多次相遇和追及問題含答案

1、多次相遇與追及問題知識框架一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題所有行程問題都是圍繞“ 路程 速度 時間 ”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較 復雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解二、多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā)：第 1 次相遇，共走 1 個全程；第 2 次相遇，共走 3 個全程；第 3 次相遇，共走 5 個全程； 第 N 次相遇，共走 2N-1 個全程；2N注意：除了第 1 次，剩下的次與次之間都是 2 個全程。即甲第 1 次如果走了 N 米，以后每次都走 米。2. 同地同向出發(fā)：第 1 次相遇，共走 2 個全程；第 2 次相遇，共走

2、 4 個全程；第 3 次相遇，共走 6 個全程；第N次相遇，共走2N個全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵 幾個全程 多人相遇追及的解題關(guān)鍵 路程差三、解多次相遇問題的工具 柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間 - 距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求 數(shù)交點個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”，以 及“由相遇的地點求出全程”， 使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間 是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。甲每秒鐘跑3.5米，乙例題精講【例1】甲、乙兩名同

3、學在周長為 300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步,每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點?【考點】行程問題【題型】解答【解析】從開始到兩人第十次相遇的這段時間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍，為300 10 3000米，因為甲的速度為每秒鐘跑 3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時間內(nèi)甲共行了 3000 蟲丄 1400米，也就是甲最后一次離開出發(fā)點繼續(xù)行了3.5 4200米，可知甲還需行300 200 100米才能回到出發(fā)點.【答案】100米五年級奧數(shù) .行程 .多次相遇與追及問題 .教師版Page 3 of 12【鞏固】甲乙兩人在相距90米的

4、直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒 2米如果他們同時分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】17【答案】17【例2】甲、乙兩車同時從 A地出發(fā)，不停的往返行駛于A B兩地之間。已知甲車的速度比乙車快，并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地。問：甲車的速度是乙車的多少倍？【考點】行程問題【題型】解答【解析】2倍。解：如下圖所示，因為每次相遇都共行一個來回，所用時間相等，所以乙車兩次相遇走的2 4路程相等，即 AC 2CB ,推知AC -AB.第一次相遇時，甲走了AB BC - AB ,乙走了3 32AC AB,所以甲車速度是乙車

5、的 2倍。3甲r/I-*A|r【答案】2倍【鞏固】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時相向而行，6時后相遇。如果二人的速度各增加1千米/時，那么相遇地點距前一次相遇地點1千米。問：甲、乙二人的速度各是多少？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】甲、乙兩人的速度和第一次為 60十6=10 （千米/時），第二次為12 （千米/時），故第二次出發(fā)后5時相遇。設(shè)甲第一次的速度為 x千米/時，由兩次相遇的地點相距1千米，有6x 5 （x+ 1）=± 1 ,解得x= 6或x = 4，即甲、乙二人的速度分別為6千米/時和4千米/時?！敬鸢浮考住⒁叶说乃俣确謩e為6千米/時和4千米/時【例3】如

6、圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運60米處又第二次相遇.求此圓形場動，當乙走了 100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前地的周長.【考點】行程問題【題型】解答五年級奧數(shù)行程多次相遇與追及問題教師版Page # of 12【解析】 注意觀察圖形，當甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完-圈的路程，當甲、乙第二次相遇時，甲乙2共走完1 + 1 = 3圈的路程所以從開始到第一、二次相遇所需的時間比為1: 3，因而第二次相2 2遇時乙行走的總路程為第一次相遇時行走的總路程的3倍，即100 X 3=300米有甲、乙第二次相遇時，共行走（1圈一60）+300，為

7、3圈，所以此圓形場地的周長為480米.2【答案】480米【鞏固】A B是圓的直徑的兩端，甲在 A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在 C點第一次相遇，在 D 點第二次相遇.已知 C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答 【解析】340【答案】340【例4】甲、乙兩車分別同時從 A、B兩地相對開出，第一次在離 A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求 A B兩地間的距離是多少千米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 畫線段示意圖（實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線）:可以發(fā)現(xiàn)第

8、一次相遇意味著兩車行了一個A、B 兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個A、B兩地間的距離當甲、乙兩車共行了一個A B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即95X 3=285 （千米），而這 285千米比一個 A、B兩地間的距離多 25千米，可得：95 X 3-25=285-25=260（千米）.答案】 260 千米【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離 .【考點】行程問題【難

9、度】【題型】解答【解析】4X 3=12千米，通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)甲走了一個全程多了回來那一段，就是距B地的3千米，所以全程是 12-3=9 千米，所以兩次相遇點相距 9-（3+4） =2千米。答案】 2 千米【例5】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.考點】行程問題【難度】【題型】解答解析】答案】41 千米41 千米鞏固】甲 、乙兩車同時從A,B 兩地相向而行,在距B地54千米處相遇。他們各自到達對方車站后立即返回原地,途中又在距A地42千米處

