二項式定理及性質(zhì)精編版

1、最新資料推薦 1 2013-2014 學(xué)年度 xx學(xué)校 xx月考卷 1、 在 - 的展開式中，記 -項的系數(shù)為- ，貝u 仁亠W） A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 本題考查二項式定理以及組合數(shù)的運算，中檔題. 由二項式定理知： - 所以. _ . . - ： ； . _ 2、 在 的展開式中，含項的系數(shù)為（） 本題考查二項式定理？?？ 及簡單的組合運算，簡單題含 3、 的展開式中 的系數(shù)是（） A、-20A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 項為 最新資料推薦 2 本題考查：本題主要考查二項式定理 4、 （2x + -V - _ 若二項式 的展開式中 的系數(shù)是84

2、，則實數(shù)-；（ ） A.2 B. C. 1 D. C （2x + -V ” 隔卩疔崔尸 二項式 -的展開式中，第 -項為 本題考查：本題主要考查二項展開式中的系數(shù)及其方程的思想。 5、 B、 -5 C、 5 D、 20 的展開式中，第 -項展開式為 亠 的二項展開式中, 的系數(shù)為（ ) 心宀，令得一，所以乞仁 Co 八，解得“ 因此選 最新資料推薦 3 6、 卜展開式中不含x項的系數(shù)絕對值的和為243，不含y的項的系數(shù)絕對值的各 為32,則a, b, n的值可能為( ). B. (1+(K+byf=(1+ar)+加二(1+in j+訶 注意到 ，因此依題意得 a+|hb = 243 = 35

3、a+|i+c； i+c：z+(?：； = 2如+(_廳2曲 21 V 給出的一系列等式中，右邊為兩項 -形式加減輪換的規(guī)律，其中第一個 -的指數(shù)由3, 、 7, 11,，4n-1構(gòu)成，第二個-的指數(shù)由1, 3, 5,，2n-1構(gòu)成.故等式的右邊為 2 如+(_1咒*1 39、 若 的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中1Y 的二項展開式的通項為 1,解得 口皿(蟲產(chǎn)嚴(yán)乂；2嚴(yán)令 ；1Y 2h+- ，所以v 兀 C4x2w =60 的二項展開式的常數(shù)項為 C；+G“第+邙+伴 . 的系數(shù)為 觀察下列等式: 最新資料推薦 20 由 可知， 所以的展開式的通項公式 丄 -的系數(shù)為 C

4、;=56 40、 的展開式的常數(shù)項是 ). A. 3 B. 2 C.2 D.3 -的展開式的通項為 -中提供時，則??；當(dāng)因式 3 第 ,-_.當(dāng)因式 中提供2時，則取 -，所以 亠 (1 V X+2) -1 X 的展開式的常數(shù)項是 5-2=3. 41、 將楊輝三角中的每一個數(shù) 都換成分?jǐn)?shù) 數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形. 5 + 1)(?； 就得到一個如圖 1-4-5所示的分 1 1 1 363 1111 412 124 最新資料推薦 21 從萊布尼茨三角形可看出 .r+1 ； 從萊布尼茨三角形可以看出，下一行兩個分?jǐn)?shù)之和等于肩上的上一行的分?jǐn)?shù)之和， 1 1 1111 = (2+l)C：+(3

5、+ l)C?+ + ( +l)C； + + l)Ci_+l) _ 1 1 1 丄 1 _ 1 _-= 1 1 = U + l)C：+(3+l)+ + + cL(tt + l= -(2 + l)C；+(2+l)d 1 _ 1 .1 2 (H + 1)匯心 2 (w + l o 42、 兀4 +。+。：工 + 坷 x+偽二(x+li +q(x+l) +4 (x+1) +i3(x+l)+J4 由等式 f ： 幻辱耳 t 件屮川mi) 定義映射j,則 等于 _ (0,-3 , 4,-1) 設(shè) f (4 , 3, 2, 1)=( bi, b2, b3, b4)，則 x4+4x3+3x2+2x+1=( x

