第5講.幾何問題之角平分線題型Ⅰ(教師)

1、第五講 .幾何問題之角平分線題型1. 掌握角平分線的性質(zhì)和判定；2. 綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題；3. 綜合應(yīng)用垂直平分線、等腰三角形、四邊形等知識(shí)解決相關(guān)問題；4. 學(xué)習(xí)分析問題、解決問題的能力。. 知識(shí)要點(diǎn)詳解：1 .角平分線的性質(zhì)定理：（ 1）角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。（ 2）定理的數(shù)學(xué)表示：如圖1 ，已知OE 是AOB 的平分線，F(xiàn) 是 OE 上一點(diǎn)，若CF OA于點(diǎn) C ， DF OB 于點(diǎn) D ，則 CF DF 。（ 3）定理的作用： 證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；（ 4）角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線。2

2、. 角平分線性質(zhì)定理的逆定理：（ 1 ） 角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。（ 2） 定理的數(shù)學(xué)表示：如圖2， 已知點(diǎn) F 在 AOB 的內(nèi)部， 且 FC OA于 C ， FD OB于 D ，若 FD FC ，則點(diǎn) F 在AOB的平分線上。（ 3）定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線。（ 4）注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系。3. 關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（ 1 ）關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等。定理的數(shù)學(xué)表示：如圖3， 如果 AP 、 BQ

3、、 CR分別是 ABC的內(nèi)角BAC、 ABC 、ACB 的平分線，那么： AP 、 BQ 、 CR相交于一點(diǎn)I ； 若 ID 、 IE 、 IF 分別垂直于BC、 CA、 AB 于點(diǎn) D 、 E 、 F ， 則 DI EI FI 。定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實(shí)際中的幾何作圖問題。（ 2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部。4. 關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（ 1 ）會(huì)作已知線段的垂直平分線；（ 2）會(huì)作已知角的角平分線；（ 3）會(huì)作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.角平分線定理使用中的幾種

4、輔助線作法：（如下圖示）1. 已知角平分線，構(gòu)造全等三角形；2. 已知一個(gè)點(diǎn)到角的一邊的距離，過這個(gè)點(diǎn)作另一邊的垂線段；3. 已知角平分線和其上面的一點(diǎn)，過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段。.角平分線性質(zhì)定理之聯(lián)想：1.2.3.過角平分線上一點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角形?！镜淅v】模塊一 . 角平分線的對(duì)稱性：基本圖形例 1. 如圖， AD 是 ABC 的角平分線，DE AB， DFAC ， 垂足分別是E， F 。 連接 EF ，交 AD 于點(diǎn) G 。說出 AD 與 EF 之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。斷。角是以其平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，此題可以利用這一點(diǎn)進(jìn)行判斷。： 兩條線段之間的關(guān)系有長

5、度和位置兩種關(guān)系，EF AD ，且 證明： Q AD 平分EG FGBACDE AB， DFDE DFAC ，垂足分別是E， F在 Rt DEA和 Rt DFA中：DE QADDFADRt DEA Rt DFAADE ADFDEDF在 DGE 和 DGF 中：GDE GDFDG DGDGE DGF EG FG ，DGE DGF 90o EF AD ，且EG FG 。?點(diǎn)評(píng)：通過此題我們知道，證明兩條線段相等，除了利用全等三角形的性質(zhì)外，還可以利用角平分線的性質(zhì)。這樣我們又多了一種證明線段相等的辦法。在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)，“角平分線”和“兩個(gè)垂直”這兩個(gè)條件缺一不可。例 2. 如圖， BE C

6、F ， DF AC于 F ， DE AB于 E ， BF 和 CE 交于點(diǎn) D 。求證： AD 平分 BAC?！痉治觥浚阂CAD 平分 BAC，已知條件中已經(jīng)有兩個(gè)垂直，即已經(jīng)有點(diǎn)到角的兩邊的距離了，只要證明這兩個(gè)距離相等即可。而要證明兩條線段相等，可利用全等三角形的性質(zhì)來證明。【證明】：Q DF AC于 F ， DE AB于 EDEBDFC 90o在 BDE 和CDF 中DEB DFCQ BDE CDF BDE CDFBE CF DE DF又 Q DF AC 于 F ， DE AB于 E AD 平分BAC 。?點(diǎn)評(píng)：判定角的平分線時(shí)若題目中只給出一個(gè)條件DE DF 或 DF AC， DE A