10、相遇。求兩次相遇地點的距離。考點】行程問題難度】【題型】解答解析】24 千米。提示：第一次相遇兩車共行了A,B 間的一個單程,其中乙行了54 千米；第二次相遇兩車共行了 A, B間的3個單程，乙行了 54X 3= 162 （千米），乙行的路程又等于一個單程加42千米。故A, B間的距離為162 42= 120 （千米）。答案】 120 千米【例6】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第2000 次相遇地點與第 2001 次相遇地點之間的距離 .【考點】行程問題【難度

11、】【題型】解答解析】 4 千米【答案】4千米【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相遇時共走了多少千米 【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】90千米【答案】90千米【例7】A B兩地相距2400米，甲從 A地、乙從B地同時出發(fā)，在 A、B間往返長跑。甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑 240米，在30分鐘后停止運動。甲、乙兩人在第幾次相遇時A地最近？最近距離是多少米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】30 X (300+240)十2400=

12、6.75個全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，甲跑 5份，第二 次相遇甲跑15份，距離A3份，第三次相遇甲跑 25份距離A7份，所以第二次相遇距離 A最近， 最近為 2400-9X 3=800 米?！敬鸢浮?00米【鞏固】A B兩地相距950米。甲、乙兩人同時由 A地出發(fā)往返鍛煉半小時。甲步行，每分鐘走40米;乙跑步，每分鐘行 150米。則甲、乙二人第 次迎面相遇時距 B地最近?！究键c】行程問題【難度】【題型】填空【解析】 半小時，兩人一共行走次相遇，而兩人的速度比15: 4，所以相同時間內(nèi)兩人的行程比為15: 4,那么第一次相遇甲走40 150305700米，相當于6個全程，兩人行程

13、每2個全程就會有了全程的2 8，距離B 口個全程，第二次相遇甲總行程 16距離B ?個全程，第三次 空15 41919191919距離個全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時距離B地最近。19【答案】第二次【例8】甲、乙兩車分別從 A, B兩地出發(fā)，并在 A, B兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是15千米/時，乙車的速度是 25千米/時，甲、乙兩車第三次相遇地點與第四次相遇地點相差100千米。求A, B兩地的距離?！究键c】行程問題【難度】【題型】解答【解析】200千米。第一次相遇時，兩車共走1個單程，其中乙車占153。第三次相遇時，兩車共15 258走5個單程，乙車走了 5 3817 （個）單

14、程；第四次相遇時,兩車共走7個單程，乙車走了 7 325（個）單程；因為第三次、四次相遇地點相差7 51-1-（個）單程，所以 A，B兩地相距8 821100 200 （千米）。2【答案】200千米【鞏固】 歡歡和樂樂在操場上的 A、B兩點之間練習往返跑， 歡歡的速度是每秒 8米，樂樂的速度是每秒 5米。兩人同時從 A點出發(fā)，到達 B點后返回，已知他們第二次迎面相遇的地點距離AB的中點5米，AB之間的距離是?！究键c】行程問題【難度】【題型】填空【解析】130米。第二次應面相遇，兩人合計跑了4個全程，速度比試8:5，所以歡歡跑了 4空 32 2衛(wèi)131313全程為5- 130米2 13【答案】1

15、30米【例9】甲、乙二人進行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時開始游，直到一方追上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米/秒和0.8米/秒。問：（1）比賽開始后多長時間甲追上乙？ （2）甲追上乙時兩人共迎面相遇了幾次？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】（1） 250秒；（2） 4次。提示：（2）甲、乙分別游了 5個和14個單程，故迎面相遇 4次?！敬鸢浮浚?） 250秒；（2） 4次【鞏固】 小明和小紅兩人在長 100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒他們同時從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘在這段時間內(nèi)，他

16、們迎面相遇了多少次？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 第一次相遇時，兩人共跑完了一個全程，所用時間為：100 6 4） 10（秒）此后，兩人每相遇一次，就要合跑 2倍的跑道長，也就是每 20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了12 60 10 710（秒）求出710秒內(nèi)兩人相遇的次數(shù)再加上第一次相遇，就是相遇的總次數(shù).列式計算為：100（64）10（秒）,（126010）（102）35川10，共相遇 35 136（次）。注：解決問題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長.【答案】36次五年級奧數(shù) .行程 .多次相遇與追及問題 .教師版Page 9 of 12

17、【例10】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛輪船在途中均要航行七天七夜試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約 開來的輪船?【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 這就是著名的柳卡問題下面介紹的法國數(shù)學家柳卡斯圖姆給出的一個非常直觀巧妙的解法.從哈佛或紐約開出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來表示圖中的每條線段分別表示每條船 的運行情況.粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪 船相遇的情況.從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實線表示）會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線

