高考數(shù)學(xué)全國卷理科新課標(biāo)Ⅱ含答案解析

1、一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選 項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1. 5 分_=A. 1+2i B. 1 - 2iC. 2+i D. 2 - i2. 5 分設(shè)集合 A=1, 2,4 , B=x|x2- 4x+m=0.假設(shè) AH B=1,那么 B=A. 1,- 3B. 1, 0 C. 1, 3 D. 1, 53. 5分我國古代數(shù)學(xué)名著?算法統(tǒng)宗?中有如下問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，那么塔的頂層共有燈A. 1盞B. 3盞C. 5盞D.

2、 9盞4. 5分如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗實線畫出的是某幾何體的三 視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部后所得，那么該幾何體的體積為 r2x+3y-3<05. 5分設(shè)x, y滿足約束條件,那么z=2x+y的最小值是A. 15B. 9 C. 1 D. 96. 5分安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，那么不同的安排方式共有A. 12 種 B. 18 種 C. 24 種 D. 36 種7. 5分甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說： 你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成 績，給丁看甲的成績.

3、看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息， 那么 A.乙可以知道四人的成績 B. 丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績8. 5分執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 a=- 1，那么輸出的S=A. 2 B. 3 C. 4 D. 52 29. 5分假設(shè)雙曲線 心-耳=1 a>0, b>0的一條漸近線被圓x-2 2+y2=4a b所截得的弦長為2，那么C的離心率為A. 2 B.： C.: D.丄J10. 5 分直三棱柱 ABC- A1B1G 中，/ ABC=120，AB=2, BC=CC=1，貝U異面直線ABi與BG所成角的余弦值為A.B一

4、C.D.；255311. 5分假設(shè)x=-2是函數(shù)f x = x2+ax- 1的極值點，貝U f x的極小值為A. - 1 B.- 2e-3 C. 5e-3 D. 112. 5分 ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，貝U ？C +|的最小值是3 4A.- 2 B.-號 C.-丄 D.- 1三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.13. 5分一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，那么 DX .14. 5 分函數(shù) f x =sin2x3cosx x 0，的最大值是.4 215 . 5分等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a3=

5、3, ®=10,那么丫 圭=.16 . 5分F是拋物線C: y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N .假設(shè)M為FN的中點，貝U | FN| =.三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明、解答過程或演算步驟.第1721題為必做題，每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求 作答.一必考題：共60分.17 12分 ABC的內(nèi)角A，B, C的對邊分別為a, b, c,sin A+C =8sin .1求 cosB;2假設(shè) a+c=6,AABC面積為 2,求 b .18 . 12分海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比照，收獲時各隨機抽取了 1

6、00個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量單位：kg,其頻率分布 直方圖如圖：中頻率/組距f頻率/組即(1) 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg估計A的概率；(2) 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有 99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖 方法有關(guān)：箱產(chǎn)量v 50kg箱產(chǎn)量?50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3) 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到).附：P (K2>k)KK2二n (ad-bc) '(a+b) (c+d) (a+c) (Md)'19. (12分)如圖，四棱錐P- ABCD

7、中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD AB=BC=-AD,Z BAD=Z ABC=90，E是 PD 的中點.L-l(1) 證明：直線CE/平面PAB(2) 點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M - AB - D的余弦值.20. (12分)設(shè)0為坐標(biāo)原點，動點 M在橢圓C: +y2=1上，過M做x軸的 垂線，垂足為N,點P滿足=口(1) 求點P的軌跡方程；(2) 設(shè)點Q在直線x=- 3上，且? i 'i=1 證明：過點P且垂直于0Q的直線I 過C的左焦點F.21. (12 分)函數(shù) f (x) =ax2- ax - xlnx，且 f (x