6、+1) 4+b2(x+1)2+b3( x+1)+b 解法一：令x+仁0,即x=-1，得b4=-1.11111 5 20 30 205 1 丄 6 30 60 60 306 1 1 1 1 1 1 1 42 105 140 105 42 1 _ 1 5+l)C；l”+】)C：一乓 ，其中x= _ 1111 7 二+r + 人 3 12 30 60 心 5+l)C；，則 x=r+1.又 1 (n+Y)n 最新資料推薦 45、 i8 的展開式中常數(shù)項是 （用數(shù)字作答） 105 ，由 30-5 k=0，得 k=6，故 （用數(shù)字作答） 3 2 3 2 對式兩邊求導(dǎo)得 4x+12x+6x+2=4(x+1)

7、 +3bi(x+1) +2bi( x+1)+k,再令 x=-1 得 bs=4. 同理可得bi=0, b2=-3. , , 432 4 3 2 解法二： x +4x +3x +2x+1=( x+1)-1 +4( x+1)-1 +3( x+1)-1 +2( x+1)- 1+1=( x+1)4-3( x+1)2+4(x+1)-1， 比較系數(shù)可知 bi=0，b2=-3，b=4, b4=-l.故填(0，-3，4，-1). 43、 已知2 V 1亠 ，則J I 1 I . 的值為 叫 C；（3 曠.（-1）： 奇數(shù)項的系數(shù) a。、a2、a4、a6均為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù) 闖+胡也1+|創(chuàng)昶F+鏟吋十宀.即當(dāng)

8、x=-i時，a”ai+a”+- 44、 ai、a3、a5、a?均為負(fù)數(shù)，故 14 a7=-2 . Y-J 的系數(shù)為 最新資料推薦 23 最新資料推薦 45、 i8 的展開式中 的系數(shù)是 變換T部分展開T確定系數(shù)，或利用雙通項來求解 11+x) (l-x? = | l-x*Y jl-xV = 12x* +x 解法一： 的系數(shù)為 1X ( -1)+( - 2) X ( -3) =5. 解法二的通項, :的通項: , 594 良訐第（3滬弓二（-1）淚盅嚴(yán) 令- 得k=10,故 (T)叱?芋=594 46、 最新資料推薦 25 的通項: -).令 r = 2 ，則有 ，或 (其中 k = 2 r =

9、 l ，或 - k = 3， 1r = 0 故的系數(shù)為I故填5. 【點評】本題解法一僅適用于幕指數(shù)較小的二項式乘積的展開式, 法則是解決這類問題的通法.所謂雙通項法就是根據(jù)多項式與多 +同 ” + 撫）1 的展開式中的一般項為 而解法二的雙通項 項式的乘法法則得到 （注意這里含有 r與k所滿足的條件，進 的項不 一定只有一項），再根據(jù)題目中對字母的指數(shù)的特殊要求，確定 而求出r、k所取的值的情況從而使問題順利地解決推廣到一般可得三通項法、四通項 法 47、 最新資料推薦 26 如圖所示，在一塊木板上釘一些正六棱柱形的小木塊，在它們中間留下一些通道 面的漏斗直通到下部的長方形框子 ，前面用一塊玻

10、璃擋住把小彈子倒在漏斗里，它首先會通 過中間的一個通道落到第二層（有幾個通道就算第幾層）的六棱柱上面，以后 ，再落到第二 層中間的一個六棱柱的左邊或右邊的兩個豎直通道里邊去 再以后，它又會落到下一層的三 個通道之一里邊去，以此類推，最終落到下邊的長方形框子中 見解析. 彈子從每一個通道通過時可能情況是 ：它選擇左右兩個通道的可能性是相等的 ，而其他 任何一個通道的可能情形等于它左右肩上兩個通道的可能情形的和 可以設(shè)想，第1層只有1個通道，通過的概率是1; 第3層有3個通道，每個通過的概率從左到右依次是 第4層有4個通道，每個通過的概率從左到右依次是 -; 照這樣計算第-層有-個通道，彈子通過各

11、通道的概率將是 多少呢？ 我們可以寫出如下圖所示的“概率三角形”，可得出它與楊輝三角的關(guān)系：第 行各 概率的分子是楊輝三角中的數(shù)，分母是 * .由此可知，落在每個長方形的框子里的彈子的數(shù) ,從上 第2層有2個通道，每個通過的概率依次是 假設(shè)我們總共在木板上做了 -層通道，在頂上的漏斗里一共放了 方形框子里，那么落在每個長方形的框子里時的彈子的數(shù)目（按照可能情形來計算）會是多 少？你能用學(xué)過的二項式定理與概率的知識來解釋這一現(xiàn)象嗎？ 最新資料推薦 27 目（按照可能情形來計算）分別是：最新資料推薦 28 【點評】本題中通過觀察特殊圖形，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律 ：彈子通過每一通道時，它選擇左、 右兩通道的可

