空間向量及其運(yùn)算知識(shí)總結(jié)

1、廈門一中2011級數(shù)學(xué)競賽講座7空間向量及其運(yùn)算1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量 +向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量 空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示+2. 空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下JA'_iJa f fr iI i I DC'B'OB = OA AB = a b ； BA = OA - OB = a - b ； OP = a（1 二 R） 運(yùn)算律：加法交換律：a b = b a加法結(jié)合律：（a b） c = a

2、 （b c）數(shù)乘分配律：（ab） - 'a 'b3平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量a到A B CD的軌跡所形成的幾何體， 叫做平行六面體，并記作： ABCD- A B C D - +它的六個(gè)面都是平行四邊 形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱 4. 平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直 線上，所以平行向量也叫做共線向量.向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入使b =入孑要注意其中對向量 a的非零要求.5 .共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行 向量.a

3、平行于b記作a/b .當(dāng)我們說向量a、b共線（或a b ）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直 線，也可能是平行直線.6.共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b （ b豐0 ）, a/ b的充要條件是存在實(shí)數(shù) 入使a=Ab .推論：如果丨為經(jīng)過已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a的直線，那么 對于任意一點(diǎn)0,點(diǎn)P在直線丨上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t滿足等式OP =OA t a 其中向量a叫做直線丨的方向向量.空間直線的向量參數(shù)表示式：OP =OA t a或 OP -OA t（OB -OA）二（1 -t）OA tOB ,一 1O中點(diǎn)公式.OP （OA OB）2# T #7 .向量與平面平行：

4、已知平面和向量a，作OA = a ,如果直線OA平行于:或在內(nèi)，那么我們說向量a平行于 平面，記作：a ：.通常我們把平行于同一平面的向量， 叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的8.共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a, b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù) x, y使p = xa yb +a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有a,b,c叫做基向量，空間任意共面，我們把,b,C叫做空間的一個(gè)基底,推論：空間一點(diǎn)P位于平面 MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y ,使 -4MP二xMA y M BD或?qū)臻g任一點(diǎn) O，有OP = OM xMA yMBT + T

5、 F或 OP = xOA yOB zOM ,(x y z = 1)上面式叫做平面 MAB的向量表達(dá)式9 一空間向量基本定理：如果三個(gè)向量i .序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使 p - yb - zc.若三向量a,b,c不三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底推論：設(shè)O,代B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z ,_ T使 OP =xOA yOB zOC*10 .空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn) O,作0A = ；,OB = b ,則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作：:a,b -；且規(guī)定0 _： a,b :,顯然有4 ? i 4

6、呻斗 兀4.44:a,b =: b,a；若:a,b，則稱a與b互相垂直，記作： a_ b.2Tj斗則有向線段 0A的長度叫做向量 a的長度或模，記作：|a|.詁a,b，則| a | |b | cos ： a,b -叫做a,b的數(shù)量積，記作a b，即ii向量的模：設(shè)OA=a,a b = |a'| |b| co§：a,b .已知向量AB =a和軸l ,在I上的射| A B | =| AB | cos ： a, e =| a 61.13. 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：(1) a e =| a | cos : a, e14. 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：(1) (' a) b (a b)

7、-.和軸I , 6是I上與I同方向的單位向量，作點(diǎn) A在I上的射影2 B ，貝則AB叫做向量 AB在軸I上或在e上的正射影.可以證明-.(2) a _ b = a b = 0. (3) |a |2£)二 a ( b) . (2)a b 二 b a (交換律).(3) a (b c = a b a c (分配律)作點(diǎn)B的長度 ; / aa 盲7|K a a.> /'.b/B- /空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算1，空間直角坐標(biāo)系：(1) 若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為1,這個(gè)基底叫單位正交基底，用i, j, k表示；扌# T(2) 在空間選定一點(diǎn) O和一個(gè)單位正交

8、基底i, j,k,以點(diǎn)O為原點(diǎn)， 分別以i,j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸： 們都叫坐標(biāo)軸.我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系向量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為2.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：T在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中，對空間任一點(diǎn) 0A = xi yj zk,有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫作向量x軸、y軸、z軸，它O -xyz，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量xOy平面，yOz平面，i, j,k都叫坐標(biāo)zOx平面；(x, y,z)，使A在空間直角坐標(biāo)系 O - xyz中的坐標(biāo)，記作A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組12.向量的數(shù)量積：已知向量A（x,y,z） , x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo).常見

9、坐標(biāo)系正方體：如圖所示，正方體 ABCD 一 A'B'C'D'的棱長為a，一般 選擇點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD '所在直線分別為x軸、y軸、z軸建 立空間直角坐標(biāo)系D -xyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為亦可選A點(diǎn)為原點(diǎn).在長方體中建立空間直角坐標(biāo)系與之類似 正四面體：如圖所示，正四面體 A-BCD的棱長為a，一般選擇 A在 也BCD上的射影為原點(diǎn)，OC、OD （或OB ）、OA所在直線分別為x軸、 y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 0 - xyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 正四棱錐：如圖所示，正四棱錐P-ABCD的棱長為a，一般選擇點(diǎn)P在平面ABCD的射影為原點(diǎn)，0A （或0C