8、)> 0.(1) 求 a；(2) 證明：f (x)存在唯一的極大值點xo,且e-2vf (xo)< 2-2.(二)選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，按所做的第一題計分.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(22. (10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為p cos 0 .=4(1) M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|?|OP=16,求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2) 設(shè)點A的極坐標(biāo)為(2,斗)，點B在曲線C2上，求 OAB面積的最大值.選修4-5:不等式選講23. a>

9、;0，b>0，a3+b3=2,證明：(1) (a+b) (a5+b5)> 4；(2) a+b<2.2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科 新課標(biāo)n參考答案與試題解析、選擇題：此題共12小題，每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1. 5 分2021?新課標(biāo) nA. 1+2i B. 1 - 2iC. 2+i D. 2 - i【分析】分子和分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再利用虛數(shù)單位i的幕運算性質(zhì),求出結(jié)果.【解答】3+i.3)(1-"=-二=2 i1+121 ,解:應(yīng)選D.【點評】此題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法,虛數(shù)單位i的幕運算性質(zhì)

10、，兩個復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù).2. 5 分2021?新課標(biāo) n設(shè)集合 A=1，2，4，B=x| x2- 4x+m=0.假設(shè) AH B=1，那么 B=A. 1，- 3B. 1，0 C. 1，3 D. 1，5【分析】由交集的定義可得1 A且1 B,代入二次方程，求得m,再解二次方 程可得集合B.【解答】解：集合 A= 1, 2, 4 , B=x| x2- 4x+m=0.假設(shè) AH B=1，貝U 1 A 且 1 B,可得1 - 4+m=0，解得m=3,即有 B=x| x2 - 4x+3=0 =1, 3.應(yīng)選：C.【點評】此題考查集合的運算，主要是交集的求法，同時考查二次方程的解法

11、， 運用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于根底題.3. 5分2021?新課標(biāo)U我國古代數(shù)學(xué)名著?算法統(tǒng)宗?中有如下問題： 遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？ 意思是： 一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2倍， 那么塔的頂層共有燈A. 1盞B. 3盞C. 5盞D. 9盞【分析】設(shè)這個塔頂層有a盞燈，由題意和等比數(shù)列的定義可得：從塔頂層依次 向下每層燈數(shù)是等比數(shù)列，結(jié)合條件和等比數(shù)列的前 n項公式列出方程，求出a 的值.【解答】解：設(shè)這個塔頂層有a盞燈，寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的 2倍，從塔頂層依次向下每層燈數(shù)是以 2為公比、

12、a為首項的等比數(shù)列，又總共有燈381盞，T38仁1' -' =127a,解得 a=3，1-2那么這個塔頂層有3盞燈，應(yīng)選B.【點評】此題考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用， 屬于根底題.4. 5分2021?新課標(biāo)U 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實線畫出 的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部后所得，那么該幾 何體的體積為A. 90 n B. 63 n C. 42 n D. 36 n【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為 6的圓柱的一半, 即可求出幾何體的體積.【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減

13、去一個高為 6的圓柱的半，V=n ?3X 10 -冗,許?3X 6=63，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.2x+3y-3< 05. 5分2021?新課標(biāo)U設(shè)x, y滿足約束條件2x-3r+3>0，那么z=2x+y的最小值是A.- 15 B.- 9 C. 1 D. 9【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小值 即可.r2x+2y-3<0【解答】解：x、y滿足約束條件2x-3iH-3>0的可行域如圖:z=2x+y經(jīng)過可行域的A時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由產(chǎn)7 解得a - 6,- 3,那么z=2x+y的最小值是：-15.【點評】此題考查線性規(guī)劃

14、的簡單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力.6. 5分2021?新課標(biāo)II 安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項,每項工作由1人完成，那么不同的安排方式共有A. 12 種 B. 18 種 C. 24 種 D. 36 種【分析】把工作分成3組，然后安排工作方式即可.【解答】解：4項工作分成3組，可得： 時=6，安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得：6X -=36種.應(yīng)選：D.【點評】此題考查排列組合的實際應(yīng)用， 注意分組方法以及排列方法的區(qū)別， 考 查計算能力.7. 5分2021?新課標(biāo)I 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人

