勾股定理筆記要點

1、勾股定理基礎(chǔ)知識匯總一、已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)直角三角形中的邊角關(guān)系1 兩銳角之間的關(guān)系：.A . B = 90°2邊與高的關(guān)系： ab=ch3邊與角之間的特殊關(guān)系：在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；4.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。二、勾股定理在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2亠b2 =c2三、勾股定理逆定理如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。四、勾股數(shù)組2 2 21如果三個正整數(shù) a, b,c滿足關(guān)系a b =c ,那么a, b,c叫做勾股數(shù)。2勾股數(shù)的性質(zhì)如果a,b,c是勾股數(shù)，k為正整數(shù)

2、，那么ka, kb, kc也是勾股數(shù)思考：勾股數(shù)的定義中有何限制？3常用勾股數(shù)：3,4,5; 5, 12,13; 7,24,25; 8,15,17;4勾股數(shù)的幾種表達方式(1).2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 (畢達哥拉斯) n2 一1,2n,n2 1 (柏拉圖)(3)m2 一 n2,2mn,m2 n2 (丟番圖)請?zhí)骄可鲜鋈齻€表達式，思考下列問題(1)你能從勾股數(shù) 3,4,5; 5, 12,13; 7,24,25;歸納出畢達哥拉斯給出的表達式嗎？這組勾股數(shù)有何特征？(2) 柏拉圖公式與丟番圖公式之間有何聯(lián)系? 與你已經(jīng)學(xué)過的哪些公式有關(guān)聯(lián)？五、勾股定理應(yīng)用(1) 學(xué)習(xí)過勾股定理之后

3、三角形的特殊關(guān)系 如果 A =30°，那么 a: b:c=1:3: 2 如果.a =45°，那么 a: b:c = 1:1: 2 如果a, b,c是直角三角形的三條直角邊，那么以a+ b, c + h, h的長為邊的三條線段能組成直角三角形 如果a, b,c是直角三角形的三條直角邊，那么以111,的長為邊的三條線段能組成直角三角形abh(2) 藤繞樹問題的解法我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周 而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示， 把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱 的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤

4、自點A處纏 繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處則問題中葛藤的最短長度是 尺.ffHaAGDF（3）長方體盒子對角線的長度公式六、典型例題例1：我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，倉U制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）,圖（2）由弦圖變化得到，它是由八 個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分 別為5、S3若正方形EFGH的邊長為2, 貝V Si+S2+S3=【答案】12fflME（4）螞蟻最短路徑問題公式2如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形,直角邊長分別是a, b，斜邊長為c和一個邊長為c 的正方形，請你將它們拼成一個能

5、證明勾股定理的 圖形.（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖.（2 ）證明勾股定理.方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法 進行了證明著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān) 系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他 星球“人”進行第一次“談話”的語言.定理表述請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）：（3分）（圖1）嘗試證明以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)， 為底，以a - b為高的直角梯形 圖2,驗證勾股定理；（4分）知識拓展可以構(gòu)造出以a、b（如圖2） 請你利用3. （1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋請你寫 出這個公式；（2 ）女口圖 2 , Rt ABC 也 RtCDE

6、B = D =90，且B, C, D三點共線.利用圖2中的直角梯形，我們可以證明a - - b其證明步驟如下：c:BC 二 a b , AD 二又；在直角梯形 ABCD中有BCAD（填大小關(guān)系），即:：'.2 （3 分）試證明 ACE =90：；ba圖2（3）伽菲爾德（Garfield, 1881年任美國第20屆 總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876 年4月1日，發(fā)表在新英格蘭教育日志上），現(xiàn) 請你嘗試該證明過程.4. r問題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明5給出定義，若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊 形.

7、(1) 在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；(2) 如圖，將 ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到 DBE，連接 AD ,DC,CE,已知/ DCB=30 ° 求證： BCE是等邊三角形； 求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形 ABCD是勾股四邊形.E &廠&) & ，如 3 圖，建立平面直角坐標系，點P x,0是x軸上一點，則J( x 0)2 +12可以看成點P與點A( 0,)的距離， J(x3)2 +22可以看成點P與點B(3,2 )的距離， 所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是 PA PB的最小值.設(shè)點A關(guān)于

8、x軸的對稱點為 A ,則FA=PA ',因此， 求PA PB的最小值，只需求 PA' FB的最小值， 而點A、B間的直線段距離最短，所以PA' + PB的最小值為線段 A'B的長度為此，構(gòu)造直角三角形A'CB，因為 A C=3，CB=3，所以 A'B =3、一°，即原式的最小值為 3 、邁根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：(1)代數(shù)式 x -1 2129的值可以看成平面直角坐標系中點P x,0與點A 1,1 、點B的距離之和.(填寫點B的坐標)(2)代數(shù)式'、x24 X2 - 12x 37的最小值為6在 ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，設(shè)c為最長邊.當(dāng) a2+b2=c2時， ABC是直角三角形；當(dāng) a2+b2 c2時， 利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究 ABC的形 狀(按角分類)(1) 當(dāng)厶ABC三邊長分別為 6,8,9時， ABC為c2；當(dāng)厶ABC三邊長分別為 6,8,11時， ABC 為三角形.(4分)(2) 猜想：當(dāng)a2+ b2