7、B，那么得出AD 平分BAC這一結(jié)論是錯(cuò)誤的。例 3. 如圖，在ABC 中，C 90o， AD 平分 BAC， DE AB于 E ， F 在 AC 上，BD DF 。求證：CF EB?！痉治觥浚河梢阎獥l件很容易得到DC DE ；要證明CF EB，只要證明其所在三角形全等即可，再由此去找全等條件。【證明】：Q AD 平分 BAC ， C 90o， DE AB DC DE在 Rt FCD 與 Rt BED 中DC DEQ DF BD Rt FCD Rt BED CF EB 。?點(diǎn)評(píng)：掌握角平分線的性質(zhì)和判定固然重要，但學(xué)會(huì)分析題目所給條件更是解決問題的關(guān)鍵。BAC。例 4. 如圖，已知在ABC中，

8、BD DC ，12。求證：AD 平分【分析】：有兩種方法證明AD 平分BAC：一是直接利用定義證明BAD CAD ；二是利用角平分線的判定，證明點(diǎn)D 到角的兩邊距離相等。仔細(xì)觀察，前者需要證明三角形全等，但此題使用全等條件中的“邊邊角”，無法證明兩個(gè)三角形全等。后者通過作垂線構(gòu)造出三角形，其條件足以證明兩個(gè)三角形全等?！咀C明】：過點(diǎn)D 作 DE AB 于 E， DF AC 于 F BED CFD 90oBED CFD在 BDE 與 CDF 中： Q 12BD CDBDE CDFDE DF又 Q DE AB于 E， DF AC于 F AD 平分 BAC 。?點(diǎn)評(píng)：1. 當(dāng)題目中有角平分線這一條件

9、時(shí)，解題時(shí)常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線；當(dāng)有垂線這一條件時(shí)，常作輔助線得到角的平分線；2. 用角平分線證明線段相等或角相等時(shí)，常常與證明三角形全等配合使用，證明時(shí)要先觀察需證明的線段或角（或通過等量代換得到的線段或角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。例 5. 如圖，已知在四邊形ABCD 中，BD 180o， AC平分BAD， CE AD， E 為垂足。求證：AB AD 2AE 。AB，過C作 CH AB， H為垂足Q AC 平分 BAD ，且 CE AD ， CH AB CH CE又 Q HCA 1 90o， HCA ECA在 ACH 與 ACE 中： ACH ACE AH AEECA 2

10、90o，12HCA ECAQ H AEC 90oAC AC又 Q ABC HBC DHBC 180o，ABC D 180o在 Rt BHC 與 Rt DEC 中，HBC DQ BHC DEC 90oHC EC Rt BHC Rt DEC HB DE AB AD AB AE ED AB AE BH AH AE 2AE AB AD 2AE例 6. 如圖1 ， Rt ABC 中， ACB 90o， CD AB ，垂足為D 。 AF 平分 CAB ，交CD 于點(diǎn)E ，交CB 于點(diǎn) F 。（ 1 ）求證：CE CF 。（2）將圖2中的ADE 沿 AB 向右平移到ADE的位置，使點(diǎn) E落在BC 邊上， 其

11、它條件不變，如圖2 所示。試猜想：BE與 CF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。1 ）證明:Q CD AB, ADC 90o.Q ACB 90o, CAF CFA 90o, DAE AED 90o.Q AF 平分 CAB .CAF DAE.CFA AED CEF .CE CF.2）解：BE CF .證明：如圖2，過點(diǎn)E 作 EG AC 于點(diǎn) G .又 QAF 平分CAB， ED AB ， ED EG .由平移的性質(zhì)可知：DE DE ， DE GE .Q ACB 90o，ACD DCB 90o.QCD AB 于 D. B DCB 90.oACD B.在 Rt CEG與 Rt BED中，Q GC