15、中有 2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的 成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的 成績.根據(jù)以上信息，那么A.乙可以知道四人的成績 B. 丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出正 確答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績乙丙必有一優(yōu)一良，假設(shè)為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；假設(shè)是兩良，甲也會知道自己的成績一乙看到了丙的成績，知自己的成績一丁看到甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，應(yīng)選：D.【點評】此題考查了合情推理的

16、問題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到， 老師所 說及最后甲說話，屬于中檔題.8. 5分2021?新課標(biāo)U執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 a=- 1,貝U輸出的 S=A. 2 B. 3C. 4 D. 5【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S, k值，當(dāng)k=7時，程序終 止即可得到結(jié)論.【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0, k=1, 第一次滿足循環(huán)，S=- 1，a=1，滿足條件，第二次滿足循環(huán)， 滿足條件，第三次滿足循環(huán)， 滿足條件，第四次滿足循環(huán)， 滿足條件，第五次滿足循環(huán)， 滿足條件，第六次滿足循環(huán)， 7< 6不成立，退出循環(huán)輸出, 應(yīng)選：B.a=- 1，代入循環(huán),k=2；S=1

17、, a= 1, k=3;S=- 2, a=1, k=4；S=2 a= 1, k=5;S=- 3, a=1, k=6;S=3 a= 1, k=7；S=3;【點評】此題主要考查了程序框圖和算法，屬于根本知識的考查，比擬根底.9. 5分2021?新課標(biāo)U假設(shè)雙曲線C:孚-茸=1 a>0, b>0的一條漸近線被圓x- 2 2+y2=4所截得的弦長為2,那么C的離心率為A. 2 B. .； C. : D.丄3【分析】通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可.【解答】解:雙曲線C:2x2aJ=1 a>0, b>0的一條漸近線不妨為: b2bx+ay

18、=0,圓x- 2 2+=4的圓心2, 0,半徑為：2,2 2雙曲線C:勺-冷"=1 a>0, b>0的一條漸近線被圓X-2 2+=4所截得的弦長為2,可得圓心到直線的距離為：；-;=匸“,2 2解得：_-,可得 e2=4, 即卩 e=2.應(yīng)選：A.【點評】此題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計算能力.10. 5 分2021?新課標(biāo) II 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，/ ABC=120, AB=2,BC=CC=1，貝U異面直線ABi與BG所成角的余弦值為A.B.C.D.；2553【分析】設(shè)M、N、P分別為AB, BB和B1C1的中點，得出AB1、B

19、G夾角為MN 和NP夾角或其補角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出 AC MQ，MP和/ MNP的余弦值即可.【解答】解：如下圖，設(shè)M、N、P分別為AB，BB和B1C1的中點, 那么ABi、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角因異面直線所成角為0, 廠，可知 MN=ABi=，2 2NP丄 BC;2 2作BC中點0,那么厶PQM為直角三角形； PQ=1, MQ二AC,2 ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2 - 2AB?BC?cog ABC=4+1-存2X仆曙 =7,二 AC=', MQ=;2在厶 MQP 中，MP= = J ;在厶PMN中，由余弦定理得 又異面直線所成角的范圍是(

20、0,cos/ MNP=2-BH-NPhn2+np2-pm2+2-AB1與BCi所成角的余弦值為丄.5【點評】此題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計算問題，也考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題.11. (5 分)(2021?新課標(biāo) U)假設(shè) x=- 2 是函數(shù) f (x) = (x2+ax- 1) ex_ 1 的極值 點，那么f (x)的極小值為()A.- 1 B.- 2e3 C. 5e3 D. 1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點，求出 a,然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解 函數(shù)的極小值即可.【解答】解：函數(shù)f (x) = (x2+ax- 1) ex 1， 可得 f'(x) = (2

