函數(shù)的概念及其表示學(xué)案

1、第4講函數(shù)的概念及其表示遇前雙基鞏-我橫嶗就識 野向囿基社一4©知職聚焦1.函數(shù)與映射的概念映射函數(shù)兩集合設(shè)A B是兩AB 個設(shè)AB是兩個按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集 對應(yīng)關(guān)合A中的 一系個數(shù)x,在集合B中 f: B都有的數(shù)按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f ,使對于集合A中的 一個元素x,在集合B中都有 的元素y與之對應(yīng)f (x)與之對應(yīng)稱為從集稱對應(yīng) 為從集合A到集合B名稱合A到集合B的一的一個映射個函數(shù)記法 y=f (x), x A對應(yīng) f: 2 B2 .函數(shù)的三要素 函數(shù)由、和對應(yīng)關(guān)系三個要素構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x), xC A中，x叫作自變 量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的 .與x

2、的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合f (x) |x A叫作函數(shù)的3 .函數(shù)的表示法 函數(shù)的常用表示方法：、.4 .分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的 ,這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).常用結(jié)論1.常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R(4)零次哥的底數(shù)不能為0. y=ax( a>0 且 awl), y=sin x,y=cos x 的定義域均為 R(6) y=log ax( a>0, aw 1)的定義域為x|x> 0.

3、(7) y=tan x 的定義域為 1 x I xw k 兀 +g, k C Z.2 .抽象函數(shù)的定義域 若f(x)的定義域為mn,則在fg(x)中，me g(x)<n,從而解得x的范圍，即為fg(x) 的定義域.(2)若f g(x)的定義域為mn,則由me xw n確定g(x)的范圍，即為f (x)的定義域.3 .基本初等函數(shù)的值域(1) y=kx+b(kw0)的值域是 R(2) y=ax2+bx+c( a* 0)的值域：當(dāng)a>0時，值域為4?- ?2-4?-+oo,;當(dāng)a<0時，值域為4?- ?2(-OO I :4?.?y=?( kw 0)的值域是y|y豐0.(4) y=

4、ax( a>0 且 aw 1)的值域是(0, +°°).y=log ax(a>0且aw1)的值域是 R題組一常識題1 .教材改編以下屬于函數(shù)的有 .(填序號)y=± V?;y2=x-1;y=V?- 2+v1- ?;y=x2-2( xC N).2 .教材改編已知函數(shù) f(x)=?2+；,? ； 0, 則 f(-2)=,ff(-2) =. ,3 .教材改編函數(shù)f (x)三署的定義域是 _. ?+ 34 .教材改編已知集合A=(1,2,3,4,B=a, b, c, f:A- B為從集合A到集合B的一個函數(shù)那么該函數(shù)的值域C的不同情況有 種.題組二常錯題索引：

5、求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致錯；分段函數(shù)解不等式時忘記范圍；換元法求解析式，反解忽視范圍；對函數(shù)值域理解不透徹致錯.5 .函數(shù)y=v?-2 v?+2的定義域是 .6 .設(shè)函數(shù)f(x)=(?+ 1) , ?< 1,則使得f(x)>1的自變量x的取值范圍 4-V?-1, ? > 1,7 .已知 f (e)=x-1,貝U f (x)=8 .若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)” 那么函數(shù)解析式為 y=x2，值域為1,4的“同族函數(shù)”共有 個.課堂考點探究一典例導(dǎo)解法息歸倏型探究點一函數(shù)的定義域 角度1求給定函數(shù)解析式的定義域例1 (1)函

6、數(shù)f (x) =ln( x2-x)的定義域為 ()A (0,1 B . 0,1C (-8,0) U (1, +8 )D. (-00,0) U1, +8 )(2)函數(shù)f(x)i4區(qū)?+的定義域為()A (-3,0B.(-3,1C (-oo,-3) U (-3,0D. (-00,-3) U (-3,1總結(jié)反思(1)求函數(shù)定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;(2)若函數(shù)是由幾個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時一般是列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可;(4) 注意不要輕易對解析式化簡變形，否則易出現(xiàn)定義

7、域錯誤角度2求抽象函數(shù)的定義域 例2 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2,.?(2 ?) .則函數(shù)g(x)=?j的定義域是()inA 0,1 B . 0,1)C.0,1) U (1,4 D(0,1)(2)若函數(shù)f(x2+1)的定義域為-1,1,則f(lgx)的定義域為()A -1,1B. 1,2C 10,100D. 0,lg 2總結(jié)反思(1)無論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域均是指其中的x的取值集合;(2)同一問題中、同一法則下的范圍是一致的，如fg(x)與fh(x),其中g(shù)(x)與h(x) 的范圍(即它們的值域)一致.變式題(1)若函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,1),則f

