第十九章含參量積分

1、教歲今行數(shù)嚓第十九章含參量積分教學(xué)目的：1.掌握含參量正常積分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算方法；2.掌握兩種含 參量反常積分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算方法；3.掌握歐拉積分的形式及有關(guān)計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是含參量積分的性質(zhì)及含參量反常積分的一致收斂性 的判定；難點(diǎn)是一致收斂性的判定。教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí)§ 1含參量正常積分一.含參積分：以實(shí)例初方和冷聲引入.定義含參積分八"勸和 g）="冗板.含參積分提供了表達(dá)函數(shù)的乂一手段.我們稱由含參積分表達(dá)的函數(shù)為 含參積分.1 .含參積分的連續(xù)性：Thl9. 5 若函數(shù) 八兀出在矩形域上連續(xù)，則函數(shù)砂在以1上連續(xù)（證）P172T

2、hl9. 8若函數(shù) 以羽出在矩形域門=心刈刈c,d上連續(xù)，函數(shù)為（力 和 當(dāng)口）在即打上連續(xù)，則函數(shù)。（乃=二：/5,切功在即列上連續(xù). （證）P1732 .含參積分的可微性及其應(yīng)用：教學(xué)合析數(shù)案-12-Th 19. 10若函數(shù)/（右力及其偏導(dǎo)數(shù) 人都在矩形域2 =心加義",刈上 連續(xù)，則函數(shù)了=（/（X,7）處在a力上可導(dǎo)，且八元/）0 = /九（上力/（即積分和求導(dǎo)次序可換）.（證）P174Th 19.11設(shè)函數(shù)/（兀7）及其偏導(dǎo)數(shù) 人都在矩形域。=巴刈刈瓢口上 連續(xù)，函數(shù)外（力和打（刈定義在即列，值域在cl上，且可微，則含 參積分出力=人天）功在以力上可微，且辦MG（力元川十川

3、環(huán)川一九口抽.（證）P"4例1計(jì)算積分I =產(chǎn)0 7金.P176.J） 1 + X2例2設(shè)函數(shù)/（x）在點(diǎn)方=。的某鄰域內(nèi)連續(xù).驗(yàn)證當(dāng)|x|充分小時(shí)，函數(shù)的H-1階導(dǎo)數(shù)存在,且 評(píng)）=%）.P177.§ 2 含參反常積分一.含參無窮積分：1 .含參無窮積分：函數(shù)1®川定義在即Bx? + 8）上（以力 可以是無窮區(qū)間）.以 了（乃=（幾7）次為例介紹含參無窮積 分表示的函數(shù)ZW.2 .含參無窮積分的一致收斂性：逐點(diǎn)收斂（或稱點(diǎn)態(tài)收斂）的定義：步,¥>0, 3M>c, 使工：了（見川的卜£.引出一致收斂問題.定義（一致收斂性）設(shè)函數(shù)/&

4、quot;J）定義在。田乂 "/CO）上.若對(duì) V£>0,3>c,使/沖£對(duì) ,成立，則稱含參無窮積 分了（兀）功在a（關(guān)于X）一致收斂.Th 19. 5 （ GucAp收斂準(zhǔn)則）積分我在口步上一致 收斂，OV£>0, 3M>0yA1,A2>Mr O /八尤力打 £對(duì) 以e以力成立.例1證明含參量非正常積分j手。在5, +8）上一致收斂，其中50.但在區(qū)間（0,+ 8）內(nèi)非一致收斂.P1803 .含參無窮積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系：最厚今折放嗓Th 19. 6 積分了=/配加功在口上一致收斂，O 對(duì)任一數(shù)列 4）（4=

5、0，4/ +8,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，廣加,叱當(dāng)如在 W刈上 一致收斂. （證略）二.含參無窮積分一致收斂判別法：1. %£"S5&SS M判別法：設(shè)有函數(shù)gj）,使在a/xj + co）上有I /（3）口（>）若積分0）功<+8，則積分廣了（?；?在 4 一致收斂.例2 證明含參無窮積分在-03 <y <+8內(nèi)一致收斂. P1822. Dirichlet判別法和Abel判別法：P182三.含參無窮積分的解析性質(zhì)：含參無窮積分的解析性質(zhì)實(shí)指由其所表達(dá) 的函數(shù)的解析性質(zhì).1. 連續(xù)性：積分號(hào)下取極限定理.Th 19.7設(shè)函數(shù) 八九#在a/x j + s）