21、x+a) ex-1+ (x2+ax- 1) ex-1， x=- 2 是函數(shù) f (x) = (/+ax- 1) ex-1 的極值點， 可得：-4+a+ (3 - 2a) =0.解得a= - 1.可得 f' (x) = (2x- 1) ex-1+ (x2 - x - 1) ex-1，=(x2+x- 2) ex 1，函數(shù)的極值點為：x=- 2，x=1，當(dāng)XV- 2或x> 1時，f'(x)>0函數(shù)是增函數(shù)，x (- 2，1 )時，函數(shù)是減函 數(shù)，x=1 時，函數(shù)取得極小值：f (1) = (12- 1- 1) e1-1 = - 1 .應(yīng)選：A.【點評】此題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的

22、應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查計算能力.12. 5分2021?新課標(biāo)U ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，那么卜.？+的最小值是A.- 2 B.-二 C. -2 D.- 1 23【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可.【解答】解：建立如下圖的坐標(biāo)系,以 BC中點為坐標(biāo)原點,0，設(shè) P (x，y)，那么 FA= (- x,換-y)，西=(-1 - x,- y),匱=(1-x,- y),那么 A 0，麗B - 1, 0，C 1,那么-.?(二十) =2«- 2 ：-;y+2y2=2x2+ (y- )2X(-【點

23、評】此題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用， 根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo) 法是解決此題的關(guān)鍵.三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.13. 5分2021?新課標(biāo)U 批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機 取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，那么 DX .【分析】判斷概率滿足的類型，然后求解方差即可.【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨立重復(fù)試驗，是一個二項分布模型，其中，p=, n=100,那么 DX=npq=np (1 - p) =100xx =.故答案為：.【點評】此題考查離散性隨機變量的期望與方差的求法，判斷概率類型滿足二項 分布是解題的關(guān)鍵.14. (5 分)(

24、2021?新課標(biāo) U)函數(shù) f (x) rsinFx+Zcosx-色(x 0 )的42最大值是 1.【分析】同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【解答】 解：f (x) =sin2x+；cosx-=1 - coWx+frcosx-,令 cosx=t且 t 0, 1,那么 f (t) =-t2+71t+=-( t -£_) 2+1,42當(dāng)t=時， f (t ) max=1 ,即f (X)的最大值為1 ,故答案為：1【點評】此題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于根底題15. (5分)(2021?新課標(biāo)U)等差數(shù)列?的前n項和為S, a3=3, $=10，那么1

25、薔瓦一竺一2a【分析】利用條件求出等差數(shù)列的前 n項和，然后化簡所求的表達(dá)式，求解 即可.【解答】解：等差數(shù)列an的前n項和為Sn, a3=3, S=10, Sf2 (a2+as) =10,Sn=那么可得a2=2,數(shù)列的首項為1，公差為1,禽=2( 1占2nn+1故答案為:2n_.【點評】此題考查等差數(shù)列的求和，裂項消項法求和的應(yīng)用，考查計算能力.16. ( 5分)(2021?新課標(biāo)U)F是拋物線C: y2=8x的焦點，M是C上一點, FM的延長線交y軸于點N.假設(shè)M為FN的中點，貝U | FN| = 6.【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，推出 M坐標(biāo)，然后求解即可.【解答】解：拋物線C: y2=

26、8x的焦點F (2, 0 )，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線 交y軸于點N.假設(shè)M為FN的中點，可知M的橫坐標(biāo)為：1,那么M的縱坐標(biāo)為：.】，I FN| =2| FM| =2(1-2嚴(yán)+(±2近°)2=6.故答案為：6.【點評】此題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明、解答過程或演算步驟.第1721題為必做題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17. (12分)(2021?新課標(biāo)) ABC的內(nèi)角A，B, C的對邊分別為a，b，c， sin (A+C) =8sinF三.(1) 求

