排列組合基本題型

1、排列、組合問題基本題型及解法同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)排列、組合的過程中，總覺得抽象，解法靈活，不容易掌握.然而排列、組合問題又是歷年高考必考的題目.本文將總結(jié)常見的類型及相應(yīng)的解法.一、相鄰問題“捆綁法”將必須相鄰的元素“捆綁”在一起，當(dāng)作一個(gè)元素進(jìn)行排列.例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必須站在一起，不同的排法共有幾種？分析：先把甲、乙當(dāng)作一個(gè)人，相當(dāng)于三個(gè)人全排列，有6種，然后再將甲、乙二人全排列有2種，所以共有6×212種排法.二、不相鄰問題“插空法”該問題可先把無位置要求的元素全排列，再把規(guī)定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意兩端）.例2 7個(gè)同學(xué)并排站成一

2、排，其中只有A、B是女同學(xué)，如果要求A、B不相鄰，且不站在兩端，不同的排法有多少種？.分析：先將其余5個(gè)同學(xué)先全排列，排列故是120.再把A、B插入五個(gè)人組成的四個(gè)空位（不包括兩端）中，（如圖0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5個(gè)同學(xué)）有2種方法.則共有440種排法.三、定位問題“優(yōu)先法”指定某些元素必須排（或不排）在某位置，可優(yōu)先排這個(gè)元素，后排其他元素.例3 6個(gè)好友其中只有一個(gè)女的，為了照像留念，若女的不站在兩端，則不同的排法有 種.分析：優(yōu)先排女的（元素優(yōu)先）.在中間四個(gè)位置上選一個(gè)，有種排法.然后將其余5個(gè)排在余下的5個(gè)位置

3、上，有種方法.則共480種排法.還可以優(yōu)先排兩端（位置優(yōu)先）.四、同元問題“隔板法”例4 10本完全相同的書，分給4個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少要有一本書，共有多少種分法？分析：在排列成一列的10本書之間，有九個(gè)空位插入三塊“隔板”.如圖：×× × ××× ××××一種插法對(duì)應(yīng)于一種分法，則共有84種分法.五、先分組后排列對(duì)于元素較多，情形較復(fù)雜的問題，可根據(jù)結(jié)果要求，先分為不同類型的幾組，然后對(duì)每一組分別進(jìn)行排列，最后求和.例5 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位

4、數(shù)字的共有（ ）（A）210個(gè) （B）300個(gè) （C）464個(gè) （D）600個(gè)分析：由題意知，個(gè)位數(shù)字只能是0，1，2，3，4共5種類型，每一種類型分別有個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)，合計(jì)300個(gè)，所以選B例6 用0，1，2，3，9這十個(gè)數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個(gè)奇數(shù)數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?【解法1】考慮0的特殊要求，如果對(duì)0不加限制，應(yīng)有種，其中0居首位的有種，故符合條件的五位數(shù)共有11040個(gè).【解法2】按元素分類：奇數(shù)字有1，3，5，7，9；偶數(shù)字有0，2，4，6，8.把從五個(gè)偶數(shù)中任取兩個(gè)的組合分成兩類：不含0的；含0的.不含0的：由三個(gè)奇數(shù)字和兩個(gè)偶數(shù)字組成的五位數(shù)有個(gè)；含0的，

5、這時(shí)0只能排在除首位以外的四個(gè)數(shù)位上，有種排法，再選三個(gè)奇數(shù)數(shù)與一個(gè)偶數(shù)數(shù)字全排放在其他數(shù)位上，共有種排法.綜合和，由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有11040個(gè).六、間接法如果一個(gè)問題直接考慮，比較復(fù)雜，很難得出結(jié)論，可考慮采用“間接法”.例7（97年高考題）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同取法共有（ ）（A）144種 （B）147種 （C）150種 （D）141種分析：從10個(gè)點(diǎn)中任取四點(diǎn)，總數(shù)為.其中四點(diǎn)共面的有三種情況：共面的6個(gè)點(diǎn)中任意4點(diǎn)，共有4種；任一棱上的3點(diǎn)與其對(duì)棱中點(diǎn)共面的共有6種；相鄰兩面三角形中位線的4個(gè)端點(diǎn)共面，共有3種.所以適合條件的

6、取法有463141（種），因此選D.七、交叉問題韋恩圖例8 由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字，比20000大，且百位數(shù)字不是3的自然數(shù)？ U【解】設(shè)A滿足題設(shè)條件，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)，B滿足題設(shè)條件，且比20000大的自然數(shù)，則原題即求，畫韋恩圖如圖，陰影部分即，從圖中看出.又，由性質(zhì)2，有即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字，且比20000大的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，易知.即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字、比20000大，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，易知，所以78.即可組成78個(gè)符合已知條件的自然數(shù).四. 定序問題用除法 對(duì)于在排列中，當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，

7、可用此法。解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，則有種排列方法。 例4. 由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個(gè)？ 解：不考慮限制條件，組成的六位數(shù)有種，其中個(gè)位與十位上的數(shù)字一定，所以所求的六位數(shù)有： （個(gè)） 五. 分排問題用直排法 對(duì)于把幾個(gè)元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一成一排的方法求解。 例5. 9個(gè)人坐成三排，第一排2人，第二排3

8、人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？ 解：9個(gè)人可以在三排中隨意就坐，無其他限制條件，所以三排可以看作一排來處理，不同的坐標(biāo)共有種。 六. 復(fù)雜問題用排除法 對(duì)于某些比較復(fù)雜的或抽象的排列問題，可以采用轉(zhuǎn)化思想，從問題的反面去考慮，先求出無限制條件的方法種數(shù)，然后去掉不符合條件的方法種數(shù)。在應(yīng)用此法時(shí)要注意做到不重不漏。 例6. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，取其中4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（ ） A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種 解：從10個(gè)點(diǎn)中任

9、取4個(gè)點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4個(gè)點(diǎn)共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有：（種）。 七. 多元問題用分類法 按題目條件，把符合條件的排列、組合問題分成互不重復(fù)的若干類，分別計(jì)算，最后計(jì)算總數(shù)。 例7. 已知直線中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。 解：設(shè)傾斜

10、角為，由為銳角，得，即a，b異號(hào)。 （1）若c0，a，b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)（，），故有：3×327（條）。 （2）若，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有：3×3×436（條）。 從而符合要求的直線共有：73643（條） 八. 排列、組合綜合問題用先選后排的策略 處理排列、組合綜合性問題一般是先選元素，后排列。 例8. 將4名教師分派到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分派方案共有多少種？ 解：可分兩步進(jìn)行：第一步先將4名教師分為三組（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（種），第二步將這三組教師分派到3種中學(xué)任教有種方法。由分步計(jì)數(shù)原理得不同的分派方案共有：（種）。因此