6、上連續(xù).若積分 /（6=，（兀切在口力上一致收斂，則函數(shù) 以月在上連續(xù).（化 為級(jí)數(shù)進(jìn)行證明或直接證明）推論在Th. 7的條件下，對(duì)以HL1,有士 9士 9才9 f1Hm f /（3所如（元力忸2. 可微性：積分號(hào)下求導(dǎo)定理.-12-教歲今行數(shù)嚓Th 19.8 設(shè)函數(shù)/和/在即切乂"，+ 8)上連續(xù).若積分了(乃=八幾刃我在力上收斂,積分人(")功在以力一致收斂.則函數(shù)*方在即刈上可微，且 =”)我.3. 可積性：積分換序定理.Th 19.9 設(shè)函數(shù)/(3y)在。油乂"，+ 8)上連續(xù).若積分/(6=方在口力上一致收斂，則函數(shù) 以月在上可積，且 有（曲fx,y）d

7、y =如f/（xj）的.例3計(jì)算積分P_吃 sin hi - sin ax , 外dx,（尹 ）0, b>a） P186四.含參瑕積分簡(jiǎn)介:§ 3曲_Zer積分本節(jié)介紹用含參廣義積分表達(dá)的兩個(gè)特殊函數(shù)，即(s)和它 們統(tǒng)稱為反積分.在積分計(jì)算等方面，它們是很有用的兩個(gè)特殊函數(shù).一. Gaarna函數(shù)($)£uIftr第二型積分：1. Ga她&函數(shù)：考慮無窮限含參積分產(chǎn)1尸dx ,(s0)當(dāng)0<sl時(shí)，點(diǎn)穴=0還是該積分的瑕點(diǎn).因此我們把該積分分為 j +0來討論其斂散性.，:s21時(shí)為正常積分.0<s<1時(shí)，/，一丫 >0.利用非負(fù)函數(shù)

8、積的 0。燈判別法，注意到lim產(chǎn)s(/1 -s < 15 => 0<s<l時(shí)積分f 收斂.(易見s = o時(shí)，仍用a“c加判別法判得積分發(fā)散).因此so時(shí)積分 ，收斂.廣 ：1=/1尸1 0,(N+CO)對(duì)MS U斤成立，.因此積分 對(duì)WseR收斂.綜上，s>0時(shí)積分/夫小收斂.稱該積分為小】打第二型積分.%1時(shí)第二型積分定義了 se(U, + co)內(nèi)的一個(gè)函數(shù)，稱該函數(shù)為Gs 函數(shù)， 記為，即(s)=/1尸版,(s>0).一函數(shù)是一個(gè)很有用的特殊函數(shù).2. -函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性：G)在區(qū)間(。，+ 8)內(nèi)非一致收斂.這是因?yàn)閟 = o時(shí)積分發(fā)散.這里

9、利 用了下面的結(jié)果：若含參廣義積分在ye 內(nèi)收斂，但在點(diǎn)沙=«發(fā)散， 則積分在內(nèi)非一致收斂.教學(xué)合析數(shù)案但廠區(qū)）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)閉一致收斂.即在任何應(yīng)句u（0”co）上, 抬）一致收斂.因?yàn)?<口<8時(shí)，對(duì)積分f ,有 產(chǎn)】尸4產(chǎn)展"而積分 j/7 r以收斂.對(duì)積分 廣,/3«產(chǎn)上，而積分丁產(chǎn)】k辦收斂.由J一判法，它 們都一致收斂，今積分/聯(lián)加了在區(qū)間凡句上一致收斂.作類似地討論，可得積分.（7-%-*）；公也在區(qū)間（。，+8）內(nèi)閉一致收 斂.于是可得如下結(jié)論：的連續(xù)性:在區(qū)間（0,+8）內(nèi)連續(xù).G）的可導(dǎo)性：G）在區(qū)間（。，+ 8）內(nèi)可導(dǎo)，且&

