洛必達(dá)法則高數(shù)

1、§3. 2洛必達(dá)法則主要內(nèi)容：洛必達(dá)法則;重點(diǎn)分析：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；洛必達(dá)法則的適用條件；難點(diǎn)分析：洛必達(dá)法則與其它求極限方法結(jié)合使用求極限。0一、一型及一型未定式解法：洛必達(dá)法則0 :定義1如果當(dāng)x > a(x；門)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)都趨于零或都趨于 無窮大，那么極限lim ()叫做未定式，并簡(jiǎn)記為-或一。g(x)000(x .；：)如重要極限lim sin就是-型未定式的一個(gè)例子。此時(shí)“商的極限等于極限之商”法則失嗎x 0效。那其極限如何求？1:型未定式0定理1(洛必達(dá)法則)：設(shè)1) lim f(x) = lim g(x) = 0XX5x)2) 在

2、點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域(x。)內(nèi),f (x)及g (x)都存在且g (x) = 0 ；f ( x)3) lim . 存在(或?yàn)闊o窮大)，Xf g (x)f(x)f (x)那么 limlim .XFg(X)XX。g(X)定義2在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法稱為洛必達(dá)法則。證明：利用柯西中值定理推導(dǎo)。注意：1.若lim 匸兇 仍屬0型，且f(x), g(x)滿足定理1條件，則x Xo g (x)0f (X)f (x)f "(x)limlimlim X ：X° g(X)X 內(nèi) g (x) X 比 g (x)且可以類推下去，直到求出極限。2定理1中X. X0

3、換為X. X0 ', X. X0之一，條件2）作相應(yīng)的修改，定理 1仍然成立。定理 2 設(shè)：設(shè) 1) lim f(x) =lim g(x) =02)當(dāng) x >X 時(shí)，f (x)及 g"(x)都存在且 g"(x)H0；f （ x）3） lim存在（或?yàn)闊o窮大），X :g （x）“宀。:g (x)注：定理 立。2中把X T ：換成X. , X 一 ：之一，條件2）作相應(yīng)的修改，定理2仍然成求 lim tan Xx )00x .(0)解:原式=lim(tanQ =lim 沁=1xT (xf xT 13x -3x 2例2求lim 32I X _x _x +13x2 -

4、33 X36X解：原式=lim 2lim i3x 2x1 i 6x26x66 x注意：上式中的limlim 6 =1 ,（因?yàn)閘im已不再是不定式，不能對(duì)它再用洛必XT 6x-2 XT 6xT6x2達(dá)法則）。在反復(fù)應(yīng)用洛必達(dá)法則的過程中，要特別注意驗(yàn)證每次所求的極限是不是未定式，如果不是，就不能應(yīng)用洛必達(dá)法則。xn -1 n又如匹片飛例 3 計(jì)算 |，moCOS-X3"X。-1 -sin x _ cosx-1-x2、1-x3x2解：lim3limXx2 . 1 x sin例4計(jì)算limx。x 10 sinx解：這是0型，若用洛必達(dá)法則計(jì)算得:0x2si n12xsi n1 xcos1

5、lim x = limxxx)0 sinx x 】0cosx0.1 12xs in cos=limxx不存在 。x 10cosx說明：由此認(rèn)為極限不存在是錯(cuò)誤的。因?yàn)槭褂么朔▌t計(jì)算極限時(shí)，必須有l(wèi)imM)x氏 g (x)存在（或?yàn)闊o窮大）。顯然對(duì)于此例這個(gè)條件不滿足，因此不能用洛必達(dá)法則。xsi n=1 0=0.x2 1 x sin事實(shí)上，lim-x 0 sinx注：limf g (x)f （x）不存在（或不為無窮大）時(shí)，不能用洛必達(dá)法則?？紤]其他求極限方法計(jì)算。 si nx1 例 5 limx）01 - cosx分析：直接用洛必達(dá)法則分子的導(dǎo)數(shù)會(huì)變得很復(fù)雜，可結(jié)合無窮小轉(zhuǎn)化為書本例 sin

