勾股定理題目類型總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1如圖/B= / ACD=90° AD=13,CD=12, BC=3,則 AB 的長(zhǎng)是多少?類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中,汀，丄 ，丘 求：BC的長(zhǎng).ABC舉一反三【變式1】如圖,已知:1l，二二，二二 于P.求證：丄廠 '.BPC M A【變式2】已知：如圖，/ B= / D=90°,Z A=60° , AB=4 , CD=2。求：四邊形ABCD 的面積AC類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用4一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工

2、廠的廠門？ri5、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng) 改造，某地有四個(gè)村莊 A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè) 村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下， 哪種架設(shè)方案最省電線.高AE為4cm, EC是上底面的直徑.【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm, 只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C，試求出爬行的最短路程.類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為麗的線段6作長(zhǎng)為匸、門、罷的線段。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)類型五：逆命題與勾股定理逆定理7、如果 ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足

3、a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷 ABC的形狀。舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，/ B=90°, AB=3 , BC=4, CD=12, AD=13，求四邊形ABCD的面積【變式2】如圖正方形ABCD , E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF= AB。請(qǐng)問FE與DE是否垂直？請(qǐng)說明經(jīng)典例題精類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角二角形兩直角邊的比是 3: 4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角二角形的面積?！咀兪?】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是 n+1, n+2, n+3，求n類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN= 30°

4、;，點(diǎn)A處有一所中學(xué), AP = 160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖 拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？【變式】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形 ABCD的面積是多 少？ （ 3）求出圖中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線）。類型三：數(shù)學(xué)思想方法a+i=3+V3，求 a、B、丨的值

5、方程的思想方法3如圖所示，已知 ABC中，/ C=90°,Z A=60舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的長(zhǎng)。AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知D類型一：勾股定理的直接用法答案 T/ ACD=90°AD = 13, CD=12 二 AC2 =AD2-CD2 =132- 122 =25 AC=5 又v/ ABC=90 ° 且 BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2=52-32=16AB= 4AB 的長(zhǎng)是 4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用思路點(diǎn)撥：由條件，想到構(gòu)造含-角的直角三角形，為此作，再由勾股定理計(jì)算出

6、AD、DC的長(zhǎng)， 進(jìn)而求出BC的長(zhǎng).解析：作于D，則因一.,匸仁叮占的兩個(gè)銳角互余）二-于d，貝y有（在1中，如果一個(gè)銳角等于-那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊.學(xué)習(xí)必魚歡迎下載.的一半）.根據(jù)勾股定理，在.中，- 上 二根據(jù)勾股定理，在丄-二中,CD 二尿-融二祈口？肓=65.二 EC 二甌+DC 二 65+15 = 80解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中，二，-&f.而在EiLAMP中，則根據(jù)勾股定理有MP2 = AM2- AP2.叫二踰2-（乂/-肚2）二劭廠-£/ +爐 又酗心 （已知），-/.： _r，!.在二二二匸中，根據(jù)勾股定理有， .分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題

7、的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng)AB、DC交于F,或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第 三種較為簡(jiǎn)單。，./ E=30A解析：延長(zhǎng) AD、BC 交于 E。A= / 60°,/ B=90.AE=2AB=8 , CE=2CD=4,.BE2=AE2-AB2 =82-42 =48, BE二豊:二 一;。_TDE2二 CE2-CD2=42-22=12,. DE=十=_ -；。1 .S四邊形abcd =Sa ABE -S CDE = 2 AB BE二 CD DE=6希類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間

8、時(shí)其高度是否小 于CH .如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD丄AE,與地面交于H .解：OC= 1米（大門寬度一半）,OD = 0.8米（卡車寬度一半）在Rt OCD中，由勾股定理得 CD=、工：=T " =0 .6米，CH=0 .6 + 2 .3 = 2 .9（米）2 .5（米）. 因此高度上有0.4米的 余量，所以卡車能通過廠門.思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路 長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD = 3,AB+BC+CD = 3圖（3）中，在 Rt A