10、#39;（s） = J （xff ）dx = J X5-10-yLn.同理可得：（s）在區(qū)間（0,+ 8）內(nèi)任意階可導(dǎo)，且（s） = J辦.3. 凸性與極值：P（s）=0 /（In刈2dx >0,今 在區(qū)間（。，+ 8）內(nèi)嚴(yán)格下凸.=e2）=1 （參下段）,=> 廠區(qū)）在區(qū)間（。，+ 8）內(nèi)唯一的極限小 值點(diǎn)（亦為最小值點(diǎn)）介于1與2之間.4. （$）的遞推公式一函數(shù)表：的遞推公式：3 +1) = S，(S0).證 (s +1)=0xdx =Wdx =-x'-，X"尸dx = sj x$%_xdx = s(s).=產(chǎn)歐=尸必=1.于是，利用遞推公式得:(2) =(

11、1 +1) = 1(1) = 1 ,(3) =(2 + 1) =2(2) = 27 = 21,(4) =(3 + 1) =3=321=31 ,一般地71,(加 + 1)=為(力)=n(n - l)r(« T)=典 I.可見，在Z+上，G)正是正整數(shù)階乘的表達(dá)式.倘定義sl=(s + l), 易見對(duì)s7,該定義是有意義的.因此，可視(s + 1)為(7,+ 8)內(nèi)實(shí)數(shù) 的階乘.這樣一來，我們很自然地把正整數(shù)的階乘延拓到了(-1,+ 8)內(nèi)的所 有實(shí)數(shù)上，于是，自然就有01 =(。+1)=(1)=1,可見在初等數(shù)學(xué)中規(guī)定 0!=1是很合理的.一函數(shù)表：很多繁雜的積分計(jì)算問題可化為-函數(shù)來

12、處理.人們仿三 角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等函數(shù)表，制訂了-函數(shù)表供查.111-函數(shù)的遞推公式 可見，有了-函數(shù)在0<s<1內(nèi)的值，即可對(duì)YsO,求得的值. 通常把l.U04s4 2.00內(nèi)一函數(shù)的某些近似值制成表，稱這樣的表為一函 數(shù)表 也有在0s41.00內(nèi)編制的一函數(shù)表.)12教學(xué)合析數(shù)案教律今折放嗓5. -函數(shù)的延拓：s>o時(shí)，（$ + 1）= s（s）, => r（ff）= 該式右端在-i<s<o時(shí)也 3有意義.用其作為-l<ff<OW（S）的定義,即把G）延拓到了（T,O）u（O, + g）內(nèi).-2（s<T時(shí)，依式?。?至士工，利用延拓后

13、的S，乂可把心）延拓到（一2,-1）（一1,0）（0”8）內(nèi).依此，可把6）延拓到（-8,+8）內(nèi)除去兀=-冏（/= 0,12）的所有點(diǎn).經(jīng)過如此延拓后的（$）的圖象如P192圖表19一2.例 1 求0.85）, H0.85）, H-2.15）.（查表得r（1.85） = 0.94561.）解 f（4.85） = 3.85f（3.85） = 3.85x2.85r（2.85） =3.85x2.85 xl.85r（1.85）= 3.85x2.85x1.85x0.94561 = 19.19506.r（1.85） = 0.85r（0.85）, =>H0.85） = 1.11248 .0.850.

14、851 .（一0.15）=17（0.85）-2.15 -1.15 -2.15x1.15 -0.150.945612.15x1.15x0.15=-2.549676. r-函數(shù)的其他形式和一個(gè)特殊值：某些積分可通過換元或分部積分若干次后化為一函數(shù).倘能如此，可 查-函數(shù)表求得該積分的值.常見變形有:i > 令工=加（0）, 有 （$）=（ /4-"小= p'J； 2'-!中山,因此，J if-/公=,（7）> 0, s > 0）.ii> 令 x =/2,=>（s） = 2Z禽-1"威.注意到P7的結(jié)果-”加=弓，得（s）的一個(gè)特殊值

15、5-1/】出.取A=l,（；） = 2 r7% = 2告=后%1.772454.iii> 令矛= 21n£ （4>。），得 心）=農(nóng)h-G）= j卜;dt=卜山2嚴(yán)力.例2 計(jì)算積分丁三7立， 其中«eZ+.解I上M臉"" +品；,寧嗎尸亨而二.胡3函數(shù)8（應(yīng)）Euler第>一型積分：1. %3函數(shù)及其連續(xù)性：稱（含有兩個(gè)參數(shù)的）含參積分行儀以（聲>0, q>0）為Eider 第一型積分.當(dāng)尹和q中至少有一個(gè)小于1時(shí)，該積分為瑕積分.下證對(duì) p0”0,該積分收斂.由于 乙01時(shí)點(diǎn)芯=0和x = l均為瑕點(diǎn).故把 積分j分成和

