淺論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) - 中山大學(xué)精品課程

1、淺論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)中山大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 04級(jí)數(shù)統(tǒng)基地班 黎俊彬摘要:本文就閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了一定程度上的探討,從直觀感覺(jué)和理論論證兩面方面論述了有界性,最值定理,介值定理和一致連續(xù)性定理,并且將之與開(kāi)區(qū)間上連續(xù)函數(shù)及不連續(xù)函數(shù)作一定的對(duì)比.關(guān)鍵字:閉區(qū)間 連續(xù)函數(shù) 實(shí)數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間的緊致性從直觀上理解,連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,這對(duì)于一般初等函數(shù)來(lái)說(shuō)都是成立的.而閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像兩端必須緊緊地連接著定義在端點(diǎn)處的點(diǎn)上,形成一條封閉的曲線,即與直線形成一個(gè)或多個(gè)封閉的區(qū)域.直觀理解雖然不完全正確,但卻能幫助我們了解和發(fā)現(xiàn)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),某些時(shí)候還

2、能幫助我們找到證明.但直觀的認(rèn)識(shí)不一定是正確的,的確存在一些連續(xù)函數(shù),其圖像并不能作出來(lái).直觀認(rèn)識(shí),在科學(xué)里面只是充當(dāng)一個(gè)開(kāi)路先鋒的角色,到最后,一定要用嚴(yán)格的推理來(lái)證明.先看何謂閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).連續(xù)的定義首先是點(diǎn)連續(xù)的定義.若函數(shù)該點(diǎn)的極限值不等于函數(shù)值,經(jīng)驗(yàn)告訴我們函數(shù)在該點(diǎn)必定斷開(kāi),連續(xù)的定義與我們的直觀認(rèn)識(shí)相符合.而若函數(shù)在連續(xù),是指函數(shù)在區(qū)間的每點(diǎn)都連續(xù),在左端點(diǎn)右連續(xù),右端點(diǎn)左連續(xù).下面討論閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),并從直觀和理論上與非閉區(qū)間的情況作比較,體會(huì)閉區(qū)間的獨(dú)特的性質(zhì).1.閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)在其定義域上有界.閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的圖像是封閉的連續(xù)不斷的曲線,可以想象這條曲線不可

3、能縱向(y軸方向)無(wú)限延伸,而開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以在端點(diǎn)處無(wú)限延伸.若函數(shù)在某點(diǎn)有極限,則在某點(diǎn)附近有界,而連續(xù)函數(shù)每點(diǎn)的極限都存在,因而在每點(diǎn)的附近都有界.只要用有限覆蓋定理,就可以知道只需要有限個(gè)有界的區(qū)間就可以把函數(shù)的定義域覆蓋.因而函數(shù)在其定義域上也是有界的.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界,由確界定理知道該函數(shù)必有上下確界.由此可以聯(lián)想到閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)總能取得最大最小值,分別對(duì)應(yīng)于上下確界.2.閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)必定在定義域上取得最大最小值.已經(jīng)證明了上下確界的存在.只需要證明函數(shù)能夠取到上下確界的值.分析條件在證明中的作用.由函數(shù)的連續(xù)性知,這是連續(xù)函數(shù)的定義,也是一條重要的性質(zhì),求初等函數(shù)

4、極限值采用直接代入函數(shù)值的方法就是以此為依據(jù)的.而閉區(qū)間的作用是令子列的極限值限制在閉區(qū)間里面.因?yàn)樵趦蛇吶O限,可能得到即使是一個(gè)有界的函數(shù),只要不是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),都不能保證能在定義域上取得最值.可以想象將閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的圖像的最大值點(diǎn)向下移動(dòng)一段距離,得到一個(gè)有界的不連續(xù)函數(shù)的圖像(不妨設(shè)有且只有一個(gè)最大值點(diǎn)),那么這個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)就不可能取得最大值.而一個(gè)定義在開(kāi)區(qū)間且存在單調(diào)連續(xù)函數(shù),如,雖然在定義域上有界,但都不能夠取得最值.3.連續(xù)函數(shù)介值定理.兩個(gè)證明除了用到確界定理外幾乎沒(méi)有用到其它性質(zhì),譬如第二個(gè)證明,只是用到函數(shù)極限的保號(hào)性.這根本在于用確界定理給出了數(shù)集的下確界.