12、E B, CGE BDE,EG ED, CEGBED.CE BE .由（ 1）可知 CE CF ，CF BE .例 7.（ 1） 如圖 1 所示， 在 ABC中， AD 是 BAC的外角平分線，P 是 AD 上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB PC 與 AB AC 的大小，并說明理由。（ 2）如圖2 所示，AD 是ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC PB 與AC AB 的大小，并說明理由。1 ） PB PC AB AC ，理由如下：在 BA的延長線上截取AE AC ，連接 PE ，如圖 1Q AD 是 BAC 的外角平分線，CAP EAP.在 ACP和 AEP中，AC AE ， CAP

13、 EAP， AP AP.ACP AEP，在 BPE 中， PB PE BE ，Q BE BA AE AB AC , PB PC AB AC.（ 2） PC PB AC AB ，理由如下：在 AC 上取一點(diǎn)E ，使 AE AB ，連接PE ，如圖 2Q AD 平分BAC，EAP BAP.Q AE AB ， AP AP ，APE APB ，PE PB.在 EPC中， PC PE EC即 PC PB AC AE，PC PB AC AB .1. 如圖，12， PD OA于 D ， PE OB 于 E ，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()(A). PD PE (B). OD OE (C). DPO EPO (C).

14、 PD OD2. 如圖，ABC中， ABC 120o，C 26o，且DE AB， DF AC ， DE DF求 ADC 的度數(shù)。3. 已知：12 ，34 ，求證：AP 平分 BAC 。4. 如圖， D 是 ABC 的外角 ACE 的平分線上一點(diǎn)，DFAC 于 F ， DE BC 于 E ，且交BC的延長線于E 。求證：CE CF 。5. 如圖，在ABC中，D 為 BC 的中點(diǎn)，DE BC 交BAC的平分線AE 于 E ，EF AB于 F ， EGAC 交 AC 延長線于G 。求證：BF CG6. 如圖， AB / CD ，B 90o， E 是 BC的中點(diǎn)，DE 平分 ADC。 求證： AE平分

15、 DAB。【縱向應(yīng)用】7. 如圖，F(xiàn)， G 是 OA上兩點(diǎn)，M， N 是 OB 上兩點(diǎn)， 且 FG MN ， S PFG S PMN ， 試問點(diǎn) P是否在AOB 的平分線上？8. 如圖， 在 ABC中， AB 3AC， BAC的平分線交BC于點(diǎn)D ， 過點(diǎn) B 作 BE AD ，垂足為 E ，求證：AD DE .9. 求證：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)。練習(xí)題答案【雙基訓(xùn)練】二答案：D三答案：137o四【提示】過點(diǎn)P 作 PE AB 、 PF AC ，利用角平分線性質(zhì)可得PE PF 。4. 【證明】Q CD是ACE的平分線，DF AC于 F ， DE BC于 E DEC DFC 90o， D

16、E DF在 Rt DEC 和 Rt DFC 中DC DCQDE DF Rt DEC Rt DFC CE CF5. 【證明】連接BE、 EC ，由 DE BC， BD DC ， BE EC， AE ?平分BAC， EF AB， EG AC， EF EG Rt BFE Rt CGE ， BF CG6. 【證明】：過點(diǎn)E 作 EF AD 于 FQ DE 平分 ADC ， EC DC ， EF FD CE EF又 Q CE BE EF BE又 Q EF AF ， BE AB AE 平分DAB。【縱向應(yīng)用】7. 【證明】：過點(diǎn)P作 PD OA于 D， PE OB于 E11QSPFG FG PD ， S PMN MN PE ，22而 S PFG S PMN11 FG PD MN PE22又 Q FG MN PD PE又 Q PD OA于 D ， PE OB于 E P 在AOB 的平分線上。8. 證明：如下圖，延長BE 交 AC 延長線于F ，取 CF 中點(diǎn) M ，連接 EM .Q AD 平分 BAC， AE BE ， AE AE，BA