第四章 多項式與矩陣

1、第四章 多項式與矩陣計劃課時: 24學時 (P159-220).§4.1 帶余除法 多項式的整除性 (2學時)教學目的及要求：理解多項式的定義及整除的定義，掌握帶余除法及整除的性質(zhì)教學重點、難點： 帶余除法及帶余除法定理的證明本節(jié)內(nèi)容分以下四個問題講授：一 多項式的定義(P159定義1)注: 在講多項式的定義時, 重點放在形式表達式上注意區(qū)分零多項式和零次多項式.二 消去律問題(P161推論),在證這個結(jié)論時要強調(diào)指出,并不是在上式兩端除去而得結(jié)論, 因為這時我們還沒講多項式的除法.三 帶余除法(p161定理), 或這里要強調(diào)指出,用多項式去除時要求.注意：帶余除法定理的證明是本章的

2、難點之一。先通過一個具體的例子來演示多項式的長除法。四 整除的定義、性質(zhì)以及整除的判定 注意到這里定義整除時用的是多項式的乘法,不涉及多項式的除法, 因此由該定義就可得到:零多項式整除零多項式, 所以0|0（而不能用記號）.作業(yè)：P214，1，2，3，4，5. §4.2 最大公因式 (4學時)教學目的及要求：理解最大公因式、互素的定義和性質(zhì)，掌握輾轉(zhuǎn)相除法.教學重點、難點：1. 輾轉(zhuǎn)相除法2. 輾轉(zhuǎn)相除法的證明 本節(jié)內(nèi)容分以下三個問題講授：一最大公因式的定義(P164 167).注意：1.最大公因式的最大性是由整除來體現(xiàn)的.2.最大公因式一定是存在的.二最大公因式的求法(P166 1

3、67).（1）輾轉(zhuǎn)相除的過程.（2）注意: 輾轉(zhuǎn)相除過程中最后一個不為零的余式是的一個最大公因式,推下去,容易得到但滿足上式的不唯一(可舉例說明).三 多項式的互素(P170)注意:教材中講的是多個多項式互素的問題.在講授時,應(yīng)詳細講解兩個多項式互素問題:互素.另外, 補充三個性質(zhì): (1),則. (2)½ ,且,則½. (3)½,½,且,則½. 注意下面兩個結(jié)論的不同之處:作業(yè)：P215 7，8，10，11，12，19.§4.3 多項式的分解(4學時)教學目的及要求：理解不可約多項式、k重因式的定義，掌握它們的性質(zhì)及因式分解唯一性定

4、理教學重點、難點：因式分解存在與唯一性定理 本節(jié)內(nèi)容分為下面三個問題講授：一.不可約多項式的定義及性質(zhì)(P170-172)(1).不可約多項式是針對次數(shù)大于零的多項式而談的.換句話說,我們不討論零多項式與零次多項式的可約性問題.(2).不可約多項式與任意多項式f(x)的關(guān)系是: 要么, 要么,僅僅只有一個成立.二. 多項式分解成不可約多項式的乘積與數(shù)域有關(guān)若都是數(shù)域,且, 則在中的不可約分解與在中的不可約分解一般不同.例 若,是有理數(shù)域,是實數(shù)域.則在中, 的不可約分解是.而在中,的不可約分解是.三. 多項式的導數(shù)(P174的定義3)設(shè) 記的導數(shù)為,則這里導數(shù)的定義是純粹形式上的. 不涉及函數(shù)

5、、連續(xù)、極限等概念.作業(yè)： P215 13，14，15，16，17，18.§4.4 最大公因式的求法（I） （2學時）教學目的及要求：理解矩陣的準等價、準初等變換、簡單矩陣的定義，掌握用準初等變換將矩陣化為簡單矩陣的方法教學重點、難點：1. 用準初等變換求多項式系的最大公因式的方法2. 定理的證明本節(jié)內(nèi)容分下面三個問題講授：一. 多項式系矩陣A的最大公因式（定義1） 注：給定一個矩陣A,則A一定能確定一個多項式系 而這個多項式的最大公因式又叫矩陣A的最大公因式.二. 矩陣的準等價與矩陣的準初等變換()A與B有相同的最大公因式. 注: 兩個矩陣準等價時,行數(shù)不一定相等, 列數(shù)也不一定相

