平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法

1、14.1 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題 第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法4.2 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 4.3 平面問(wèn)題的離散化平面問(wèn)題的離散化4.4 平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元 4.5 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法2 嚴(yán)格地說(shuō)，任何彈性體都是處于三維受力狀態(tài)，因而都是空間問(wèn)題，但是在一定條件下，許多空間問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化成平面問(wèn)題。 平面問(wèn)題可以分為兩類(lèi)：平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)平面應(yīng)變問(wèn)題變問(wèn)題。圖4-1 平面問(wèn)題應(yīng)力狀態(tài)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元

2、法34.1 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題圖4-2(a) 平面應(yīng)力問(wèn)題 如圖所示的深梁結(jié)構(gòu)，其厚度方向的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向的尺寸小得多，可視為一薄板。它只承受作用在其平面內(nèi)的載荷，且沿厚度方向不變，計(jì)算時(shí)以中性面為研究對(duì)象。其力學(xué)特點(diǎn)力學(xué)特點(diǎn)是：, 0, 0, 0zyyzzxxzz0z平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣即彈性矩陣為：。 2100010112ED第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法4圖4-2(b) 平面應(yīng)變問(wèn)題4.2 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長(zhǎng)度方向上的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向上的尺寸大得多，同樣，載荷作用在xy

3、坐標(biāo)面內(nèi)，且沿z軸方向均勻分布。其力學(xué)特點(diǎn)是：0, 0, 0yzxzx但一般情況下 0z平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣只需將式(4-1)中的E換成 21E換成 ， 1即可。 )1 (22100011011)21)(1 ()1 (uED。第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法5 無(wú)論是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題的應(yīng)力無(wú)論是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題的應(yīng)力 與 應(yīng)變應(yīng)變 之間的關(guān)系均為： 0 D Txyyx Txyyx，其中： 0為初應(yīng)變。式中4.3 平面問(wèn)題的離散化平面問(wèn)題的離散化(a) 三結(jié)點(diǎn)三角形單元 (b) 四結(jié)點(diǎn)正方形單元 (c) 四結(jié)點(diǎn)矩形單

4、元 (d) 四結(jié)點(diǎn)四邊形單元圖4-3 平面問(wèn)題單元的主要類(lèi)型第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法6 圖4-4(a)表示的是帶有橢圓孔的平板，在均勻壓力作用下的應(yīng)力集中問(wèn)題。圖4-5(b)是利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性性，采用三結(jié)點(diǎn)三角形單元而離散后的力學(xué)模型，各單元之間以結(jié)點(diǎn)相連。 (a) 均勻受力板力學(xué)模型 (b) 力學(xué)模型離散化圖4-4 平面問(wèn)題有限單元法的計(jì)算力學(xué)模型第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法7 4.4 平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元 4.1.1 位移函數(shù)位移函數(shù)圖4-5

5、 三角形單元 如果把彈性體離散成為有限個(gè)單元體，而且單元很小時(shí)，就很容易利用其結(jié)點(diǎn)的位移，構(gòu)造出單元的位移插值函數(shù)，即位移函數(shù)。65432110000001yxyxyxvyxu位移函數(shù)矩陣形式位移函數(shù)矩陣形式：第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法8簡(jiǎn)寫(xiě)為： Mf 由于位移函數(shù)適用于單元中的任意一點(diǎn)，所以帶入3個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)后，得出結(jié)點(diǎn)處位移函數(shù)為結(jié)點(diǎn)處位移函數(shù)為64321100000011000000110000001mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxyxyxyxyxvuvuvu簡(jiǎn)寫(xiě)為： Ae第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)

6、構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法9 解出 eA1mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211其中， 是三角形單元的面積，當(dāng)三角形單元結(jié)當(dāng)三角形單元結(jié)點(diǎn)點(diǎn)i、j、m按逆時(shí)針次序排列時(shí)按逆時(shí)針次序排列時(shí)，則有)(21)(2121mijmijimmjjiyxyxyxyxyxyx4.4.2 形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法10jmmjimjmjimjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxam1111其中記號(hào) 表示將i、j、m進(jìn)行輪換后，可得

7、出另外兩組帶腳標(biāo)的a、b、c的公式。單元位移函數(shù)為結(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)單元位移函數(shù)為結(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)，即iiiimjimmmmjjjjiiiiiiiimjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbavycxbavuycxbauycxbauycxbauycxbau)(21)()()(21)(21)()()(21.第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法(4-9)平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法11)(21ycxbaNiiii令 mjiNNN、 在式(4-10)中表示的 稱(chēng)為形函數(shù)形函數(shù)，于是位移函數(shù)表達(dá)式用形函數(shù)表示為：(4-10)mjiiimmjjiimjiii

