仍然垂直于變形后的梁軸線。平行于中面的各層材料互不擠壓，即板內(nèi)垂直于板面

3、的正應(yīng)力較小，可忽略不計(jì)。研究：彈性，薄板/受橫向載荷/小撓度理論/近似雙向彎曲問題3.4.2 圓平板對(duì)稱彎曲微分方程分析模型分析模型：半徑R,厚度t的圓平板受軸對(duì)稱載荷Pz,在r、。、z圓柱坐標(biāo)系 中，內(nèi)力Mr、M。、Qr三個(gè)內(nèi)力分量軸對(duì)稱性：幾何對(duì)稱，載荷對(duì)稱，約束對(duì)稱，在r、9、z圓柱坐標(biāo)系中，撓度 只是r的函數(shù)，而與。無關(guān)。求解思路：經(jīng)一系列推導(dǎo)（基于平衡、幾何、物理方程）一彎曲撓度微分方程（ ） 一求”求一內(nèi)力加、求應(yīng)力,、/微元體：用半徑為r和r+dr的圓柱面和夾角為d 0的兩個(gè)徑向截面截取板上一 微元體。微元體內(nèi)力：徑向：Mr、Mr+ (dMr/dr) dr周向：M。、M0橫向剪

4、力:橫、Qr+ (dQr/dr) dr微元體外力：上表面P = pjdOdr1、平衡方程微體內(nèi)力與外力對(duì)圓柱面切線T的力矩代數(shù)和為零，即EMT=OM,十XdMydr力)(， + 力卜- MrrdO - 2M /r sin ? + Qrrd Odr + p.rdOdr - = 0Mr +dM,drr- M8 + Qyr = 0(2-54)（圓平板在軸對(duì)稱載荷下的平衡方程）d.2、幾何協(xié)調(diào)方程（父2）取AB = Q,徑向截面上與中面相距為z,半徑為r與r+6兩點(diǎn)A與B構(gòu)成的微段板變形后:微段的徑向應(yīng)變?yōu)?#163;,= '"32 =1粵(第2假設(shè)) drdr過A點(diǎn)的周向應(yīng)變?yōu)?

5、A(第1假設(shè)) 24 rr作為小撓度*=-羋，帶入以上兩式，得dr應(yīng)變與撓度關(guān)系的幾何方程：(2-55)3、物理方程根據(jù)第3個(gè)假設(shè)，圓平板彎曲后，其上任意一點(diǎn)均處于兩向應(yīng)力狀態(tài)。由廣義虎克 定律可得圓板物理方程為：(2-56)4、圓平板軸對(duì)稱彎曲的小撓度微分方程 (2-55)代入(2-56)式：1 一，“廠?' dr )d2w(2-57)7+ -1 一 4dr dr通過圓板截面上彎矩與應(yīng)力的關(guān)系，將彎矩M和1%表示成堆的形式。由式(2-57)可見，和2沿著厚度(即z方向)均為線性分布，圖2-31中所示為徑向應(yīng)力的分布圖。圖2-31喇平板內(nèi)的應(yīng)力與內(nèi)力回的關(guān)%、%的線性分布力系便組成彎矩

6、M,。單位長度上的徑向彎矩為:<2-58a)M). = D同理此=-。'(2-58b)參照38頁殼體的抗彎剛度,“抗彎剛度”與圓板的幾何尺寸及材料性能有關(guān)12此(2-58)代入(2-57),得彎矩和應(yīng)力的關(guān)系式為:(2-59)(2一58)代入平衡方程Q-孫得：器+ ；2T與嶗即：受軸對(duì)稱橫向載荷圓形薄板小撓度彎曲微分方程:dr r dry旦D9(2-60)Or值可依不同載荷情況用靜力法求得3.4.3 圓平板中的應(yīng)力(圓平板軸對(duì)稱彎曲的小撓度微分方程的應(yīng)用)承受均布載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力：簡支固支承受集中載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力一、承受均布載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力圖2-32均布載荷作用時(shí)圓板

7、內(nèi)Q據(jù)圖2-32,可確定作用在半徑為r的圓柱截面上的剪力，即：。1二等=代入2Y0式中，得均布載荷作用下圓平板彎曲微分方程為:2D9對(duì)r連續(xù)兩次積分得到撓曲面在半徑方向的斜率:(2-61)dw pr C|f C2=11dr 16D'2 r對(duì)r連續(xù)三次積分，得到中面在彎曲后的撓度。w =+ + CJn r + C,（2-62）Cl、C2、C3均為積分常數(shù)。對(duì)于圓平板在板中心處（尸0）撓曲面之斜率與撓度均為有限值，因而要求積分常數(shù)C2 =0 ,于是上述方程改寫為：W =16。(2-63)64。'式中Cl、C3由邊界條件確定。下面討論兩種典型支承情況（兩種邊界條件）周邊固支圓平板周邊

8、簡支圓平板ppa.b.周邊固支圓平板周邊簡支圓平板圖2-33承受均布橫向載荷的圓板1、周邊固支圓平板：（在支承處不允許有撓度和轉(zhuǎn)角）a.周邊固支圓平板r = R,dw 八=0 drG=-% 將上述邊界條件代入式（2-63）,解得積分常數(shù)：'8?C*64。代入式（2-63）得周邊固支平板的斜率和撓度方程:(2-64)dr 16。'64。八）將撓度w對(duì)r的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)代入式（2-58）,便得固支條件下的周邊固支 圓平板彎矩表達(dá)式：%=£斤(1 + )-，(3+)16(2-65)% 啜出(1 + 4)-,。+ 3)由此(代入2-59)彎曲應(yīng)力計(jì)算試，可得r處上、下板面