12、能性相等，并且經(jīng)過任一通道的可能性等于它肩上兩個通道的可能情形之和 進而不難把它與“楊輝三 角”聯(lián)系在一起，使問題順利地解決.本題的解決過程進一步體現(xiàn) 了“觀察一一分析，實驗一一歸納猜想一一證明”的基本思想方法 .其中觀察、分析、實 驗、歸納、猜想結(jié)論是其關(guān)鍵 ，是我們應(yīng)該重點掌握的地方. 4& 設(shè) - 成等差數(shù)列，求證： q+坷C；+dQ+&：=仏+冬)-2心 見解析. 證明：由題意知:/叵y 又 C；二 C；C 二 宀C；二 C (U 2：同 令. 則 .兩式相加得:.2 2 4 4 4 13 3 1 即正好等于二項式系數(shù): 最新資料推薦 29 IC；+1 a： +兔“)C

13、；+.+(aB+ajC k）（C：+C；+C：i+C：）觸 + 町/ 【點評】利用二項式定理可以解決某些數(shù)列求和問題，本例中利用倒序相加求和法， 芒 +C1 +cU“+c 并結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)，把所求的和轉(zhuǎn)化為 的問題，為運用二項式定理 知識解決問題創(chuàng)設(shè)了條件我們應(yīng)從本題中領(lǐng)悟到如何 對問題實施轉(zhuǎn)化，還有如何為應(yīng)用 二項式定理創(chuàng)設(shè)條件的真諦 49、 求證：c；C+UV+算：二噱 見解析. 證明:的展開式中 的系數(shù)為】 （1+堺=（1+力衛(wèi)+力1（以+*+C誇 又 等式右邊整理后 的系數(shù)為 CcT+c：（T+cj：c：c；+g+陽以 兩種形式下的展開式中 的系數(shù)應(yīng)該相等, .g+cg+CJCA僚(1

14、+xf 的展開式中 的 觀察等式右邊的組合數(shù)的特征，聯(lián)想二項式定理可知它是 （1+滬 嚴(yán) 系數(shù)，這樣問題就轉(zhuǎn)化為等式左邊也應(yīng)該是 的展開式中 的系數(shù)，而等式左邊 A , V! f * F 円 每一項的各因子又都是 展開式中 各項的系數(shù)，所以想到要將 轉(zhuǎn)化為 （i+x）r（i+xr 再分別展開. 的展開式中 2S=(g + %C：)+(_c+：) +/： + /) +c+空） ，則 最新資料推薦 30 50、 設(shè)d為非零實數(shù), a仏a m （i）寫出,-,，并判斷 是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是, 設(shè)：求數(shù)列的前n項和一. (1 )見解析-2- （1）由已知可得廣 ,-_ , a =rf

15、（/+iy_: b 由（i）可知， ，從而 S =d:p+2(rf+l)+3(rf+l)?+L +( -lXrf+1 嚴(yán) 噸+1尸 當(dāng) :時， 當(dāng)， -時，式兩邊同乘-得 (d+1 遼=da(rf+l)+2(d+l)1 +L +(fl-lXrf+l)H+w(rf+iy ，式相減可得 dS* = rf* 1 (d+1) +(d +1)* +L 0+1* w(rf+1)* 說明理由; Kk _ pi-l 當(dāng)也，比1時，廿杯 d0+】）z ，因此 由此可見，當(dāng) 時， 是以d為首項，-公比的等比數(shù)列; :時, 心 心曲），此時不是等比數(shù)列. 最新資料推薦 31 最新資料推薦 32 降冪排列） 當(dāng) x=

16、1 時,Sn=n， - _： 又- ： - : 亠噸：+CM +C：） ,故應(yīng) W X 1時, =丄(1- g + (1 - x：)C； +(1)C： 1-x (c；+c：+Q； +- c) -(曲+fc;+x3c+rc： 二亠嚴(yán)-1-(1+皿 + 遼 +工七：-1)=(2 )若 +*+ + 用n、x表示 （1 ）用n、x表示通項 以及前n項和 化簡即得 $ = (d+l)申d-l)+l 綜上$=吐廳阿-卜1 51、 設(shè)數(shù)列 是等比數(shù)列, _1，公比q是 的展開式中的第二項（按 2n-a+xf 1 X + (1-T) C= - 1-x (2) 最新資料推薦 33 亠2”-(1+戸 1-x i-