8、mmjjiivNvNvNvNvuNuNuNuNu、(4-11)寫(xiě)成矩陣形式mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvuf000000emjiINININ(4-12)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法12由幾何方程知vuxyyxxyyx00將式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏導(dǎo)數(shù)，得(4-13)()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub4.4.3 單元的應(yīng)力與應(yīng)變單元的應(yīng)力與應(yīng)變第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面

9、結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法13)()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub簡(jiǎn)寫(xiě)為： eB(4-14)mjimmjjiimjimjiBBBbcbcbccccbbbB00000021 由于B是常量，單元內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變分量也都是常量，這是由于采用了線性位移函數(shù)的緣故，這種單元稱(chēng)為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?4-15)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法14 由彈性力學(xué)的物理方程彈性力學(xué)的物理方程可知，其應(yīng)力與應(yīng)變有如下關(guān)系： D(4-16) 將式(4-14)代入式(4-16)，得e

10、eSBD(4-17)mjiSSSBDS式中 (4-18) S稱(chēng)為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換矩陣，對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題，其子矩陣為iiiiiiibccbcbES2121)1 (22(4-19) 由式(4-17)看出，應(yīng)力分量也是一個(gè)常量。在一個(gè)三角形單元中各點(diǎn)應(yīng)力相同，一般用形心一點(diǎn)表示。其應(yīng)變也可同樣表示。第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法15 用虛功原理來(lái)建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系式，從而得出三角形單元的剛度矩陣。 (a) 實(shí)際力系 (b) 虛設(shè)位移圖4-6 彈性體虛功原理的應(yīng)用4.4.4 三角形單元?jiǎng)偠染仃嚾切螁卧獎(jiǎng)偠染仃嚨谒恼碌谒恼?平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的

11、有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法16結(jié)點(diǎn)力列向量和應(yīng)力列向量分別為T(mén)TmmjjiimjieVUVUVUFFFFTxyyx結(jié)點(diǎn)虛位移列向量和虛應(yīng)變列向量為T(mén)*T*mmjjiimjievuvuvuT*xyyx用虛功原理虛功原理建立三角形單元的虛功方程為tdxdyFeeT*T*）（ eB* TT*T*Be）（tdxdyBFeeeTT*T*）（）（由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法17 由于虛位移是任意的，等號(hào)兩邊可左乘1T*e，得tdxdyBFeTetdxdyBDBTe

12、ek (4-21)三角形單元的剛度矩陣可寫(xiě)成 dxdytBDBkeT tBDBT(4-22)用分塊矩陣形式表示 mmmjmijmjjjiimijiiekkkkkkkkkk(4-23)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法18 結(jié)構(gòu)的平衡條件可用所有結(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。結(jié)構(gòu)的平衡條件可用所有結(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。假定i 結(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)中的任一公共結(jié)點(diǎn)，則該結(jié)點(diǎn)平衡條件為： iiPF iFi 結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力列向量 eieiiVUFe圍繞i結(jié)點(diǎn)所有單元的結(jié)點(diǎn)力的向量和 i結(jié)點(diǎn)的載荷列向量。 iP iiiYXP4.4.5 整體剛度矩陣整體剛度矩陣第四章第四章 平

13、面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法19 每個(gè)結(jié)點(diǎn)由兩個(gè)平衡方程組成，若結(jié)構(gòu)共有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，則有2n個(gè)平衡方程。整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件由式(4-24)求和得到，即： iniiniPF11i1，2，n T2211T3211nnniniYXYXYXPPPPPP(4-26) KkFeeneinie11(4-27) 其中，K為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣； 為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量移列向量。 tdxdyBDBkKneeneT11(4-28) T2211T21nnnvuvuvu第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法

14、20將式(4-26)、式(4-27)代入式(4-25)中得 PK(4-29)整體剛度矩陣也可按結(jié)點(diǎn)寫(xiě)成分塊矩陣的形式整體剛度矩陣也可按結(jié)點(diǎn)寫(xiě)成分塊矩陣的形式： nnnjnninijiinjnjKKKKKKKKKKKKKKKKK2121222221111211(4-30) 同桿系結(jié)構(gòu)一樣，整體剛度方程經(jīng)過(guò)約束處理后，即可求出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而求出所希望的應(yīng)力場(chǎng)。第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法214.5 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 4.5.1問(wèn)題描述問(wèn)題描述 如圖4-7所示長(zhǎng)方形板ABCD，板厚0.04m，孔半徑r=0.2m，E=

