《數(shù)學物理方程》2.1熱傳導方程及其定解問題的導出

1、第二章第二章 熱傳導方程熱傳導方程1 1 熱傳導方程及其定解問題的導出熱傳導方程及其定解問題的導出 2 2 初邊值問題的分離變量法初邊值問題的分離變量法3 3 柯西問題柯西問題4 4 極值原理、定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性極值原理、定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性5 5 解的漸近性態(tài)解的漸近性態(tài)* 傅里葉實驗定律傅里葉實驗定律2.1 2.1 熱傳導方程及其定解問題的導出熱傳導方程及其定解問題的導出 1. 1. 熱傳導方程的導出熱傳導方程的導出d( , , )d duQk x y zS tn 在該點的熱傳導系數(shù)在該點的熱傳導系數(shù)熱量從溫度高流向溫度低熱量從溫度高流向溫度低外法向量外法向量物體在無窮小時段

2、物體在無窮小時段dtdt內(nèi)沿法線方向流過一個無窮小內(nèi)沿法線方向流過一個無窮小面積面積d d的熱量的熱量dQdQ與物體溫度沿曲面與物體溫度沿曲面d d法線方向的法線方向的方向導數(shù)方向導數(shù) 成正比，即成正比，即un12, t t21( , , )d dttuQk x y zS tn 流入在物體在物體內(nèi)任取一閉曲面內(nèi)任取一閉曲面 ，它所包圍的區(qū)域記，它所包圍的區(qū)域記為為 ，則從時刻，則從時刻 到到 流進此閉曲面的總熱量為流進此閉曲面的總熱量為1t2t該點附近在該點附近在 到到 時刻吸收熱量時刻吸收熱量1t2t21( , , )d dttuQk x y zS tn 流入12, t t密度：密度：比熱容

3、：比熱容：( , , )x y z( , , )c x y z( , , )x y z21d( , , ) ( , , ) ( , , , )( , , , )d d dQc x y zx y z u x y z tu x y z tx y z吸收故故 內(nèi)在內(nèi)在 到到 時刻吸收的總熱量時刻吸收的總熱量12 tt21( , , ) ( , , ) ( , , , )( , , , )d d dQc x y zx y z u x y z tu x y z tx y z吸收由能量守恒：由能量守恒：QQ流入吸收利用高維利用高維N-LN-L積分公式，積分公式，左端左端N-LN-L公式及交換下積分次序公式

4、及交換下積分次序21( , , )d dttuk x y zS tn 21( , , ) ( , , ) ( , , , )( , , , )d d dc x y zx y z u x y z tu x y z tx y z21d d d dtttcu x y z t 21( , , )d dttuk x y zS tn 21( , , )()d dtxxyyzztk x y z nununu S t 21d d d dtxxxyxztkukukux y z t d()d .xyzPQRPnQnRnSxyz * * 高斯定理（體積分化成曲面積分）高斯定理（體積分化成曲面積分）: :設設 是以足

5、夠光是以足夠光滑的曲面滑的曲面 為邊界的有界區(qū)域（可以是多連通區(qū)域）為邊界的有界區(qū)域（可以是多連通區(qū)域）， 在在 上具有連續(xù)上具有連續(xù)偏導數(shù)的任意函數(shù)，則成立偏導數(shù)的任意函數(shù)，則成立( , , ),P x y z( , , ),Q x y z( , , )R x y z記記: ( ,),uP Q R則由第二曲面積分定義則由第二曲面積分定義div ddd.u Vu n SuS21d d d dtttcu x y z t 21d d d dtxxxyxztkukukux y z t 由積分區(qū)域任意性，知由積分區(qū)域任意性，知( , , , )txxxyxzcu x y z tkukuk u特別系數(shù)都

6、為常數(shù)時，特別系數(shù)都為常數(shù)時，22222222:uuuuaautxyz2kac22/.tuaufauFc 注注 有熱源情況：單位時間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量為有熱源情況：單位時間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t). F(x,y,z,t). 故在區(qū)域故在區(qū)域 ，時段的總熱量為，時段的總熱量為21( , , , )d d d dttF x y z t x y z t 則有熱源的熱傳導方程為則有熱源的熱傳導方程為12 , t t2. 2. 擴散方程的導出擴散方程的導出d( , , )d d NmD x y zS tn * NerstNerst擴散定律擴散定律擴散物在無窮小時段擴散物在無窮小時

7、段dtdt內(nèi)沿法線方向流過一個無窮內(nèi)沿法線方向流過一個無窮小面積小面積d d的質量的質量dmdm與擴散物濃度沿曲面與擴散物濃度沿曲面d d法線方法線方向的方向導數(shù)向的方向導數(shù) 成正比，即成正比，即Nn在該點的擴散系數(shù)在該點的擴散系數(shù)擴散物從濃度高流向濃度低擴散物從濃度高流向濃度低因此類似熱方程推導：因此類似熱方程推導：21( ( , , , )( , , , )d d d N x y z tN x y z tx y z21( , , )d dttND x y zS tn ( , , , )txxxyxzN x y z tDNDNDN 12, t t3 3 定解問題的提法（以熱方程為例）定解問題

8、的提法（以熱方程為例）* *邊界條件邊界條件* *初始條件初始條件或或或或表面溫度已知：表面溫度已知：稱為第二類邊界條件（稱為第二類邊界條件（NeumannNeumann邊界條件）邊界條件）熱量在表面各點的流速已知：熱量在表面各點的流速已知：稱為第一類邊界條件（稱為第一類邊界條件（DirichletDirichlet邊界條件）邊界條件）定義在定義在傅里葉定律傅里葉定律( , , ,0)( , , )u x y zx y z0tu( , , )( , , , )( , , , )x y zu x y z tg x y z t0, Tdd dQS tukn ( , , )( , , , )x y zug x y z tn( , , )( , , , )x y zu x y z tg熱傳導實驗定律（牛頓定理）：熱傳導實驗定律（牛頓定理）：從物體流到介質中的熱量和兩者溫度差從物體流到介質中的熱量和兩者溫度差成正比成正比1111dd d (d d )Qk uuS tk uuS t 注意到傅里葉定律：注意到傅里葉定律：一般形式：一般形式：或或介質介質nudd duQkS tn 11ukk uun 11kuuukn( , , )( , , , )x y zuug x y z tnuugn初始條件初始