四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)

1、四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)一、四點(diǎn)共圓的判定（一）判定方法1、若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。2、若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)（和為180°），則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。3、若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。4、若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。5、同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。6、若AB、CD兩線段相交于P點(diǎn)，且PA×PB=PC×PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓(相交弦定理的逆定理)。7、若AB、CD兩線段延長(zhǎng)后相交于P。且PA×PB=PC×PD，

2、則A、B、C、D四點(diǎn)共圓(割線定理)。8、若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(托勒密定理的逆定理。（二）證明1、若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。若可以判斷出OA=OB=OC=OD，則A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心OA為半徑的圓上。2、 若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)（和為180°），則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。 若A+C=180°或B+D=180°，則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 3、若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。若B=CDE，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓證法同上。 4、若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和

3、這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。若A=D或ABD=ACD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 5、同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。如圖2，若A=C=90°，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。6、若AB、CD兩線段相交于P點(diǎn)，且PA×PB=PC×PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓(相交弦定理的逆定理)。7、若AB、CD兩線段延長(zhǎng)后相交于P。且PA×PB=PC×PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓(割線定理)。 8、若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(托勒密定理的逆定理）。 已知四邊形ABCD，若AB×CD+BD×AC=AD×BC，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 （三）例題123二、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)1、共圓的四個(gè)點(diǎn)