16、'考慮教學(xué)今折數(shù)嗓/ : 21時(shí)為正常積分；時(shí)； 點(diǎn)尢=。為瑕點(diǎn).由被積函數(shù) 非負(fù)，產(chǎn)/尹一】（1一1尸一】7 1,（/70+）和1一戶<1,21（由Cue加判法）今積分C收斂.（易見#=0時(shí)積分/發(fā)散）.I« 21時(shí)為正常積分；0 cpe1時(shí)，點(diǎn)萬=1為瑕點(diǎn).由被積函數(shù)非負(fù),（1-力1（1-幻上】#-111,6 - 1一）和1-<?<1,（由Que加判法）今積分收斂.（易見m=0時(shí)積分發(fā)散）.綜上，/> >0, <? >0時(shí)積分，收斂.設(shè)D=闖）|0 < P < +8 , 0 < < +8,于是，積分j定義了

17、 內(nèi)的一個(gè)二元函數(shù).稱該函數(shù)為物"函數(shù)，記為 B3,g）,即B®q）;（元川。一幻”公 （p>0,Q0）不難驗(yàn)證，£-函數(shù)在內(nèi)閉一致收斂.乂被積函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，因此， B -函數(shù)是內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù).2. B-函數(shù)的對(duì)稱性：以= Bq,p）.證 取p,q）="1（1 _為"以= =_ J（1-）”】*% = gr(i-y-M =£©/).由于3 -函數(shù)的兩個(gè)變?cè)菍?duì)稱的，因此，其中一個(gè)變?cè)哂械男再|(zhì)另一 個(gè)變?cè)匀灰簿哂?3. 遞推公式：班7+1 , g+1)= +1應(yīng)).證 3(尹 + 1國(guó) +1) = J；N(1 刈,

18、 Hx =)"(”+】)=(ixp 犬t ；+工 f/+】(i _念=工一 打戶以,*Jp + 1P1J。p + lJ)而,尹虱(1 -而2dx = j/ /(1 一 X)(l-乃8公=j/(l-兀以= 3(p + l,4)-E+l,c + l),代入 *)式，有 3(p + l ,4+ 1)=3(尸+l,g)-=0(聲+1 , q+1),p +1r + 1解得 3(p + l , q + l)= 一鞏7+1 國(guó)). 聲乜+ 1山對(duì)稱性，乂有 80 + 1,4 + 1)=-80,4 + 1).。+q + 14. 3-函數(shù)的其他形式：i> 令丁 =/，有 j/Q-/杰=因此得jp

19、 -二）工=ii> 令 y = cosx,可得sin* 矛cos'xdx =特別地，iii>iv>v>（1-封阿一】方=田 a上。1, a，% 1),a十1"T"«+1"T"/十121 4尸一->0,月)-1. aa >TQ-L/1,*9令工=士，有8（國(guó)尸行儀以二Jdi = B(p.q), (1+Z 嚴(yán)令2 =二-二，可得6 - a b - a（PO，qO）U威, ("叱£（了一幻2儂一力標(biāo)】辦=（5一嚴(yán)*1與想瑜，煙0, « >0.產(chǎn)一嚴(yán)1dx =4壬 0,-1;> 0 , « > 0.一函數(shù)和8-函數(shù)的關(guān)系：-函數(shù)和8-函數(shù)之間有關(guān)系式(召 +1)教學(xué)今折數(shù)嗓以下只就聲和q取正整數(shù)值的情況給予證明.尹和q取正實(shí)數(shù)值時(shí)，證 明用到-函數(shù)的變形和二重?zé)o窮積分的換序.證 反復(fù)應(yīng)用3-函數(shù)的遞推公式，有n/ 、修一 1八方一 1履一 21 八/ _=-1） = ,）,施十力- 1加十足一1 搐十一2 加十1而 B(m9X) = ,=>加m附一 2洲+%一 21.1 (摩7)! m +1 m (m -1)!（活