5、確界定理是函數(shù)連續(xù)性的一個(gè)刻畫(huà),而介值性的結(jié)論可以由連續(xù)性從直觀上得到,只要給出了連續(xù)性一個(gè)理論上的刻畫(huà),余下的證明就像從直觀上得到一般簡(jiǎn)單.但不連續(xù)的函數(shù),就未必具有介值性.至于閉區(qū)間的條件并沒(méi)有用到,原因是任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可以截出某一個(gè)閉區(qū)間,在這個(gè)閉區(qū)間上討論介值的問(wèn)題.在這里自然引出一個(gè)問(wèn)題,具有介值性,即其值域?yàn)檫B續(xù)系的函數(shù)是否連續(xù)?如果不連續(xù),要補(bǔ)充什么條件才能保證函數(shù)連續(xù)?如下面一個(gè)處處不連續(xù)的函數(shù),其值域是.這說(shuō)明具有介值性的函數(shù)不一定連續(xù).只要加強(qiáng)條件,令函數(shù)在定義域上單調(diào),就一定有函數(shù)連續(xù).有以下命題:有界性,最值定理和介值定理合起來(lái),說(shuō)明了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其值域也是閉

6、區(qū)間,并且函數(shù)值能夠取遍值域.用映射的語(yǔ)言來(lái)說(shuō),連續(xù)映射把映射成.反過(guò)來(lái),這個(gè)命題說(shuō)明了閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的這三條性質(zhì).4.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù).先給出一致連續(xù)的定義:一致連續(xù)的直觀意義,就是函數(shù)的圖像不會(huì)在很小的區(qū)間內(nèi)變化任意大,圖像每處切線的斜率不至于任意大.規(guī)定一個(gè)因變量的變化幅度,則自變量對(duì)應(yīng)的變化幅度不能任意小.由于一致連續(xù)的函數(shù)必定連續(xù),故閉區(qū)間上的函數(shù),連續(xù)跟一致連續(xù)是等價(jià)的.下面給出閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù)的證明: 對(duì)Cantor定理的證明,可以通過(guò)函數(shù)的點(diǎn)連續(xù),把附近的點(diǎn)聯(lián)系起來(lái),使函數(shù)在一個(gè)小的區(qū)間里面有類似一致連續(xù)定義的性質(zhì).然后通過(guò)閉區(qū)間的條件,把這種類似的

7、性質(zhì)拓展開(kāi)去,變成整個(gè)區(qū)間上真正的一致連續(xù).這個(gè)用確界定理的證明用到類似的思想,通過(guò)確界的定義找出,通過(guò)描述的性質(zhì).最后得出的結(jié)論.確界定理的運(yùn)用,與零點(diǎn)定理的證明一樣,篇幅不多,但卻是最主要的部分.而閉區(qū)間條件在證明中的反映,則是在“”處體現(xiàn),若不是閉區(qū)間,“”r,就是所謂的“聯(lián)絡(luò)點(diǎn)”.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有緊致性,即直觀理解上的封閉性,所以具有一些開(kāi)區(qū)間上連續(xù)函數(shù)不具有的性質(zhì).反過(guò)來(lái),開(kāi)區(qū)間連續(xù)函數(shù)多了一些不可控的性質(zhì),譬如函數(shù)圖像在端點(diǎn)可以縱向無(wú)限延伸,如函數(shù),或者如函數(shù)先討論導(dǎo)致連續(xù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間上有相異性質(zhì)的根本原因.開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)跟閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的根本差別在于,其左端點(diǎn)

8、的右極限和右端點(diǎn)的左極限是否存在(開(kāi)區(qū)間函數(shù)在端點(diǎn)沒(méi)有定義,所以只從極限是否存在角度討論,而不是從是否連續(xù)的角度).開(kāi)區(qū)間的連續(xù)函數(shù)在端點(diǎn)不存在左(右)極限,所以端點(diǎn)附近的性質(zhì)如此“頑劣”:可以無(wú)限“延伸”,或無(wú)限“折曲”. 在上文對(duì)有界性和介值定理的討論里面,特別強(qiáng)調(diào)了閉區(qū)間條件所起的作用.閉區(qū)間有緊致性,可以通過(guò)相關(guān)的幾個(gè)命題來(lái)刻畫(huà).而這些性質(zhì)在開(kāi)區(qū)間函數(shù)上不成立的原因,就在于端點(diǎn)處的左(右)極限不存在.因?yàn)橹灰訌?qiáng)開(kāi)區(qū)間連續(xù)函數(shù)的條件,令左端點(diǎn)的右極限,右端點(diǎn)的左極限都存在,這時(shí)補(bǔ)充端點(diǎn)處的定義,令端點(diǎn)處的函數(shù)值與極限值相等,就得出一個(gè)閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù).這樣的開(kāi)區(qū)間連續(xù)函數(shù)就會(huì)在除端點(diǎn)外與閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)有相似的整體性質(zhì),如有界性,證明和閉區(qū)間的幾乎一樣.而最值對(duì)應(yīng)確界,要么能取得,要么就等于端點(diǎn)的極限值.回到一開(kāi)始的討論,左右端點(diǎn)的極限是否存在和一致連續(xù)有什么關(guān)系?可以證明,兩者之間是等價(jià)的.有以下命題:從直觀上理解,一致連續(xù)把開(kāi)區(qū)間的連續(xù)