高等數(shù)額學(xué)5.6廣義積分

1、5 56 6 廣義積分廣義積分一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分在無窮區(qū)間a，)上的廣義積分在無窮區(qū)間(，b上的廣義積分在無窮區(qū)間(， )上的廣義積分在(a，b上以a為瑕點(diǎn)的廣義積分在a，b)上以b為瑕點(diǎn)的廣義積分在(a，b)上以c為瑕點(diǎn)的廣義積分一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，)上連續(xù)，取ba 如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a，)上的廣義積分，即dxxfa)( 如果上述極限不存在，函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a，)上的廣義blimdxxfba)(dxxfa)(記作 ，blimdxxfba)

2、(，積分 就沒有意義，dxxfa)(此時(shí)稱廣義積分 發(fā)散dxxfa)(這時(shí)也稱廣義積分 收斂；dxxfa)( 類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(，b 上連續(xù)，取a0) 例2發(fā)散當(dāng)p1時(shí)，這廣義積分發(fā)散11pap因此，當(dāng)p1時(shí)，這廣義積分收斂，其值為 ；例3 證明廣義積分 (a0)當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)dxxpa1 證 當(dāng)p1時(shí)，dxxpa1dxxa1 lnaxdxxpa1dxxa1 lnaxdxxpa1dxxa1 lnax當(dāng)p1時(shí)，dxxpa1 111apxp11papdxxpa1 111apxp11pap 二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分 定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b上連續(xù)，

3、而在點(diǎn)a 的右鄰域內(nèi)無界取0，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a，b上的廣義積分，仍然記作即，dxxfba)(dxxfba)( 如果上述極限不存在，就稱廣義積分 發(fā)散dxxfba)(dxxfba)(0limdxxfba)(0lim這時(shí)也稱廣義積分 收斂dxxfba)( 類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b)上連續(xù)，而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無界取0，如果極限dxxfba)(0lim存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在a，b)上的廣義積分，仍然記作即，dxxfba)(dxxfba)( 如果上述極限不存在，就稱廣義積分 發(fā)散dxxfba)(這時(shí)也稱廣義積分 收斂dxxfba)(dxxfba)(0lim 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上除點(diǎn) c(ac1時(shí)，當(dāng)q1時(shí)，當(dāng)q1時(shí)此廣義積分發(fā)散 例 6 證明廣義積分baqaxdx)(當(dāng) q1 時(shí)收斂；當(dāng) q1 時(shí)發(fā)散baqaxdx)(baaxdxbaax )ln( baqaxdx)(baaxq )(11baqaxdx)(baaxq )(11q11 因此，當(dāng) q1 時(shí)此廣義積分收斂，其值為q11(ba)1q；baqaxd