6、x= 1.（最后的等式利用法則d 1解：由于1 -cosx1 2xx-si nxx，所以 lim2lim32 x ：o 1 2 x）ox3x2注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，例如能化簡(jiǎn)盡可能化簡(jiǎn)，可以用等價(jià)無窮小來替代或可用重要極限時(shí)盡可能應(yīng)用，效果更好說明：n不為正整數(shù)的情形結(jié)論仍成立，可用夾逼準(zhǔn)則證明（文科可不講）knk十存在正整數(shù)k,使當(dāng)x>1時(shí)，x : x : x ，從而.xx "：.xeee型未定式od定理 3.設(shè) “|jmf(x) = |img(x)=JXoXX0(x_. -')2) f (x)與 g "(x)

7、在 U(x0, 5)內(nèi)(或 X aX 時(shí))可導(dǎo)，且 g "(x)式03) lim匸兇存在(無窮大)xim g(x)(x_ .). f (x)Xirx? g (x)(x_.，')那么lim丄兇 燦 g（x）（x .：）注：定理3中的極限換成單側(cè)極限，定理結(jié)論仍然成立。In sin ax例 6 求 lim-()In sin bx 旳a cos ax sin bx cosbx 十宀解：原式二limlim=1。(無窮小替換)x° b cosbx sin ax xT cosax求解:ln x1lim a lim ”紜lim a = 0.(為什么 a的范圍不需要考慮)x x x

8、 axx .ax？n求lim (n為正整數(shù)). 治c e "x解：原式n4 nxx e例5求limx J：2-arctanX.解：原式=limx_/HcJU思考(補(bǔ)充知識(shí))：如何求lim 2n_scx +cosx oO例6計(jì)算lim(一 型)(先練習(xí)后講解)解：由于limX ?： X：X在，故洛必達(dá)失效。X +COSX事實(shí)上，limX同時(shí)由這個(gè)例子也說明了匸兇 的極限不存在，并不能說明g (X)他的極限也不存在。g(x)1 .1x2.x21lim 2 = lim =11x ,： 1 x2 x_212 XX-arctann2 - arctann2 - arctanx(n為正整數(shù))(2為

9、子列2，111n"nx故極限為1)滿足定理 條件的某些情況下洛必達(dá)法則可能不能解決計(jì)算問題，例如，x cosxlim(1 -sin x)不存cosx= lim(1)=1。？xt：x0-或一型，再用洛必達(dá)法則。0三、其他未定式：0 '°°,況,00,1 j °°關(guān)于0，0°,1： 型 的極限的求法：通過恒等變形化為 0 二1) 0 ：取倒數(shù)-(或一)0旳 0 :2) _ :型通分(或)03)若 lim f(x 嚴(yán) 為 00,1：；：0 型:法一：可設(shè)y二f (x)g(x)，并做恒等變形為r 1 g(x)|ln f (x) I1.

10、g(x)y = f (x) ()=expg(x)l nf (x)=exp 彳-則limf(x)gmexp 摯。I 1再用洛必達(dá)法則計(jì)算lim，1g(x).g(x)14、法二：對(duì)y = f (x)g(x)兩邊取對(duì)數(shù):In y= g(x)ln f(x)化為0；型未定式。求求 lim xx_'2ex.(0 ；型,取倒數(shù)解:原式二lim - 2x廠,lim lim e lim x：.2x x j ： ： 2 x j ： ： 2=+oC例10解：原式=二lim(71sinx、1-sin x)=lim cosx cosx-cosxlim0xf cosxxY-sin x求 lim(sec x -ta

11、n x).(：-二型，通分)例 8 求 lim，xx.(型)lim xlnxx0解：法 1: lim xx 二 lim exlnx =ex 0'=e° =1 (利用例 5)x0 *x )0 '法2:令y二xx則In y二xln x.由于=limlim x = 0 ,x0 1x 0 ln x lim In y = lim xlnx 二 lim - X0 x xT 所以1例9求(1二)1 In x1 -x解：原式=呼limlnxX 1 1lim xx例 10 求 lim (cot x)lnx. p: 0) xT1 ln(cotx) 解：取對(duì)數(shù)得(cotx)lnx -elnx1 1lim In (cot x) = lim cotx sin x = lim = -1,x 0 ln xx71x jo ' cosx sin xx原式練習(xí)1、limX 0x -sin x 03limtan x 0 x_ox sin x 03lim 2x 0 x 0 3x1cosx si nx limx)06x2、 limx 1x -1 ln x1limlimI (x 1)ln x Ixln x -x 1ln xlnx匸=limx-1 x l n