時變電磁場問題求解

1、目目 錄錄一、一、AB tAE0)(tA0 BtB 位函數(shù)的不確定性滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和 能描述同一個電磁場問題。）、（A）、（AAAt A 原因：未規(guī)定 的散度 位函數(shù)的規(guī)范條件：洛倫茲條件0 tA二、二、DBtBEtDJH0 00 DBBEDHtt無源區(qū) 0tAtAEAB有源區(qū) 00222222tHHtEE 222222tJtAA波動方程波動方程達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程二、二、 在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域內(nèi)V，如果給定t0時刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的初始值，并且在 t 0 時，給定邊界面S上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量，那么，在 t 0 時，區(qū)域V 內(nèi)的電磁場由麥克

2、斯韋方程惟一地確定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述VS 在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。 惟一性問題惟一性問題三、三、電磁場的能量密度：電磁場的能量密度：導(dǎo)電媒質(zhì)的功率損耗密度（轉(zhuǎn)化）：導(dǎo)電媒質(zhì)的功率損耗密度（轉(zhuǎn)化）：電磁波的能流密度（轉(zhuǎn)移）：電磁波的能流密度（轉(zhuǎn)移）：BHDEwwwme2121JEp HES 1 1、基本概念、基本概念nnAtWeS 能流密度能流密度意義：意義：單位時間內(nèi)穿過與能量流動方向垂直的單位面積的能量單位：單

3、位：瓦/平方米流過某曲面的功率：流過某曲面的功率：流過某曲面的能量：流過某曲面的能量： AdSP dtAdSW三、三、 ttBEDJH 2 2、坡印廷定理：、坡印廷定理：表征電磁能量守恒關(guān)系的定理 tHHtEEEBEDJH HHH EEE BHttHDEttE2121BD均勻媒質(zhì)各向同性線性 BHDEtEE2121JH VVAdVBHDEdtdEAdE2121dVJH VeVAdVwdtdpAdSdV物理意義：物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面單位時間內(nèi)，通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積的電磁能量等于體積V 中所中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。增加的電磁場能量與損耗的能量之和

4、。三、三、【例1】 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過的電流為I 。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線同軸線【解】（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為ln()UEeb a()ab2IHe三、三、同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理

5、想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源向負(fù)載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為2dA2d2ln()bzAaUIPS eUIb a 三、三、同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為.out zzEEi n.磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為in2zJIEea

6、2ln()zaUIEeeab aaout2aIHeaout2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a outoutout三、三、同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）（2）內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為223222ln()zaIUISeeaab a out由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。 進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為22122320()d2d2SaIIPSAa zRIaa 外e21Ra式中 是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。結(jié)論：電磁能

7、量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。四、時諧電磁場四、時諧電磁場 ( , )cos( )mA r tArtr ( )( , )Re ( )e( )ej tjrmA r tA rA rAr( )( , )Re( )e( )( )ijtjriimiE r tE rE re Er e( )( , )( , )( , )ReiiiijtriimE r te E r tE r tE e 222tjt ( , )mA r tArf t1.1. 時諧電磁場的概念時諧電磁場的概念: :如果場源以一定的角頻

8、率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。四、時諧電磁場四、時諧電磁場【例1】 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxxH x z te H kkzte Hkztaa( )cos()mxxmzEze jEk z【例2】 已知電場強(qiáng)度復(fù)矢量 其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫 出電場強(qiáng)度的瞬時矢量答案： 【例1】 【例2】 ( )()eyxjjjkzxxmyymE ze E ee jE e200( , )()sin(

9、)ecos()ejkzjjkzxzaxxH x ze H ke Haa( , )cos()sin()xxmzE z te Ek zt 四、時諧電磁場四、時諧電磁場0HJjDEjBBD 0tt DHJBEBD 002222HkHEkE 2222kJAkA時諧場亥姆霍茲方程達(dá)朗貝爾方程2. 復(fù)矢量的麥克斯韋方程四、時諧電磁場四、時諧電磁場例3： 已知正弦電磁場的電場瞬時值為求：（1）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。81( , )0.03sin(10)xEz tetkz88(/2)10( , )0.03cos(10)Re0.03ee2j kzjtxxE z tetkze 解：（1）因?yàn)?2

10、( )0.03ejjkzxE zee故電場的復(fù)矢量為（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量jkzjyjkzjyxykekezEjezEjzHee106 . 7ee03. 0)(1)(252000 58( , )Re( )e7.6 10sin(10)j tyH z tH ze ktkz磁場強(qiáng)度瞬時值四、時諧電磁場四、時諧電磁場3. 電磁場能量的損耗方式歐姆損耗：導(dǎo)電媒質(zhì)自由電荷分子動能極化損耗：電介質(zhì)束縛電荷分子勢能磁化損耗：磁介質(zhì)分子電流分子勢能 /cj cj cj tan/tan/tan/HJjD JEDEHjjE cHjE 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)引入的意義：使導(dǎo)電媒質(zhì)Maxwel

11、l時諧方程 形同理想介質(zhì)的Maxwell時諧方程四、時諧電磁場四、時諧電磁場對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為 (+)cj 導(dǎo)電媒質(zhì)損耗角正切的物理意義：傳導(dǎo)電流和位移電流振幅比tan/cdJJ導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性傳導(dǎo)電流：位移電流：cJEdJjE1 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體1 一般導(dǎo)電媒質(zhì)1 良導(dǎo)體四、時諧電磁場四、時諧電磁場4. 時諧場能流的求解H ESHeHtj2EESRe21Re21 HE ,HE ,HESavRe21TavdtSTS01( , )Re ( )ejtS r tS rEjHEkE022四、時諧電磁場四、時諧電磁場平均能流密度矢量011dRe()2Tav

12、tEHTSS平均電場能量密度011dRe()4TeavewwtE DT平均磁場能量密度011dRe()4TmavmwwtH BT平均功率損耗密度011dRe()2TJavJpptE JT 二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它 時變電磁場；而 只適用于時諧電磁場。 ( , ) tS r( )avSr四、時諧電磁場四、時諧電磁場【例4】已知無源的自由空間中，電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為 ，其中k 和 E0 為常數(shù)。求：（1）磁場強(qiáng)度復(fù)矢量H ；（2）瞬時坡印廷矢量S ；（3）平均坡印廷矢量Sav 。0( )jkzyE ze E e 【解】：（1）由得0EjH 0000011( )( )()()jkzjkzzyxkEH zE zee E eeejjz （2）電場和磁場的瞬時值為00( , )Re( )ecos()j txkEz tztkz HHe0( , )Re( )ecos()jtyz tzEtkzEEe2200000cos() cos()cos ()yxzkEkESEHe Etkzetkzetkz 四、時諧電磁場四、時諧電磁場【例4】已知無源的自由空間中，電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為