18、表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時遇到（從紐約剛到 達哈佛），1艘是到達紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜.如果不仔細思考，可能認為僅遇到7艘輪船這個錯誤，主要是只考慮以后開出的輪船而忽略了已在海上的輪船.【答案】15艘【鞏固】一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站他出發(fā)的時候，恰好有一輛 電車到達乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出.問他從乙站到甲站用了多少分

19、鐘？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 先讓學生用分析間隔的方式來解答：騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時看到的是 15分鐘前發(fā)的車，此時第 4輛車正從甲發(fā)出.騎車 中，甲站發(fā)出第4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，時間是 5 8 40 （分鐘）. 再引導學生用柳卡的運行圖的方式來分析：第一步：在平面上畫兩條平行線分別表示甲站與乙站由于每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘.冊丄丄亠-C c*O右 d五年級奧數(shù).行程.多次相遇與追及問題.教師版Page 11 of 12【隨練2】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相

20、向而行，他們第一次相遇地點離A地7第二步：因為電車走完全程要15分鐘，所以連接圖中的 1號點與P點（注意：這兩點在水平方向上正好有3個間隔，這表示從甲站到乙站的電車走完全程要15分鐘），然后再分別過等分點作一簇與它平行的平行線表示從甲站開往乙站的電車.第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車人在途中遇到十輛迎面開來的電車，那么從點引出的粗線必須和 10條平行線相交，這正好是圖中從2號點至12號點引出的平行線.!0 11從圖中可以看出，騎車人正好經(jīng)歷了從P點到Q點這段時間，因此自行車從乙站到甲站用了 5 8 40 （分鐘）.對比前一種解法可以看出，采用運行圖來分析要直觀得多!【答案】40分鐘

21、課堂檢測【隨練1】如右圖，A, B是圓的直徑的兩端，甲在 A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在 C點第一次相遇，在D點第二次相遇。已知 C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長。乙【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 第一次相遇，兩人共走了 0.5圈；第二次相遇，兩人共走了1.5圈。因為1.5十0.5 = 3,所以第二次相遇時甲走的路程是第一次相遇時甲走的路程的3倍，即ACD AC 3 240（米），推知AB 240 BD 180（米），圓周長為 180 2 360 （米）?！敬鸢浮?60米B地5千米處第二次相遇，求【題型】解答千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回

22、，在距兩次相遇地點之間的距離【考點】行程問題【難度】【解析】4千米【答案】4千米【隨練3】A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往返于 A、B兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：當甲到達B地時，乙追上甲幾次？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】A乙1*第一次相遇第一次追上由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100 80 20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長度再加上線段 AE的長度，即等于甲在（80 100）分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的 速度是甲的9倍（180 20），則BF的長為AF

23、的9倍，所以，甲從A到B，共需走80 （1 9）800（分鐘）乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個 AB全程從第一次追上甲時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個AB全程，因此，追及時間也變?yōu)?00分鐘（100 2），所以，在甲從A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘， 300分鐘，500分鐘和700分鐘.【答案】第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘【隨練4】甲、乙兩人在一條長為 30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米如 果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？【考點】行程問題【難度】【題

24、型】解答 【解析】 采用運行圖來解決本題相當精彩！首先，甲跑一個全程需 30 1 30 （秒），乙跑一個全程需 30 0.6 50 （秒）與上題類似，畫運行圖如下（實線表甲，虛線表示乙，那么實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點）：五年級奧數(shù).行程.多次相遇與追及問題.教師版Page 13 of 12【作業(yè)3】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地6甲I30眠乙90 JOO甲T屮2050 60 乙月從圖中可以看出，當甲跑5個全程時，乙剛好跑3個全程，各自到了一個周期內(nèi)共有5次 相遇，其中第1，2， 4，5次是迎面相遇， 而第3次是追及相 遇.不同兩端又重新開

25、始，這正好是一周期150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑 10分鐘，正好是四個周期，也就相遇了5 4 20 （次）【答案】20次家庭作業(yè)【作業(yè)1】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點 A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】176【答案】176【作業(yè)2】上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【考點】行程問題

26、【難度】【題型】解答【解析】 畫一張簡單的示意圖：4千米4千米AA家小明爸爸圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4 = 4 （千米）.而爸爸騎的距離是4+ 8 = 12 （千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12十4= 3 （倍）按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行 8X 3= 24 （千米）但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+ 12=16 （千米）.少騎行24-16 = 8 （千米）.摩托車的速度是8十8=1 （千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘. 8+ 8+ 16= 32.所以這時是8點32分。【答案】8點32分B地4千米處第二次相遇，求【題型】解答千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距 兩人第5次相遇地點距 B多遠.【考點】行程問題【難度】【解析】12千米【答案】12千米【作業(yè)4】湖中有A，B兩島，甲、乙二