9、BC 中:- -J L" ' - v：同理:-二圖（3）中的路線長(zhǎng)為上圖（4）中，延長(zhǎng)EF交BC于H ,則 FH 丄 BC, BH = CH丄一宀 /,FH&由/FBH =2及勾股定理得：EA = ED= FB= FC= 一 EF= 1 2FH= 1:二此圖中總線路的長(zhǎng)為4EA+EF = 1 ' I-T 3>2.828>2.732 圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電如圖，在Rt ABC中，EC=底面周長(zhǎng)的一半=10 cm,根據(jù)勾股定理得（提問：勾股定理） AC =川：= " =-10.77（ cm）（勾股定理）.答：最短路

10、程約為1 0.77 cm思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于 匸，直角 邊為匸和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是 匚，類似地可作廠。OA B作法：如圖所示(1)作直角邊為1 (單位長(zhǎng))的等腰直角 ACB，使AB為斜邊；(2)以AB為一 條直角邊，作另一直角邊為1的直角丄-二。斜邊為丄7 ；(3)順次這樣做下去，最后做 到直角三角形 ，這樣斜邊丄'、二、I、的長(zhǎng)度就是匸、門、J-、罷。解析：可以把"?？醋魇侵苯侨切蔚男边?，V 111，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是 3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找

11、到 A點(diǎn)，使0A=3，作AC丄OA且截取AC=1，以0C為半徑， 以0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B即為幣。思路點(diǎn)撥：要判斷 ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,二(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。v (a-3)2> 0, (b-4)220, (c-5)0。a=3, b=4, c=5ov 32+42=52,a2+b2二c2。由勾股定理的逆定理，得厶 ABC是直角三角形。

12、總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到【答案】：連結(jié) AC v/ B=90°, AB=3 , BC=4 AC2=AB 2+BC2=25 （勾股定理）二 AC=5vAC2+CD2=169, AD2=169 AC2+CD2二AD2 / ACD=90 ° （勾股定理逆定理）學(xué)習(xí)必備歡迎下載気鮭CD '血C諾朋夙4 " ' “ 5分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可證明：T ，-< -：二亦+2用牙+丹4二(牌2十占所以 ABC是直角三角形.B £ C【答案】答：DE

13、丄EF。證明：設(shè) BF=a,則 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2; DE2二CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接 DF (如圖) DF2=AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。二 DF2=EF2+DE2, FE 丄 DE。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過比值 設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x，根據(jù)題意得：(3x) 2+ (4x) 2= 202 化簡(jiǎn)得 x2= 16; 直角三角形的面積=i x 3xx 4x

14、 = 6x2 =96思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長(zhǎng)的邊)長(zhǎng) n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2=(n+3) 2化簡(jiǎn)得：n2=4 n=± 2,但當(dāng) n= 2 時(shí)，n+1 = 1<0,二 n = 2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有 給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2 = a2+b2的變形：b2 = c2 a2=( c a) (c+a)來判斷。例如: 對(duì)于選擇D,

15、v 82工(40+39)X( 40 39),以8, 39, 40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：連結(jié) AC vZ B=90°, AB=3 , BC=4 AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理 二 AC=5 vAC2+CD2=169, AD2=169.AC2+CD2=AD2 aZ ACD=90 ° （勾股定理逆定理） S 四邊形 abcd =Sabc+S»cd =AB BC+ 1 AC CD=36思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校 A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于1

16、00m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度.（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解析：作 AB 丄MN，垂足為 B。在 Rt ABP 中，vZ ABP = 90°,Z APB = 30°AP = 160,1 AB =1 AP = 80。（在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）v點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,A這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC = 100(m),由勾股定理得

17、：BC2= 100"-802= 3600/. BC = 60同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn) D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD = 100（m）, BD = 60（m）, CD = 120（m）。拖拉機(jī)行駛的速度為 ：18km/h= 5m/s t= 120m-5m/s= 24s。答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí) 間為24秒?？偨Y(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過 作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。學(xué)習(xí)必備73歡迎下載73 73332KC=1+l+H,故二泯二少 J=3，片固二2擊。oB1 j J3_ V 1 V J【答案】（1）單位正三角形的高為.，面積是:T丄。（2）如圖可直接得出平行246 H(3)過A作AK丄BC四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積1 '二 于點(diǎn)K （如圖所示），則在Rt ACK中，AC= VAKa + KC2 =思路點(diǎn)撥：由-，再找出、：的關(guān)系即可求出和：的值。解：在 RtAABC 中，/ A=60 ° ,Z B=90° -/ A=30 °