15、210GPa，泊松比=0.3，約束條件：在長(zhǎng)方形底邊AD約束全部自由度, BC邊施加垂直向下均布載荷g=10000000N/m。圖4-7 長(zhǎng)方形板結(jié)構(gòu) 4.5.2 ANSYS求解操作過(guò)程求解操作過(guò)程 打開(kāi)Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作。第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法22圖4-8 單元類(lèi)型對(duì)話(huà)框 （1）選擇單元類(lèi)型選擇單元類(lèi)型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，彈出Element Types對(duì)話(huà)框，如圖4-8所示。單擊Add，彈出Library of Element Types

16、窗口，如圖4-9所示，依次選擇Structural Solid，Quad 8 node 82，單擊OK。圖4-9 單元類(lèi)型庫(kù)對(duì)話(huà)框第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法23 在Element Types對(duì)話(huà)框中，如圖4-10所示，單擊Options，彈出如圖4-11所示對(duì)話(huà)框，設(shè)置K3選項(xiàng)欄為Plane strs w/thk，設(shè)置K5選項(xiàng)欄為Nodal stress，設(shè)置K6選項(xiàng)欄為No extra output。表示單元是應(yīng)用于平面應(yīng)力問(wèn)題，且單元是有厚度的。圖4-10 單元類(lèi)型對(duì)話(huà)框 圖4-11 PLANE82 單元選項(xiàng)設(shè)置對(duì)話(huà)框第四章第四章

17、 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法24 （2）定義實(shí)常數(shù)定義實(shí)常數(shù) 運(yùn)行PreprocessorReal ConstantsAdd /Edit/Delete，彈出如圖4-12所示對(duì)話(huà)框，點(diǎn)擊Add，彈出如圖4-13所示對(duì)話(huà)框，點(diǎn)擊OK，彈出如圖4-14所示對(duì)話(huà)框，在THK選項(xiàng)欄中設(shè)置板厚度為0.04m。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。圖4-12 實(shí)常數(shù)對(duì)話(huà)框 圖4-13 選擇要設(shè)置實(shí)常數(shù)的單元類(lèi)型 圖4-14 PLANE82實(shí)常數(shù)設(shè)置第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法25 （3）設(shè)置材料屬性設(shè)置材料屬性 運(yùn)行Pr

18、eprocessorMaterial PropsMaterial Models，彈出如圖4-15所示對(duì)話(huà)框，依次雙擊Structural，Linear，Elastic，Isotropic，彈出圖4-16所示對(duì)話(huà)框，在EX選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。圖4-15 選擇材料屬性對(duì)話(huà)框 圖4-16 設(shè)置材料屬性對(duì)話(huà)框 第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法26 （4）建立模型建立模型 運(yùn)行PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy 2 Corners，彈出如

19、圖4-17所示對(duì)話(huà)框，設(shè)置參數(shù)，WP X選項(xiàng)欄中填寫(xiě)0，WP Y選項(xiàng)欄中填寫(xiě)0，Width選項(xiàng)欄中填寫(xiě)1.5，Height選項(xiàng)欄中填寫(xiě)1，單擊OK。繼續(xù)運(yùn)行PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolid Circle，得到如圖4-18所示對(duì)話(huà)框，在WP X選項(xiàng)欄中填寫(xiě)0.75，WP Y選項(xiàng)欄中填寫(xiě)0.5，在Radius選項(xiàng)欄中填寫(xiě)0.2，設(shè)置完畢點(diǎn)擊OK按鈕。圖4-17 建立矩形對(duì)話(huà)框圖4-18 創(chuàng)建實(shí) 心圓對(duì)話(huà)框第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法27 進(jìn)行布爾運(yùn)算：PreprocessorModeling

20、OperateBooleansSubtractAreas，先選矩形面單擊OK，再單擊圓面，單擊OK。得到如圖4-19所示圖形。 圖4-19 長(zhǎng)方形板模型 （5）劃分網(wǎng)格劃分網(wǎng)格 運(yùn)行MeshingSize CntrlsManual SizeAreasAll Areas，彈出如圖4-20所示對(duì)話(huà)框，在SIZE選項(xiàng)欄中填寫(xiě)0.05，點(diǎn)擊OK按鈕。圖4-20 設(shè)置網(wǎng)格尺寸對(duì)話(huà)框 第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法28 運(yùn)行MeshMesh Tool，彈出如圖4-21所示對(duì)話(huà)框，在Shape選項(xiàng)欄后面，選擇Tri和Free，單擊Mesh.劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分如圖4-22所示。圖4-21 網(wǎng)格劃分對(duì)話(huà)框 圖4-22 劃分網(wǎng)格后的有限元模型 第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法29圖4-23 施加全約束 （6）施加約束施加約束 選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure DisplacementOn Lines，選擇長(zhǎng)方形底邊，彈出圖4-23所示對(duì)話(huà)框，選擇All DOF，單擊OK。 （7）施加載荷施加載荷 選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure PressureOn Lines，彈出如圖4-24所示對(duì)話(huà)框