二項(xiàng)式定理題型及解法

1、二項(xiàng)式定理題型及解法1.二項(xiàng)式定理：(a+bf =C：an+活亦樸+C；an丄b+山 +。；(N),2.基本概念：1二項(xiàng)式展開(kāi)式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a - b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式。2二項(xiàng)式系數(shù)：展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)cn(r =0,1,2,n).3項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式4通項(xiàng)：展開(kāi)式中的第r 1項(xiàng)C；anbr叫做二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)。用 .i.=cnanbr表示。3.注意關(guān)鍵點(diǎn)：1項(xiàng)數(shù)：展開(kāi)式中總共有(n 1)項(xiàng)。2順序：注意正確選擇a,b,其順序不能更改。(a b)n與(b - a)n是不同的。3指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)增到n，是升幕排列。各項(xiàng)

2、的次數(shù)和等于n.4系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是cnwc；,C：,cn.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4.常用的結(jié)論：令a =1,b =x,(1 +x)n=Cr+C；x +C：x2+)樸+C；xr| +C；xn(n N*)令a =1,b = x, (1x)n=丄一dx+clx2川+cnxr+|i +(1)nC：xn( n5.性質(zhì)：1二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即c0 =cn，c：2二項(xiàng)式系數(shù)和：令a =b=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為c0+C：+川+C|+C；=2n,變形式cn +C：州I +C：十川+C：=2n1。3奇數(shù)項(xiàng)的二

3、項(xiàng)式系數(shù)和 =偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a=1,b1，則C：-C： C：-C；川-(_1)nC：二(1 -1)n= 0,從而得到：c0 c2 c4Cn-c1 -c3 c；r 1二12n= 2nJ24奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：(a x)n=c0anx0-C1anjxc2anxMlC：a0 xn=ayx1a?x2 a.xn(x a)n= Ca0 xn- C1axn J cna2xnC：anx0= anxna2x2a1x1a0令 x =1,則 aoa1a2a a (a 1)n-令 x=1,則 a-印飛2_玄3an=(a_1)n-得,a0a2a4川an二(a一1)(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)

4、2-得,a1a3a5川an =3心1(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2n5二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)c取得最大值。n二n 1如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)cF，C仟同時(shí)取得最 大值。6系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別(Ari _ A為AI,A2,An.1，設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出r來(lái)。厲申K Ar比6.二項(xiàng)式定理的一種考題的解法：【題型一：二項(xiàng)式定理的逆用】【例 1 】：C：+C；6+C；62十卄|+C；6n=_.解：(1 +6)：+C：6 +C；62+C；6+川+C；6

5、：與已知的有一些差距,1AC：+C26+C；61 +Cnn6n=6(cn6 + C；6| + C：-6：)111(Cn C：6 C：62IH - C：6：-1)(1 6)：-1(7：-1)666練 1 】：C：+3C：+9C；+川+3：。：=_.解：設(shè)S：=C：+3C：+9C；+川+3：叱：，則3S：二C：3 ：32 C；33卅|- Cn3C - C：3 C；32 C；33川 C；3： 一1 = (1 3)： 一1-S：(1 3)：-13：4 -13【題型二：利用通項(xiàng)公式求X：的系數(shù)】【例 2】：在二項(xiàng)式(#丁+頂)：的展開(kāi)式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45，求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知C：1

6、=45，即C =45，：2-：-90=0，解得：-9(舍去)或：-10，由1210卡102Tr.1=C；0(xB10(x3)r=C；0X丁由題意-10 r-3,解得 r =6，43貝V含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1二0怎3=210X3,系數(shù)為210。1【練 2】：求(X2-)9展開(kāi)式中x9的系數(shù)？2x解:Tr1=C9(X2)9(-丄)r二C；x182(-l)rx二C9()rx2r，令18-3r =9,則r =32x22121故x9的系數(shù)為C；()3：22【題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)】【例3】:求二項(xiàng)式(X2+)10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)?2 Jx解:Tr 158184520 r = 0，得r =

7、8，所以T?二G()二22256【練3】:16求二項(xiàng)式(2x)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)?2x解：Tr 1=C；(2x)2(T)r(丄)=(T)rC；26_r()rx6，令6 -2r =0,得r =3，所以2x233T4=(-1) C6一201【練 4】：若(X2十一)：的二項(xiàng)展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則：=_.x解:T5-Cn(x2)：4(1)C4x2：*2，令2：-10,得：=6.x9r0(x2)105120 rC；()rx2,令2【題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)】【例4】：求二項(xiàng)式（JX賓）9展開(kāi)式中的有理項(xiàng)？1127 J解：Tr 1二c；（x2）9丄（-X3）r=（-1）rC；xF，

8、令Z,（0汀乞9）得r = 3或r =9，6所以當(dāng)r =3時(shí)，=4，T（-1）3c93x84x4，6當(dāng)r =9時(shí)，=3，T10=（-1）3C；x3=-x3。6【題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和】【例 5】：若（J7二）n展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為256，求n.解：設(shè)（x2-3打 ）n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a。,an,Jx令 X二1,則有aoaa0,，令 x=1,則有a。-a1 a?- a3 -1）na 2n,將-得：2（a-ia3 a5）=-2n,.a1a3 a5=-2n，有題意得，-2n二-256 = -28，n = 9?！揪?5】：若（ +5士）n的展開(kāi)式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的