8、(x+1)的定義域為()A (-1,0) B. (0,1)C(1,2) D . (-1,1)(2)已知函數(shù)y=f (x2-1)的定義域為-v3, v3,則函數(shù)y=f(x)的定義域為 .。探究點二函數(shù)的解析式例3 (1)已知f (x+1)=3x+2,則函數(shù)f(x)的解析式是()Af (x) =3x-1 B .f (x) =3x+1Cf (x) =3x+2 D .f (x) =3x+4(2)已知二次函數(shù) f(x)滿足 f(x+1)-f (x)=-2x+1，且 f(2) =15,則函數(shù)f(x) =.設(shè)函數(shù)f(x)對不為0的一切實數(shù)x均有f (x)+2f(2?m=3x,則f(x)=.總結(jié)反思求函數(shù)解析

9、式的常用方法：(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.(2)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法. 配湊法：由已知條件f g(x) =F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代 g(x),便得f (x)的解析式.1(4)解萬程組法：已知f(x)與f (而)或f(-x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一 個等式，兩等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).變式題(1)已知函數(shù)f(2 x-1)=4x+3，且f(t)=6,則t= ()1111A.2 B-3 C4 D-5(2)若 f(x)對于任意實數(shù)

10、 x 恒有 3f (x)-2f(-x)=5x+1，則 f (x)=()Ax+ 1Bx- 1C 2x+1 D 3x+3若f (x)為一次函數(shù)，且f f (x) =4x+1，則f (x)=探究點三以分段函數(shù)為背景的問題微點1分段函數(shù)的求值問題例4(1) 2018 衡水調(diào)研設(shè)函數(shù)?+ 1,? >0,f(x)=.?,?< 0,則 ff(-1) =A0 B. 2C- 2D 16A3 B.缶1C 1 D. 3貝U f (log 27)=2?,?< 2,(2)已知的數(shù) f(x) =?(?-1), ? >2,總結(jié)反思求分段函數(shù)的函數(shù)值時務(wù)必要確定自變量所在的區(qū)間及其對應(yīng)關(guān)系.對于復(fù)合函

11、數(shù)的求值問題，應(yīng)由里到外依次求值.微點2分段函數(shù)與方程(3 + ?) ? +?< 1,4例 5 (1)已知函數(shù) f(x)=(0go?；,?>；,若 ff(1) =3,則 a=()A 2 B.- 2? (2) 函數(shù) f (x) =?-，ln ? ?> 0若f(0) +f(a)=2,貝U a的值為總結(jié)反思(1)若分段函數(shù)中含有參數(shù)，則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參;(2)若是求自變量的值，則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進(jìn)行分類討論，再求值.微點3分段函數(shù)與不等式問題2- ?-1, ? <0,例6 (1) 2018 惠州二模設(shè)函數(shù)f(x)=?, ?0 若f(xo

12、)>1,則xo的取值范圍是()A(-1,1)B. (-1, +0°)C(-8,-2) U(0, +8)D.(-OO,-1) U (1, +8). 2 ? ? W 0 (2) 2018 全國卷I設(shè)函數(shù)f(x)=1 ?>' 0 FU滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是()A (-8,-1B. (0, +OO)C(-1,0)D.(-8,0)總結(jié)反思涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題 ，主要表現(xiàn)為解不等式，當(dāng)自變量取值不確定 時，往往要分類討論求解；當(dāng)自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)時，只需依據(jù)自變量的 情況，直接代入相應(yīng)解析式求解.應(yīng)用演練21.【微點 1

13、】若函數(shù) f(x)=不: 1?< 0,則 f(1) +f(-1)=()v?, ? > 0,2.1微點o2?-12】設(shè)函數(shù)f(X)=2-1og+?3,?j 0,若f=4,則實數(shù)a的值為()11A2 B-8D 163.1微點3】已知函數(shù)f(x) =10g 2?, ? > 0,?2-?-1,? W0,則不等式f(x)W5的解集為()A-1,1B.- 2,4C(-8,-2 U (0,4)D. (-oo,-2 U 0,4?2-2?, ? >0,4 .【微點3】2018 湖北咸寧聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=1 ?<則不等式f(x)Wx的?-0,解集為()A -1,3B.(-8,-1

