工科數(shù)學(xué)分析：4-1-5可降階的高階微分方程

1、二階和二階以上的微分方程稱為高階微分方程高階微分方程。本節(jié)將介紹幾種特殊類型的高階微分方程的解法。 原方程即為)() 1(xfdxdyn，直接積分得 Cdxxfyn)()1(， 故原方程只要通過次積分 n就可求出通解。 1例 1求方程xxycossin 的通解。 解 ：1sincos)cos(sinCxxdxxxy ， dxCxCxxy)cossin(2132212sincosCxCxCxx。 21cossinCxCxx， dxCxxy)sincos(1例 2求解初值問題 . 0)0( , 1)0( , yyxeyx 解：xxey ， dxexeexddxxeyxxxx )(1Cexexx，

2、將初始條件0)0( y代入上式，1 1C得，故 1xxexey。 22)1 (Cxexedxexeyxxxx， 所求特解為12xexeyxx。 將初始條件1)0(y代入上式，1 2C得， 方程) ,(yxfy 的特點是不顯含y 未知函數(shù) 。 令zy ，則dxdzzy ， 原方程化為),(zxfdxdz， 設(shè)其通解為) ,(1Cxyz， 則21) ,(CdxCxy。 例 3求方程xyyxln 的通解。 解：令zy ，則zy ，原方程化為 xzzxln，即xxzln)(， 積 分 ， 得11lnlnCxxxCxdxxz， 故xCxz11ln，即xCxy11ln。 再積分，得21ln2lnCxCxx

3、xy。 例 4求初值問題 . , 2, 0lnln211eyyxyyyyxxx的解。 解：設(shè)zy ，則zy ，原方程化為 0lnlnxzzzzx， 即xzxzdxdzln，這是齊次微分方程。 令uxz，xuz，則dxduxudxdz， 從而uudxduxuln， 分離變量得xdxuudu ) 1(ln， )ln(lnxzzzx， 積分，得Cxulnln1lnln， 或改寫為xCu11ln，11xCeu。 以xzu代回，得1 1xCxeyz。 由初值條件21eyx，得11C，所以1xxey。 再積分，得211) 1(Cexdxxeyxx。 由初值條件21xy，得22C。 故所求初值問題的解為2)

4、 1(1xexy。 設(shè)其通解為),(1Cyz， 則原方程的解為21),(CCydyx。 即),(1Cydxdy， 方程) , (yyfy 的特點是x 不顯含自變量。 令)(yzzy，則dydzzdxdydydzdxdzy ， 原方程化為) ,(zyfdydzz， 這是以為自變量 y，為未知函數(shù) z的一階微分方程， 例 5解方程yyy212 。 解：令zy ，則dydzzy ，代入原方程得 即yzdydzz212，即ydyzzdz212， 即11yCdxdyz， 分離變量，得dxyCdy11， 兩邊積分得21112CxyCC， 化簡，得22121)() 1(4CxyCC。 兩邊積分得Cyzlnl

5、n)1ln(2， yCz121， 例6求初值問題 , 1 , 0 , 0200 xxyyyyy的解. 用初值條件, 1 , 000 xxyy 代入得11C， 故12yy，即dxydy12， ydydz2， 2211 zyCyyC積分得，即 積分得2arctanCxy， 再用初始條件00 xy代入，得02C， 故所求特解為xyarctan，即xytan。 即dxydy12， 續(xù)上續(xù)上解：,zy令原方程化為：3322221(1)(1)zkzza 分離變量得：積分得：322(1)dzadxz例 7 證明：曲率為常數(shù)的曲線是圓或直線。322( )(1)yyy xky設(shè)曲線方程為,由題意得120, 0,kyyC xC 若則即曲線為直線；0,k 若322(1)zkz積分：322(1