10、）、0B （或0D ）、0P 所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz，則各點(diǎn) 坐標(biāo)為 正三棱柱：如圖所示，正三棱柱 ABC-A'B'C'的底面邊長為a， 高為h，一般選擇AC中點(diǎn)為原點(diǎn)，0C （或0A ）、OB、0E（ E為0 在A'C '上的射影）所在直線分別為 x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo) 系0 - xyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為3.空間I(1) )若 a =1283) , b=(E，b2，b3)，則2 弋二 ba2 b2，d 戈),土 彳=(ai-bi,a2-鳥月3屮)& a = (q, a?,' a3)('

11、 R),a1bla2b2a3b3,a/bq = ba? = b2,a3= b3( R),a_b= a1b1 a2b2 a3b3 =0 .(2) 若 A(X1,y1,zJ , B(X2,y2,Z2)，則 AB =(X2 -為，y2 -憶2 -).的直角坐標(biāo)運(yùn)算律:xByx0ABC yy一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4 模長公式：若 a=（a1,a2,a3）,|=広 ¥ =缶2 +b22 +b32 .2 2 2a2a3, |5 .夾角公式： cos a b-|a| |b|. a122222a2a3bib2b36兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x

12、1, y1,z1) , B(x2, y2,z2),AB:/AB2=(X2 -xj2 J -)2 億-zj2，或 dA,B=(X2 xj2 (y2 - )2 (Z2 -乙)2空間向量應(yīng)用.在空間直角坐標(biāo)系中，由一、直線的方向向量 把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量A（X1, %,乙）與B（X2, y2, Z2）確定直線斗AB的方向向量是AB =（X2-為，y2- ,Z2-Z1）.平面法向量 如果a - ' ，那么向量a叫做平面-的法向量.a?83二、證明平行問題1. 線線平行：證明兩直線平行可用a/b=耳=曲月2 = ?±2,比=壯30疋R)或a/b呂

13、旦=Ib bd一J4-I 4 H 42. 線面平行：直線I的方向向量為 a，平面的法向量為n, I二二，若a*p即£n=0則all】.3. 面面平行：平面:-的法向量為 n，平面一：的法向量為 陽，若n /n2即n /：.n2則/'-.三、證明垂直問題i1. 線線垂直：證明兩直線垂直可用a_ a b =aibi - a?b2 - asd 0一 寸時(shí)屮 呻 彳 呻2. 線面垂直：直線I的方向向量為a，平面的法向量為n,且I匕匸，若a出即甲= n則a壽.3. 面面垂直：平面:-的法向量為n,，平面一：的法向量為n?，若mn2即n, n2 = °則：.四、求夾角cos :

14、：: a,b 吧a1b1 a2b2 a3b3 ; cost =|cos ： ；,b |.|a| | b | Ja； +a；+a； Jb； +£嚴(yán)32.線面夾角：如圖，已知PA為平面:-的一條斜線，n為平面的一個(gè)法向量，過P作平面的 垂線PO ,連結(jié)OA則.PAO為斜線PA和平面:所成的角，記為二易得311.線線夾角：設(shè)a之耳總厲)b =(b,t2,bO日匸(°：90為一面直線所成角，貝U： a bWa|，|b| co女a(chǎn),b>nsin sin(OP, AP ) | =| cos ： OP, AP |2呻=| cos ： n, AP | =| cos ： n,PA |

15、二囚 卩A|.|n |PA|3. 面面夾角：普n2分別是二面角兩個(gè)半平面：、：的法向量，當(dāng)法向量n、號同時(shí)指向二面角內(nèi)或二面角外時(shí)，二面角 二的大小為二-< 口，門2 4 當(dāng)法向量n、n2 一個(gè)指向二面角內(nèi)， 另一外指向二面角外時(shí)，二面角二的大小為：:：n 1, n2 -.五、距離1.點(diǎn)點(diǎn)距離:| AB設(shè)A（,y1,w）,B（X2,y2,Z2）,dA,B-x（）2W2 -）2（Z2 - zj2A為平面任一點(diǎn)，已知PA為平面的一條斜線，n為平面的一個(gè)法向量,AB AB_ （X2 -為）2 ® -）2 億-乙）22. 點(diǎn)面距離：過P作平面:的垂線PO，連結(jié)OA則.PAO為斜線PA和平面所成的角，記為 二易得 1碌1晶時(shí)點(diǎn)心砧応|條異面直線a、b的I PA| | n| |n|3. 線線距離：求異面直線間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算 公垂線的方向向量為 n,這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn)，則向量在 n上的正射影長