14、 u 3, +8)C.-3,1D. (-oo,-3 U1, +oo)5 .【微點 2】設(shè)函數(shù) f(x)=3?-?,?<，若 f?©=4,則 b=第4講函數(shù)的概念及其表示考試說明1 . 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2 .在實際#境中，會根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法，列表法，解析法)表示函數(shù).3 .了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).【課前雙基鞏固】知識聚焦1 .非空數(shù)集非空集合任意唯一確定任意唯一確定f：A- B f：A- B2 .定義域值域定義域值域3 .解析法圖像法列表法4 .對應(yīng)關(guān)系對點演練1.解析對于定

15、義域內(nèi)任給的一個數(shù) x,可能有兩個不同的y值,不滿足對應(yīng)的唯 一性，故錯.的定義域是空集，而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集 ，故錯.只有表示函數(shù).2.4 5 解析因為 f(-2) =(-2)2=4,所以 ff (-2) =f(4) =4+1=5.3 . (-00,-3)U(-3,8解析要使函數(shù)有意義，需8-x >0且X+3W0,即xW8且xW-3,所以 其定義域是(-oo,-3)U(-3,8.4 . 7 解析只含有一個元素時有a,b,c;有兩個元素時，有a, b,a,c,b,c;有三個元素時，有a, b, c.所以值域C共有7種不同情況.5 .x|x >2解析要使函數(shù)有意義，需?;2 ;

16、解得x> 2,即定義域為x|x >2. ? + 20,6 . (-8,-2 U 0,10解析二-(*)是分段函數(shù)，：f(x) >1應(yīng)分段求解.當(dāng) x<1 時，f(x) >1? (x+1)2>1? xW-2 或 x>0, ：xW-2 或 0w x<1.當(dāng) x>1 時，f(x)>1? 4- v?-1 > 1,即 v?-1 w 3, ：1wxw10.綜上所述，xW-2 或 0wxw 10,即 xC (-8,-2 U0,10.7 .x 2-1(x>0)解析令 t= V?,則 t >0, x=t2,所以 f (t) =t2-1

17、(t >0),即 f(x) =x2-1(x>0).8 .9 解析設(shè)函數(shù)y=x2的定義域為D,其值域為1,4, D的所有可能的個數(shù)，即是同族函數(shù) 的個數(shù)，D的所有可能為-1,2, -1,-2,1,2,1,-2, -1,1,2, -1,1, -2, -1,2, -2,1,2,-2, -1,1,2, -2,共9個，故答案為9.【課堂考點探究】例1 思路點撥(1)根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)大于0求解;(2)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負(fù)及分母不為0求解.C(2)A解析(1)由 x 令 2t+ 5=6,貝U t= 2,故選 A.-x>0,得 x>1 或 x<0,所以定義域為(-8,0)U

18、(1, +8).(2)由題意,自變量x應(yīng)滿足：；2?Q；0c解得?： 0；故函數(shù)的定義域為(-3,0. ：+ 3 > U,? > - 3,例2 思路點撥(1)由f(x)的定義域得f (2 x)的定義域，再結(jié)合ln xw0求解;(2)由xC -1,1,求得x2+1的范圍是1,2,再由iwig xw2即可得函數(shù)f(lg x)的定義域.D(2)C 解析(1) f(x)的定義域為0,2,要使f (2x)有意義，則有0W2xW2, ：0<x< 1,:要使 g(x)有意義，應(yīng)有0: 1, -0<x<1,故選 D.In,(2)因為f (x2+1)的定義域為-1,1,所以-

19、1WxW1,故0*&1,所以1*2+12.因為£(*2+1)與f(lgx)是同一個對應(yīng)法則，所以1wig xW2,即10WxW100，所以函數(shù)f(lg x)的定義域為10,100.故選 C.變式題 (1)A(2) -1,2解析(1)由題意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故選A(2)因為函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為-v3, v3,所以-V3W xw 芭，所以-1 w x2-1 w 2,所以函數(shù)y=f(x)的定義域為-1,2.例3 思路點撥(1)用配湊法將根據(jù)等式恒成立求出待定系數(shù)即可3x+2配湊成3(x+1)-1;(2)設(shè)出二次函數(shù)，利用待定系數(shù)

20、法 ；(3)構(gòu)造含f (x)和f (翳)的方程組，消去f (翳)即可得A(2) -x2+2x+15 (3) 4036-xf(x)的解析式.解析(1)由于 f (x+1)=3( x+1)-1,所以 f (x)=3x-1.(2)由已知令 f (x) =ax2+bx+c( aw0),貝U f (x+1)-f (x)=2ax+b+a=-2x+1, -2a=-2, a+b=1, . . a=-1, b=2,又 f (2) =15, ：c=15, . f(x)=-x2+2x+15.(3) f(x)+2f (翳)=3x，且 xw0,2018用年代替中的x,得f(2018+2f(x)=3X2018?解組成的方