9、系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。解：C： C： C：Q：rE-C1- Cn3Cnrd -2nJ，2n_l=1024，解得n =111J12）5=462，T61=462 x15【題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)】1【例 6】：已知（一+2x）n，若展開(kāi)式中第5嘰第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二2項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：C： C：=2C；,. n2-21 n，98=0,解出n =7 或 n =14，當(dāng)n =7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大1351的項(xiàng)是T4和 T5.T4的系數(shù) 二 C3（）423,，T5的系數(shù) 二 c；（）324=70,當(dāng)n=14時(shí)，展開(kāi)式中222二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是

10、T8, T8的系數(shù)=74（丄）727= 3432。2【練 6】：在（a +b）2n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即n的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則5，即n=8,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C；（*）2=7【例 7】：寫(xiě)出在（a-b）7的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的幕指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第 4,5 項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從,._343434而有T4- -C7a b的系數(shù)最小，TC7a b系數(shù)最大。所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為

11、n -6, n =7，T5,叨1，也就是第n 1項(xiàng)。【練 7】：在（295（.3：）6（1【例 8】：若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求（一+2x）n的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)？2解：由C：+C：+C；=79,解出n=12，假設(shè)T十項(xiàng)最大，;g +2x）12= （f）12（1+ 4x）12A i - Ar_Ci?4r J.ArAr ZC；24r_C；214r 1中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)11，有T1(1)12C112)410 x10=16896x10【練 8】：在(1+2x)10的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大1二C；。2rxrAjAr0；2_C；0J2rJ2(11r)_r，1

12、r=1010解得)，化簡(jiǎn)得到6.3乞k乞7.3，又A 1 Ar .2c；2r_C1r012r1,r 1 2(10 r)r n【練 12】：若3Jx -!的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為多少？ 依丿解：令x=1，則的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n=64，所以n = 6,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為IJx丿=a x1a?x2a3X3V a2009X2009(x R),則號(hào) 寺2009的值為1aa2a2009a1a2a2009令XQ,可得a三王一尹* 汀 ” P在令 x =0 可得 a二 1,因而號(hào) 0：；009二-1.554321【練 13】：若(x2) =a5X +a4X +a3X +a2X

13、+3x +a,則&+a2+a3+a4+a5 =_解：令 x =0 得 a二-32,令 x =1 得 a。a1a2a3a4a -1,a1 a2 a3 a4 a5=31.【題型十一：整除性】【例 14】：證明：3” $ _8n -9(n N )能被 64 整除證：3-8n -9 9 -8n -9 = (8 1) -8n -9丸0屛卅+C：Mn+ +c：；82:我1-8n -9=c0十8n4h+cn比 8n+ +C；82+8(n +1) +1 _8n _9= C：比 8n卅 + C：比 8n+ + C；82由于各項(xiàng)均能被 64 整除.32n 2-8n -9(n N*)能被 64 整除以上是二

14、項(xiàng)式定理應(yīng)用的十一種典型題型，可概括為三個(gè)方面的應(yīng)用：二項(xiàng)式的展開(kāi)式及組合先 項(xiàng)原理的應(yīng)用；通項(xiàng)公式的應(yīng)用(求指定項(xiàng)如第三項(xiàng)、倒數(shù)第二項(xiàng)、含有x2項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、無(wú)理【例c；(3 X)3C 1 )3vx13】：若(1_2x)2009-540.解:項(xiàng)等，還可求系數(shù)最大的項(xiàng))：賦值法的應(yīng)用。另外，在題型上還可以與數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合。練習(xí)：1.已知(a+b)n展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為A.14B.132.ab0,a+b=1,(a+b)9展開(kāi)按-,5.nA.B.8 192,則(a+b)n的展開(kāi)式中項(xiàng)數(shù)共有(C.12D.15a 的降幕排列后第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)4455，則 a 的取值范圍是(C

15、.D.(1,+ g)3在2x2一1的展開(kāi)式中含常數(shù)項(xiàng)，則自然數(shù)n 的最小值是()B.3A.2B.3C.4D.54.設(shè)(、2+x)10=ao+a1X+a2X2+a1ox10,貝 H(ao+a2+a4+ a10)2-(a1+a3+ + a9)2的值是(A.1B.-1C.0D.( .2-1)5.設(shè)(1+x)+(1 + x)2+(1 + x)3+ +(1 + x)n=ao+a1X+a2X2+anxn，當(dāng) ao+a1+a2+ + an=254 時(shí)，n 等于A.5B.6C.76.在(1- x)4n+1展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第 2n 項(xiàng)C.第 2n 項(xiàng)和第 2n+1 項(xiàng)7.(1 + x)3+(1 + x

16、)4+ +(1 + x)9+(1 + x)10展開(kāi)式中 x3項(xiàng)的系數(shù)是A.C10B.C10C.C118.C102C104C102C10的值為(19C. (2 -1)2x 最高次項(xiàng)為X10的系數(shù)為(D.8( )B.第 2n+1 項(xiàng)D.第 2n+2 項(xiàng)10( )D.C1110A.3 X 210B.39.多項(xiàng)式(1-2x)6(1+x)4展開(kāi)式中，10 2(x 2) (x -1)的展開(kāi)式中 在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中 x 的系數(shù)為 A.160B.240C.360求(1 + x+x2)7(1-x)8展開(kāi)式中 x10的系數(shù).10.111213.已知(旦-x14.,x)9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為；21 -|x|+ 2展開(kāi)