17、x最新資料推薦 34 解法一；通項 二弘+悴了二敏衛(wèi)+ p汛又(1 + px)r的通項為 (1 十 XT , - ， 工 H 、一 1 X 52、 /(X) 設(shè) 是定義在R上的一個給定的函數(shù)，函數(shù) g(力二殆p k-滬+c； ” ？卜(Io) s 丿 i刃丿 s 丿 (1) 當(dāng)：時，求匚； /(x)=x g(x) (2) 時，求-. 見解析. (1)當(dāng) f(x)=1 時， g(x) ：Q-疔 + (?乂5尸 * +C：宀Q F+M J Q)* (2)當(dāng) f(x)=x 時， = +C)玖1-玄嚴(yán) + ；上諷l-x嚴(yán) + +C；遲 0 . -. . g(x) = C：_M -曠 +C：/(1- X

18、嚴(yán) +-+C農(nóng)= “11(1 -x)z + 第但1-勸41 -+C=；x = x(l- Q- x“ = X. 53、 (l+x+prf 的展開式中，試求使 的系數(shù)為最小值時 P的值. 最新資料推薦 35 X4的系數(shù)為 G：C； +C；：C；p+C；：C；/T = 45 p +360p+210=45(p2 +8p)+210=45(p+4)2 -510, 僅當(dāng)p=-4時，x4的系數(shù)為最小。 ”、一 a+x+X)1： =1+x(l+px)f = I + +px)+ (:訝(1+pb+c：討(1+pxY+qy(1+陰耳 + + 衲】+卅 因展開式可知，X4的系數(shù)為 ccjp1 + C+cjcj =45

19、+360p+210=45(p+4):-5l0 僅當(dāng)p=-4時，x4的系數(shù)為最小。 54、 1Q 2 a r!(10-r) (2+xf 的展開式中系數(shù)最大的項. 10! 即-廁而 10 &+l)H9! 而 m+=4，且 Ow me r 10-r 解得 7； = -4-2_ ?=-15360 x4 .故系數(shù)的絕對值 57、 求證：對一切； ，都有 見解析. 證明： 1+1+ 1+- 皿+冷+c；円 2-(4)24+3i+2+ 1 1 1 - .+ - . + *, *+ - 1x2 2x3 (川一1)用 ri n r 1 * 一_ | + + 1 2丿 U 3丿 “I) n 3-1 :3,

20、 當(dāng)且僅當(dāng) 一時, 1+2Y 丿 ；當(dāng)._ _時, 2*1 + 1 n 3 【點評】(1 )用二項式定理證明組合數(shù)不等式時, 用，再結(jié)合不等式證明的方法進行論證 通常表現(xiàn)為二項式定理的正用或逆 (2)應(yīng)用時應(yīng)注意巧妙地構(gòu)造二項式 最新資料推薦 39 (3) 證明不等式時，應(yīng)注意運用放縮法，即對結(jié)論不構(gòu)成影響的若干項可以去掉 ，或增 加 58 10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%人均糧食占有量 1%那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精 4公頃. 設(shè)耕地平均每年至多只能減少 公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為 P人，糧食單產(chǎn)為 M公 頃，依題意得不等式： vio4 化簡得 ltfx n ，八 亠*八10

21、 1.1(1+0.01) _ - = 103x 1- 11 (1+Cf0 x0.01+Cx0.012+*-) 1 9? 1加 用 IV J 答：按計劃，耕地平均每年至多只能減少 4公頃 【點評】利用二項式定理來進行近似計算，其關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)亩検?(p+?y(MEN*Tj?Z:|?|ll r ，并根據(jù)近似要求，對其展開式的項合理取舍 (當(dāng)“較大或 較小時，舍去展開式中后面某些項，既不影響精確度，又簡化了運算過程)，從而確定 (p+qf 其近似值 如果近似值是中間運算值，則應(yīng)多取一兩位有效數(shù)字 59、某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃 比現(xiàn)在提高10%如果人口年增長率為 確到1公頃) 人均*艙占有臺 總Ft 臥口數(shù) 103x 1 閉一】則嚴(yán)4 最新資料推薦 40 (1-