排列組合問題的解題策略

1、排列組合問題的解題策略一、合理分類與準確分步法 解含有約束條件的排列組合問題，應按元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，作到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。例1 、五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有 （ ）A120種 B96種 C78種 D72種 分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有種排法，由分類計數(shù)原理，排法共有種，選C。二、正難反易轉(zhuǎn)化法 對于一些生疏問題或直接求解較為復雜或較為困難問題，從正面入手情況較多，不易解決，這時可從反面入手，將其轉(zhuǎn)化為一個簡單問題來處理。例2、 馬路

2、上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析： 關(guān)掉第1只燈的方法有6種，關(guān)第二只，第三只時需分類討論，十分復雜。若從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的方法對應著一種滿足題設條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5只亮燈的6個空中插入3只暗燈”的問題。故關(guān)燈方法種數(shù)為。三、混合問題“先選后排”對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。例 3、 4個不同小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，恰有一空盒的方法有多少種？分析： 因有一空盒，故必有一盒子放兩球。1）選：從四個球中選2個有種，

3、從4個盒中選3個盒有種；2）排：把選出的2個球看作一個元素與其余2球共3個元素，對選出的3盒作全排列有種，故所求放法有種。四、特殊元素“優(yōu)先安排法”對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。例4、 用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。24個 B。30個 C。40個 D。60個分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有個，2）0不排在末尾時，則有個，由分數(shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù)=30個，選B。五、總體淘汰法對于含有否

4、定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時需注意不能多減，也不能少減。例如在例4中，也可用此法解答：五個數(shù)字組成三為數(shù)的全排列有個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要除去，故有個偶數(shù)。六、局部問題“整體優(yōu)先法”對于局部排列問題，可先將局部看作一個元與其余元素一同排列，然后在進行局部排列。例5、7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？分析： 甲、乙及間隔的3人組成一個“小整體”，這3人可從其余5人中選，有種；這個“小整體”與其余2人共3個元素全排列有種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有種站法，中間選的3人也有種排法，故符合要求的站法共有種。七、相

5、鄰問題一“元”法對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素看作一個“元”與其他元素排列，然后在對“元”內(nèi)部元素排列。例6、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一個“元”，與其余4人共5個元作全排列，有種排法，而甲乙、丙、之間又有種排法，故共有種排法。八、不相鄰問題“插空法”對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例7、在例6中， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？分析： 先將其余四人排好有種排法，再在這人之間及兩端的5個“空”中選三個位置讓甲乙丙插入，則有種方法

6、，這樣共有種不同排法。九、順序固定問題用“除法”對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。例8、 6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊方法有多少種？分析： 不考慮附加條件，排隊方法有種，而其中甲、乙、丙的種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有種。十、構(gòu)造模型 “隔板法”對于較復雜的排列問題，可通過設計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。例9、 方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，而每一種

7、分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，即為a,b,c,d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有。再如 方程a+b+c+d=12非負整數(shù)解的個數(shù)；三項式,四項式等展開式的項數(shù)，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后都可用此法解。十一、分排問題“直排法”把幾個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例10、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有種。十二、表格法有些較復雜的問題可以通過列表使其直觀化。例11、9 人組成籃球隊，其中7人善打前鋒，3人善打后衛(wèi)，現(xiàn)從中選5人（兩衛(wèi)三鋒，且鋒分左、中、右，衛(wèi)分左右）組隊出場，有多少種不同的組隊方法？分析：由題設知，其中有1 人既可打鋒，又可打衛(wèi)，則只會鋒的有6人，只會衛(wèi)的有2 人。列表如下：人數(shù)6人只會鋒2人只會衛(wèi)1人即鋒又衛(wèi)結(jié)果不同選法32311（衛(wèi)）221（鋒）由表知，共有種方法。除了上述方法外，有時還可以通過設未知數(shù)，借助方程來解答，簡單一些的問題可采用列舉法，還可以利用對稱性或整體思想來解題等等。排列組合是高中數(shù)學的重點和難點