高等數(shù)學(xué)課件：8-2 數(shù)量積 向量積 混合積

1、2022-1-121第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 *混合積 第八章第八章 （Scalar Product, Vector Product and Mixed Product of Vectors）四、小結(jié)與思考練習(xí)四、小結(jié)與思考練習(xí)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積*三、向量的混合積三、向量的混合積2022-1-1221M一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點(diǎn)積) .引例引例 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s2022-1

2、-123,0時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab記作記作故,0,時(shí)當(dāng)同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個(gè)非零非零向量, 則有Prjabcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba2022-1-124(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實(shí)上, 當(dāng)0c時(shí), 顯然成立 ;時(shí)當(dāng)0cc()abbabcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacbPrj ()cab3. 運(yùn)算律運(yùn)算律2022-1-1

3、25ABCabccos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,例1 證明三角形余弦定理2022-1-126設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,5. 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示 , 得4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積

4、的坐標(biāo)表示2022-1-127)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故例例2 已知三點(diǎn)2022-1-128二、兩向量的向量積引例引例 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) ,有一個(gè)與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個(gè)向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 2022-1-129定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)

5、ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S1. 定義定義2022-1-1210為非零向量, 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:2. 性質(zhì)性質(zhì)2022-1-1211)(kajaiazyx)(kbjbibzyx設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(

6、kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式2022-1-1212kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計(jì)算見行列式計(jì)算見 課本附錄課本附錄) 向量積的行列式計(jì)算法2022-1-1213, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積。解解: 如圖所示,CB

7、ASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三例3 已知三點(diǎn)2022-1-1214解解: 記368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj1(8 03)73, , bb1(8 03)73, , bb2022-1-1215證明證明: 由三角形面積公式ABACSABC21BCBA21CACB21AcbsinBacsinCbasin因ABACBCBACACBBbAasinsinCcsin（注意與課本證法不一樣）（注意與課本證法不一樣）2022-1-12

8、16內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點(diǎn)積點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa（結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量）（結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量）叉積叉積:kjixayazaxbybzbba2022-1-12172. 向量關(guān)系向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba課后練習(xí)習(xí)題習(xí)題8-2 1；3；6；8；92022-1-1218思考與練習(xí)1. 設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .ba,2jibkjia,baba及2. 已知向量的夾角,43ba ,且.

9、 |ba 求, 2|a, 3|bABCD在頂點(diǎn)為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .3.答案答案答案答案答案答案2022-1-1219)3, 1, 1 (,321cos1211sin,1baba1. 設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .ba,2jibkjia,baba及答案答案2022-1-122022343cos322)2(17解：解：2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2. 已知向量的夾角,43ba ,且. |ba 求, 2|a, 3|b2022-1-122122200)2(211ABCD3.在頂點(diǎn)為三角