（精選）高中數(shù)學中的深度廣度

1、如何把握好高中數(shù)學新課程的深度和廣度數(shù)學班 李壽成 摘要由于課程改革的力度大，教師對普通高中數(shù)學課程標準（以下簡稱標準）的學習、研究和消化的困難也比較大，造成教師對標準中一些內(nèi)容的定位和教學的“廣度”和“深度”的認識和把握不夠準確，有不少教師提出標準對教學內(nèi)容的要求還不夠明確，表述比較模糊標準一句話，教材幾頁紙，教學幾課時，教學時如何把握教學深度，教師心里確實沒底，還有一此教師存在戀舊心理，潛意識中留戀大綱和老教材，排斥標準和新教材，按照慣性思維處理新教材。關(guān)鍵詞把握新課程的深度和廣度標準中明確規(guī)定，每個模塊36課時，4課時/ 周一個模塊9周講完，1周復(fù)習考試，完成一個模塊需要10周的時間每個

2、學期要完成兩個模塊的學習按照現(xiàn)在課時的安排，這是一個不可能完成的任務(wù)教師都是第一次接觸，對全部教學內(nèi)容都沒有整體上的了解，對未來高考怎么考更知之甚少。在這種情況下，如何把握新課標高中數(shù)學課程的教學深度成為了所有教師的擔憂。那么我們怎樣看待這個問題？當然每個地區(qū)、每個學校學生的實際情況不同，深度與廣度也不同，大部分學校每周加大課時量，增加深度與廣度，并且存在選修課必選的現(xiàn)象。下面我就結(jié)合標準和新教材談?wù)勛约旱囊恍┛捶ǎ簶藴室?guī)定的內(nèi)容確實增多了，教材也變厚了，但標準的要求與原大綱要求有了很大的區(qū)別。標準教材與大綱教材比較內(nèi)容非常豐富了許多，在正文中設(shè)置了“觀察”“思考”“探究”欄目，發(fā)揮問題的作用

3、“看過問題三百個，不會解題也會問”，在學生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力比較薄弱的情況下，先幫助學生提出問題，引導(dǎo)學生思維，適當展開學習過程使學生的學習更主動、更生動、更富探索性；再次，教材中的選材素材“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”等拓展性欄目基于此，標準教材厚了一些但是標準的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容安排等作了較大的調(diào)整，特別是關(guān)于教學要求變化很大，因此教師對整套教材的結(jié)構(gòu)體系以及內(nèi)容安排應(yīng)該有個整體的把握，教學時要認真鉆研教材，深刻領(lǐng)會教材的編排意圖和新大綱的要求，如：一、關(guān)于函數(shù)部分（1）對函數(shù)概念的認識函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學課程的始終函數(shù)是

4、兩個數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系，對這種對應(yīng)關(guān)系的認識和理解需要一個過程從課程內(nèi)容本身來看，函數(shù)的內(nèi)容是分階段安排的：數(shù)學1安排函數(shù)的基本概念、基本初等函數(shù)I：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)；數(shù)學4安排基本初等函數(shù)：三角函數(shù)；選修二1-1（選修2-2）安排導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用從函數(shù)與其他一些數(shù)學內(nèi)容了解來看，數(shù)學5中“數(shù)列”是一種特殊的函數(shù)，“一元二次不等式”與二次函數(shù)的了解；數(shù)學3“統(tǒng)計”中兩個變量線性相關(guān)與一次函數(shù)的了解；數(shù)學2解析幾何初步以及選修1-1（選修2-1）中“圓錐曲線與方程”與函數(shù)的了解學習這些知識內(nèi)容，可以加深對函數(shù)概念的認識，體會不同知識內(nèi)容的了解性，從不同角度看待同一數(shù)學內(nèi)容，感受數(shù)學的整體性（2