21、程組，消去f (翳)得f (x) =40?6-x.變式題 (1)A(2)A(3)2 x+1 或-2x-1解析(1)設(shè) t= 2x-1,則 x=?32?+1故 f(t)=4X +3=2t+ 5,(2)因為 3f (x)-2f(-x)=5x+1 ,所以 3f(-x)-2f(x)=-5x+1 ，聯(lián)立，解得 f(x)=x+1，故選A(3)設(shè) f (x)=ax+b(aw0),由 f f(x) =af(x)+b=ax+ab+b=4x+1，得 a2=4, ab+b=1,解得 a=2, b=13.1 一或 a=-2, b=-1,.= f (x) =2x+a或 f (x)=-2x-1.3例4 思路點撥(1)先求

22、f (-1)的值，再求f f(-1)的值;(2)先估算log 27的范圍，再確定 選用哪段解析式求值.71D(2)2 解析(1)由題意可得 f(-1)守2, ：ff(-1) =f(2) =3，故選 D.(2)因為 2<log27<3,所以 1<log27-1<2,所以 f(log 27) =f(log 27-1) =2log 27-1=2l0g 27+2=2.例5 思路點撥(1)先求得f(1) =0,再據(jù)f(0) =3求分段函數(shù)中的參數(shù);(2)分aw 0和a>0 兩種情況討論求解.D(2)0或1解析(1)根據(jù)題意可知f(1) =log a1=0，所以ff (1)

23、=f(0) =(3 +a) x 0+a=a=3,即a=3,故選D.2?, ?W0,. o(2) Vf(x)=?-,ln?,?> 0, (0) =2=1.當(dāng) a>0 時，f (a) =a-ln a,則有 1+a-ln a=2,解得 a=1;當(dāng) aw 0 時，f (a) =2a,貝U有 1 +2a=2,解得 a=0.例6 思路點撥(1)分x°w 0和x°>0兩種情況討論求解;(2)根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，結(jié)合圖像可得不等式成立的條件.D(2)D解析(1)當(dāng) x0W0 時，由 f(x0)=2-?0-1>1,即2-?0>2,解得 X

24、o<- 1;1當(dāng) X0>0 時，由 f (X。) =?0>1,解得 X0>1.：X0 的取值范圍是(-oo,-1) U(1, +oo).(2) f (x)的圖像如圖所示.當(dāng)?；:0,即x<-1時，若滿足f (x+1)<f(2x),則滿足x+1>2x, 2?w 0,一 ，.?+ 1 > 0 一即x<1,此時xw -1；當(dāng)2? < 0 '即-1 <x<0時,f (x+1)<f (2 x)恒成立.綜上,x的取值氾圍是 , ,x<0.故選D應(yīng)用演練21.A 解析由函數(shù) flx)4?1, ?< 0，得 f(

25、1) +f(-1) = +-21+1=0.V?, ? >0,-2. B 解析因為我團(tuán)=4,所以22?-1+ 3= 4，或：；嗎?？= 4， ? W 0? > 0,1 1,所以?= 2,或?= 8,所以a=,故選B.? W0?> 0,8丘卡3+ log 2?，？> 0，3. B 解析由于 f(x) = . J2 ” ?2-?-1,? W0,所以當(dāng) x>0 時,3 +log 2X< 5,即 log 2X< 2=log 24,得 0<x< 4;當(dāng) xW0 時,x2-x- K5,即(x-3)( x+2) & 0,得-2WxW0.所以不等式f

26、(x)W5的解集為-2,4.4. A 解析當(dāng) x>0 時，由 x2-2xwx,得 0wxw3;當(dāng) x<0 時，由?W x,得-1 w x<0.故不等式f(x) Wx的解集為-1,3.1 .，555.2 解析由 f?(6)=4,可得 f(5 ?)=4.535 ” 一. 1若5b>1,即bW可得2 2-4，解得b=1.535一一.73.1若5-b<1,即b>3,可彳導(dǎo)3X(5-?)-b=4,解得b=7<3(舍去).故答案為2.I熱照簿照耨察/目為狡師專用【備選理由】 例1考查給定函數(shù)解析式，求抽象函數(shù)的定義域問題；例2考查分段函數(shù)的求 值，但涉及三角函數(shù)及函數(shù)的周期性 ；例3考查分段函數(shù)與方程問題，先分析參數(shù)的范圍，可 以避免分類討論；例4是對函數(shù)值