6、等.例如 , .A與B準等價,A是3行4列,B是2行3列.要注意到矩陣的準初等變換與矩陣的初等變換差別較大.三. 準初等變換與矩陣最大公因式的關(guān)系() 定理 準初等變換不改變矩陣的最大公因式. (證明略). 該定理的證明比較長,但并不復雜.可由3個引理直接得到, 這樣的證明簡明扼要.有了定理 便得到了求多個多項式最大公因式的矩陣求法.例2給出了求8個多項式最大公因式的矩陣準初等變換法. 與輾轉(zhuǎn)相除法比較, 該方法優(yōu)越的多.作業(yè)： P215-216 20. §4.5 最大公因式的矩陣求法() (4學時)教學目的及要求：掌握用x-矩陣的行初等變換求多項式的最大公因式的方法教學重點、難點：

7、1. 用x-矩陣的行初等變換求多項式的最大公因式的方法2. 定理的證明本節(jié)內(nèi)容分下面四個問題講授：一.方法()與方法(I)的區(qū)別.§4.4 的例2給出了求最大公因式的矩陣準初等變換法. 它們的最大公因式是. 因此一定有使.但方法(I)并沒有告訴我們?nèi)绾吻? 本節(jié)講的方法()就彌補了這一點.二. -矩陣與初等變換() 以中多項式為元素的矩陣稱為F上的-矩陣, 根據(jù)這一定義, 以數(shù)為元素的矩陣是-矩陣的特殊情形. 換句話說，以數(shù)域F上的數(shù)為元素的矩陣也是F上的-矩陣. 此時矩陣中的元素是零多項式或者零次多項式. 由于以F上的為元素的矩陣也是-矩陣, 因此, 通常講的矩陣的初等變換必是-矩

8、陣的初等變換的特殊情形.三. 個基本結(jié)論() 引理，, .(證明略).在上述幾個結(jié)論的支持下,可得到求多項式最大公因式,并同時可求出相應(yīng)的使得詳細講解例1().作業(yè)： P216 21（1），22. §4.6 多項式的根 (4學時)教學目的及要求：理解多項式函數(shù)、k重根的定義及相關(guān)理論，理解代數(shù)學基本定理及韋達定理，掌握綜合除法、有理根的篩選法教學重點、難點：1. 綜合除法、多項式根的個數(shù)、有理根的篩選法2. 定理的證明本節(jié)內(nèi)容可分下面四個問題講授：一從函數(shù)的觀點看多項式()前面我們總是把多項式看做形式表達式. 本節(jié)我們將從函數(shù)的視角考察多項式.設(shè) 用F中的數(shù)代替, 得由于數(shù)域?qū)印p

9、、乘, 除四種運算封閉. 所以 是F中一個數(shù), 記這個數(shù)為. 這正符合映射的定義 =.這個映射就叫做由數(shù)域F上多項式f(x)所確定的多項式函數(shù).二 多項式的根與綜合除法()是的根=0.是的根.三 介紹幾個基本結(jié)論() 引理,，,.四 本原多項式與有理根()定理給出求整系數(shù)多項式有理根的一種方法. 注意到, 定理給出的是有有理根的一個必要條件而非充分條件. 也就是說，滿足條件的許多有理數(shù)不是的根.作業(yè)： P216 23，24，25，27，28，29，31.*§4.7 X-矩陣的標準形*§4.8 數(shù)字矩陣相似的充要條件*§4.9 Cayley-Hamilton定理 最小多項式 這三節(jié)內(nèi)容不作講述要求,供學生自學,也不作考試要求.需要說明的是這部分選學內(nèi)容比前面的選學內(nèi)容難一些, 讀不懂也沒關(guān)系, 有一個