27、 cosB;(2) 假設(shè) a+c=6,AABC面積為 2,求 b.【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可知 A+C=n- B,再利用誘導(dǎo)公式化簡sin(A+C),利用降幕公式化簡8sin，結(jié)合sin2B+co£b=1,求出cosB,(2)由(1)可知sinB一，利用勾面積公式求出ac,再利用余弦定理即可求出b.【解答】解：(1) sin (A+C) =8sin丄, sinB=4 (1 - cosB), sin2B+cos2B=1, 16 (1 - cosB) 2+cos2B=1, ( 17cosB- 15) (cosB- 1) =0,.cosB=L17?(2)由(1)可知 sinB*

28、,/ 5abc=ac?sinB=2217ac= ,15172b 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg估計A的概率； 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖 方法有關(guān)：箱產(chǎn)量v 50kg箱產(chǎn)量?50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值精=a2+cP- 2accosB=a+c2- 2X =a2+c2 - 15= (a+c) 2-2ac- 15=36 - 17- 15=4,.b=2.【點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理， 三角形的面積公式，二倍角公式和同角的

29、三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題18. 12分2021?新課標(biāo)U海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法 的產(chǎn)量比照，收獲時各隨機抽取了 100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量單位: kg,其頻率分布直方圖如圖：確到).附：P (K2>k)Kn (ad-比)'ta+b) (c+d) fa+c) (b+d)'【分析】(1)由題意可知：P (A) =P (BC) =P (B) P (C),分布求得發(fā)生的頻 率，即可求得其概率；(2) 完成2 X 2列聯(lián)表：求得觀測值，與參考值比擬，即可求得有99%的把握認(rèn) 為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：(3) 根據(jù)頻率分布直方圖即可求得其平均數(shù).【解答】解

30、：(1)記B表示事件 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，C表示事件 新 養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg，由 P (A) =P ( BC =P (B) P (C),那么舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg： (+)X 5=,故P (B)的估計值，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg： (+)X 5=，故P (C)的估計值為，那么事件A的概率估計值為P (A) =P (B) P (C) =X =;A發(fā)生的概率為；(2) 2X 2列聯(lián)表：箱產(chǎn)量v 50kg箱產(chǎn)量?50kg總計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計96104200那么 左00(6"込38乂34尸、100X100X96X104由，有99

31、%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；(3)由題意可知：方法一：i=5x(x +x +x +x +x +x +X)，=5X, =(kg)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值kg方法二：由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面積：+X 5=,箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：+X 5=>,故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為：50+一- kg,068新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值kg.【點評】此題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨立性檢驗，考查計算能力，屬 于中檔題.19. 12分2021?新課標(biāo)U如圖，四棱錐 P- ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三 角形且垂直于底面 ABCD A

32、B=BC丄AD,/ BAD=Z ABC=90，E是PD的中點.1證明：直線CE/平面PAB2點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°求二面角M - AB - D的余弦值.【分析】1取PA的中點F,連接EF, BF,通過證明CE/ BF,利用直線與平面 平行的判定定理證明即可.2利用條件轉(zhuǎn)化求解 M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解 二面角M - AB- D的余弦值即可.【解答】1證明：取PA的中點F,連接EF, BF,因為E是PD的中點，所以 EFAD, AB=BC=AD, BAD=, ABC=90,. BC/丄AD, BCEF是平行四邊形，可得 CE/ BF,

33、 BF?平面 PAB CF?平面 PAB直線CE/平面PAB(2)解：四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD AB=BC=AD,2/ BAD二/ ABC=90, E是 PD 的中點.取AD的中點O, M在底面ABCD上的射影N在0C上，設(shè)AD=2,貝U AB=BC=1 0P二；, / PCO=60,直線BM與底面ABCD所成角為45°可得：BN=MN, CN=MN, BC=1,3可得：1+丄BNbN2, BN遠(yuǎn),MN遠(yuǎn),322面角M - AB- D的余弦值為:作NQ丄AB于Q ,連接MQ , 所以/ MQN就是二面角M - AB- D的平面角,MQ=J1