5、）關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性雖然是函數(shù)的重要性質(zhì)，但對它的認識、研究是個漫長的過程在數(shù)學1中介紹函數(shù)單調(diào)性的定義，并通過定義，判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性，然后討論了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學4在介紹正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)時，進一步研究了函數(shù)的單調(diào)性；在選修1-1（或選修2-2）中，用導(dǎo)數(shù)作為工具，研究了一般函數(shù)的單調(diào)性，主要是三次多項式函數(shù)的單調(diào)性如果在數(shù)學1中就讓學生用函數(shù)單調(diào)性的定義，討論三次多項式函數(shù)和一些復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性那么，我們可以肯定地說，教師對教材整體的把握方面存在很大的問題（3）關(guān)于復(fù)合函數(shù)在數(shù)學1中沒有明確提出“復(fù)合函數(shù)”的概念，明確提出“復(fù)合函數(shù)”的概念是在選

6、修2-2“第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中 （4）關(guān)于反函數(shù)對反函數(shù)的處理，標準“只要求以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解，不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)”，“知道指數(shù)函數(shù)y = ax與對數(shù)函數(shù)y = logax互為反函數(shù)（a0，a0）”至于“互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y = x對稱”更不作為要求因此關(guān)于反函數(shù)的問題，標準和教材的要求非常明確，不要拓展內(nèi)容，不要提高要求，應(yīng)適可而止（5）關(guān)于冪函數(shù)冪函數(shù)在高中數(shù)大綱教材中反反復(fù)復(fù)地出現(xiàn)，但大綱教材沒有提出“冪函數(shù)”的概念，這次高中新課程中又一次提出冪函數(shù)的概念其實教師和學生對冪函數(shù)并不陌生，正比例函數(shù)y = x，反比

7、例函數(shù)y = x1，最簡單的二次函數(shù)y = x2都是冪函數(shù)現(xiàn)在只不過是給出了冪函數(shù)的形式化定義，且只討論指數(shù)是1，12,2，3，-1的冪函數(shù)，結(jié)合它們的圖象，了解它們的變化情況在數(shù)學1中，對冪函數(shù)的要求很低，主要是結(jié)合它們的圖象，了解它們的變化情況，并與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)進行比較，比較它們的增長差異（6）關(guān)于函數(shù)模型及其應(yīng)用首先要對“數(shù)學模型”有個正確的認識標準中多次提到“數(shù)學模型”一詞，目的是進一步加強數(shù)學與現(xiàn)實世界的了解數(shù)學模型是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關(guān)于實際問題的描述數(shù)學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式、函數(shù)

8、解析式等等實際問題越復(fù)雜，相應(yīng)的數(shù)學模型也越復(fù)雜當數(shù)學模型的形式是函數(shù)時，這時，我們稱之為函數(shù)模型函數(shù)模型的表現(xiàn)形式也是多樣的：解析式、圖象、表格等本次高中數(shù)學課程改革把“發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識”作為課程的基本理念之一，提出“高中數(shù)學課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實際背景，反映數(shù)學的應(yīng)用價值” 標準中，函數(shù)模型的建立及其應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學課程教材的始終，分層次、分步驟，螺旋安排，逐步深入在數(shù)學1、數(shù)學4的“三角函數(shù)”、數(shù)學5的“數(shù)列”以及選修1-1（選修2-2）的“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中都有函數(shù)模型及其應(yīng)用的內(nèi)容它們收集許多社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的

9、實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用等等（7）關(guān)于函數(shù)的定義域、值域函數(shù)的定義域和值域是函數(shù)的組成部分盡管標準要求“會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域”，同時“避免在求函數(shù)定義域、值域時出現(xiàn)過于繁瑣的技巧訓練，避免人為地編造一些求定義域和值域的偏題” 因此在教學中，教師不要拔高這方面的要求，出現(xiàn)很多把對數(shù)、根號、分母、絕對值、一元二次不等式等“整合”在一起的“堆砌題”，使學生“沉浸”在繁瑣的技巧訓練中，在一定程度上沖淡了對函數(shù)本質(zhì)及有關(guān)性質(zhì)的理解值域的問題亦如此，很多借助求函數(shù)的反函數(shù)定義域的方法求函數(shù)的值域更是標準和教材中沒有提到的增加這些內(nèi)容，勢必拓展這方面的要求關(guān)于這方面的要求，要切實把握