9、的應(yīng)力表達(dá)式:d*繆=君代店(1+ )/(3 + )%8，(2-66)=+ = +14(l + A)-r2(l + 3/)周邊固支圓平板下表面的應(yīng)力分布，如圖2-34(a)所示。圖2-34圓板的彎曲應(yīng)力分布(板下表面)2、周邊簡支圓平板將上述邊界條件代入式(2-63),解得積分常數(shù)Cl、C3：代入式(2-63)得周邊簡支平板的撓度方程:(2-67)士 ，I *41 1 1 ，1 t 士 王單 一7；.77.；二.；一.777.7 二： 7 7 一 - 一. 4./ 、RR V， N周邊簡支圓平板彎矩表達(dá)式：M 咔(3+乂叱-，)也=譽(yù)"° + )- 。+ 34)：應(yīng)力表達(dá)式

10、：%=孑於(3 + 依2-,)=干翡的(3 + 4)-(1+3) O I可以看出，最大彎矩和相應(yīng)的最大應(yīng)力均在板中心處廠=0,(MJx =("e)max =*(3 + )=(q) =3(3 + 4)咚 1 /max u / maxo ”(2-68)(2-69)圖2-34圓板的彎曲應(yīng)力分布(板下表面)3、比較兩種支承a.邊界條件dw _周邊固支時(shí)：='石=r = R, w = 0r = R w = 0周邊簡支時(shí)：Rr = R, M y = 0b.撓度周邊固支時(shí)，最大撓度在板中心|匕、=（2-70）周邊簡支時(shí),最大撓度在板中心卬總5 + / “RA1 + 4 64。'(2

11、-71)簡支固支 ”_ 5 + 0.31+0.3= 4.08表明：周邊簡支板的最大撓度遠(yuǎn)大于周邊固支板的撓度。C.應(yīng)力周邊固支圓平板中的最大正應(yīng)力為支承處的徑向應(yīng)力，其值為(2-72)周邊簡支圓平板中的最大正應(yīng)力為板中心處的徑向應(yīng)力，其值為3(3 + /) pR2一 87(2-73)3.3T= 1.65得到匯max_3(2)皿_3尺2 Ixr 4 t簡支9 )a 固支(6)' r / max表明：周邊簡支板的最大正應(yīng)力大于周邊固支板的應(yīng)力。內(nèi)力引起的切應(yīng)力：在均布載荷P作用下，圓板柱面上的最大剪力（Q1nm =（ C = R處）,近似采用矩形截面梁中最大切應(yīng)力公式ax，2 bh最大正應(yīng)

12、力與（%同一量級(jí)；最大切應(yīng)力則與%同一量級(jí)。因而對(duì)于薄板Rt,板內(nèi)的正應(yīng)力遠(yuǎn)比切應(yīng)力大。從以上可以看出：（7皿與卬皿圓平板的材料（E、u）半徑、厚度有關(guān)。若構(gòu)成板的材料和載荷已確定，則減小半徑或增加厚度都可減小撓度和降低 最大正應(yīng)力。工程中較多的是采用改變其周邊支承結(jié)構(gòu)，使它更趨近于固支條件增加圓平板厚度或用正交柵格、圓環(huán)肋加固平板等方法來提高平板的強(qiáng)度與剛度 4、結(jié)論a.板內(nèi)為二向應(yīng)力狀態(tài)：彳、?且為彎曲應(yīng)力，平行于中面各層相互之間的正應(yīng)力區(qū)及剪力Qr引起的切應(yīng)力r均可予以忽略。b.應(yīng)力分布：沿厚度呈線性分布，且最大值在板的上下表面。沿半徑呈拋 物線分布,且與周邊支承方式有關(guān)。工程實(shí)際中的圓

13、板周邊支承是介于兩者之間的 形式。c.強(qiáng)度：簡支。黑（4）=（，）=123除固支&L=（6七=0.75普（5）、A ' /詈=1.659） maxd.剛度：周邊固支的圓平板在剛度和強(qiáng)度兩方面均優(yōu)于周邊簡支圓平板e(cuò).薄板結(jié)構(gòu)的最大彎曲應(yīng)力%皿與（%成正比，而薄殼的最大拉（壓）應(yīng)力 ba與%成正比。故在相同%條件下，薄板所需厚度比薄殼大。二、承受集中載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力撓度微分方程式（2-60）中，剪力0可由圖2-35中的平衡條件確定：。,=2-2冗r采用與求解均布載荷圓平板應(yīng)力相同的方法，可求得周邊固支與周邊簡支圓板的撓 度和彎矩方程及計(jì)算其應(yīng)力值圖2-35圓板中心承受集中載荷時(shí)板中的剪力紅3.4.4承受軸對(duì)稱載荷時(shí)環(huán)板中的應(yīng)力通常的環(huán)板仍主要受彎曲，仍可利用上述圓板的基本方程求解環(huán)板的應(yīng)力、應(yīng)變, 只是在內(nèi)孔邊緣上增加了 一個(gè)邊界條件。當(dāng)環(huán)板內(nèi)半徑和外半徑比較接近時(shí)，環(huán)板可簡化為圓環(huán)。圓環(huán)在沿其中心線（通 過形心）均布力矩M作用下，矩形截面只產(chǎn)生微小的轉(zhuǎn)角 而無其它變形，從而在圓環(huán) 上產(chǎn)生周向應(yīng)力。這類問題雖然為軸對(duì)稱問題