34、.'1"IT2【點評】此題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法,考查空間想象能力以及計算能力.20. 12分2021?新課標(biāo)II 設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C: +y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足-.|=1求點P的軌跡方程；2 設(shè)點Q在直線x=- 3上，且? i j=1 .證明：過點P且垂直于OQ的直線I 過C的左焦點F.【分析】1設(shè)M xo，yo，由題意可得N xo，0，設(shè)P x，y，運用向量的 坐標(biāo)運算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡整理可得 P的軌跡方程；2設(shè) Q - 3，m，P 負(fù)cos a 2sin ，0< a<2n，運用

35、向量的數(shù)量積 的坐標(biāo)表示，可得 m,即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點坐標(biāo)，求得 OQ, PF 的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,即可得證.【解答】解：1設(shè)M x0，y°，由題意可得N X0，0， 設(shè)P x，y，由點P滿足麗=亦證.可得x- X。，y=.0，y°，可得 x - X0=0，y= _ 'y0，即有 X0=x，2 2可得I =1即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2;(2)證明：設(shè) Q (- 3， m)， P (血cos a V2sin )，(0< a< 2n)，0P?PQ=1，可得(近cos a V2sin ) ? (- 3V2cos a

36、 m-五sin ) =1，即為-3 :cos a- 2cos2 a+ . ：msin a- 2si* a解得 m-：1'V2sinG即有Q (- 3，2，V2sir7橢圓+y2=1的左焦點F (- 1, 0)，由 k0Q=- ：，kPF=,伍ms a +1由 kOQ?kPF= - 1,可得過點P且垂直于0Q的直線I過C的左焦點F.【點評】此題考查軌跡方程的求法，注意運用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法和向量的加減運算， 考 查圓的參數(shù)方程的運用和直線的斜率公式， 以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩直 線垂直的條件：斜率之積為-1,考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.21. (12 分)(2021?新課標(biāo) U )

37、函數(shù) f( x) =ax2 - ax - xlnx，且 f (x)> 0.(1) 求 a；(2) 證明：f (x)存在唯一的極大值點xo,且e-2vf (xo)v 2-2.【分析】(1)通過分析可知f (x)>0等價于h (x) =ax- a- Inx?0，進(jìn)而利用 h'(x) =a-丄可得h (x) min=h (丄)，從而可得結(jié)論；父a可知f (X0)v丄，另一方面可知f (X0)(2)通過(1)可知 f (x) =* - x- xlnx，記 t (x) =f (x) =2x- 2 - Inx，解不等 式可知t (x) min=t (丄)=In2- 1v 0，從而可知f

38、 '(x) =0存在兩根xo，x2，利用 f (x)必存在唯一極大值點X0及X0V丄> f ( Je【解答】那么 f (x)=-.e(1)解：因為 f (x) =af- ax - xlnx=x (ax- a- Inx) (x>0)，> 0 等價于 h (x) =ax- a - Inx>0，因為 h' (x) =a-"，且當(dāng) 0vxv二時 h' (x)v 0、當(dāng) x>丄時 h' (x)>0， Kaa所以h (x) min =h -)，又因為 h (1) =a- a- In仁0，所以丄=1,解得a=1；a(2)證明：由(

39、1)可知 f (x) =x - x- xI nx, f'(x) =2x- 2 - Inx,令 f (x) =0,可得 2x- 2 - In x=0,記 t (x) =2x- 2- Inx,那么 t'( x) =2-丄,令t x =0,解得：X,所以t X在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，在占,+x上單調(diào)遞增,所以t x min=t 亍=ln2- 1< 0,從而t x =0有解，即f' X=0存在兩根X0, x2,且不妨設(shè)f'x在0, X0上為正、在X0, X2上為負(fù)、在X2, +X上為正,所以f x必存在唯一極大值點xo,且2x0 - 2 - Inxo=0,所以f (xo)=02-x0- X0lnx0=O2x0+