10、好實際上，建立函數(shù)模型描述實際問題、解決實際問題時，其定義域和值域是顯而易見的。二、 關(guān)于一元二次不等式高中“大綱教材”在第一冊（上）“第一章集合與簡易邏輯”中有一元二次不等式及其解法的內(nèi)容，現(xiàn)在“一元二次不等式”的內(nèi)容放在數(shù)學5中之所以這樣，是考慮到現(xiàn)在強調(diào)“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型”，講函數(shù)的背景、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用，對求函數(shù)的定義域、值域的要求不高，況且結(jié)合實際問題求函數(shù)的定義域、值域都是顯而易見的如果在求函數(shù)的定義域、值域方面出現(xiàn)過于繁瑣的技巧訓練，“一元二次不等式”前置，勢必影響對函數(shù)概念本身的認識，這也是“一元二次不等式”內(nèi)容后置的一個重要原因三、關(guān)于二分法與算

11、法二分法是這次高中數(shù)學課改新增加的內(nèi)容引入二分法的主要目的是加強函數(shù)與方程的了解，它是求方程近似解的一種方法由于二分法中算法思想非常明確，在數(shù)學1中介紹二分法，可以為講解“算法”內(nèi)容提供重要的素材介紹二分法時，教師心中始終要有整個高中數(shù)學課程的框架四、關(guān)于立體幾何立體幾何部分，可以說是這一次新課改中變化最大的一個部分，比較突出的是數(shù)學2中立體幾何初步的內(nèi)容與傳統(tǒng)的立體幾何的結(jié)構(gòu)體系相比，新課程中的立體幾何的結(jié)構(gòu)體系有重大改革傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容，常從研究構(gòu)成空間幾何體的基本要素：點、直線和平面開始，講述平面及其基本性質(zhì)，點、直線、平面之間位置關(guān)系和有關(guān)公理、定理，再研究由它們組成的幾何體，包括棱

12、柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則現(xiàn)在，先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面，最后回到幾何體，遵循“整體局部整體”的原則這種變化很大程度上考慮到，適當減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學習入門的門檻，提高學生學習立體幾何的興趣對發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力有很大幫助教師需要適應(yīng)這種變化，盡管在適應(yīng)過程中會遇到諸多的問題，增加三視圖的有關(guān)內(nèi)容，對于進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力和幾何直觀能力具有重要的促進作用過去的“立體幾何”內(nèi)容相對來說，這方面比較薄弱三視圖的有關(guān)內(nèi)容在一定程度上改善了這

13、種狀況對圖形既需要直觀地感覺，也需要思辨地論證我們要求學生能夠畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖，能夠從空間幾何體的直觀圖畫出它的三視圖，從三視圖畫出它的直觀圖等等使得學生能通過“實物模型三視圖直觀圖”這樣一個相互轉(zhuǎn)化的過程認識空間幾何體這些數(shù)學活動是培養(yǎng)學生空間想象能力的有效途徑只有這樣，立體幾何的教學目標才會更加全面但一個現(xiàn)實情況是，“空間幾何體” 只安排了8個課時，留給“空間幾何體的三視圖和直觀圖”僅有2個課時的時間，很多內(nèi)容無法展開要想說得很清楚，勢必沖破2個課時的限制，這顯然違背標準的要求因此，很多內(nèi)容“點到為止”，要求不能高。 關(guān)于“三垂線定理及其逆定理”整個高中立體幾何就是“三垂線定理”盡管說得過分些，但從另外一個角度說明，“三垂線定理”在整個高中“立體幾何”中的地位和作用確實，“三垂線定理”是整個立體幾何內(nèi)容的一個典型代表，處在整個立體幾何知識的樞紐位置，綜合了很多知識內(nèi)容：直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行在數(shù)學2“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”中雖然沒有明確提到“三垂線定理”，在選修2-1“空間向量與立體幾何”中提到“能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）”因此理科學生應(yīng)該知道這個定理，而且只要求了解其內(nèi)容，并用向量方法證明，不