線性代數(shù)：第一章 行列式

1、第一章第一章 行列式行列式22211211aaaa主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算= a11a22 a12a21332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算在一個(gè)排列在一個(gè)排列( i1 i2 is it in )中中, 若數(shù)若數(shù) isit , 則則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序逆序數(shù)數(shù)nnnnnnaaaaaa

2、aaaD212222111211 nnpppnppptaaa212121)1(或或 nnpppnppptaaaD212121)1(nnnnaaaaaa00022211211上三角行列式上三角行列式nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111211222111000000 下三角行列式下三角行列式n 21,21n 對(duì)角行列式對(duì)角行列式nn2211aaa nn2211aaa n21 n212)1n(n)1( 20102010、20112011期末考題，填空期末考題，填空 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, 即即DT = D. 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列),

3、行列式變號(hào)行列式變號(hào). 推論推論: 如果行列式有兩行如果行列式有兩行(列列)完全相同完全相同, 則此行列則此行列式為零式為零. 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一數(shù)同一數(shù)k, 等于用數(shù)等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式.行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面可以提到行列式符號(hào)的外面. 性質(zhì)性質(zhì)4: 行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行(列列)元素成比例元素成比例, 則則此行列式為零此行列式為零 性質(zhì)性質(zhì)5: 若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是兩數(shù)之的元素都是兩數(shù)之和和, 則該行列式等

4、于兩個(gè)行列式之和則該行列式等于兩個(gè)行列式之和. 性質(zhì)性質(zhì)6: 把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去對(duì)應(yīng)的元素上去, 行列式不變行列式不變. 在在 n 階行列式階行列式D中中, 把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素劃去后列元素劃去后, 留下來的留下來的 n1 階行列式叫做階行列式叫做(行列式行列式D的關(guān)于的關(guān)于)元素元素aij 的余子式的余子式, 記作記作 Mij . 即即 記記 Aij = (1)i+j Mij, 稱稱 Aij 為為元素元素 aij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式

5、. jijiDDijjknkikkjnkkiAaAa當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)011 jijiij當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)01 等于對(duì)角元之乘積一、三角形行列式的值1nn1n21n12n2221n21xxxxxxxxx111 二、范德蒙德行列式BCOA|B|A| )xx(ji1jin nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1) 定理定理1: (克拉默克拉默(Cramer)法則法則)如果線性方程組如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零的系數(shù)行列式不等于零, 那么那么, 線性方程組線性方程組(1)有解有解, 且且解是唯一的解是唯一的, 解可以表為解可以表為.,22

6、11DDxDDxDDxnn 其中其中Dj 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式D中第中第 j 列的元素用方程組右列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 n 階行列式。階行列式。 定理定理2: 如果線性方程組如果線性方程組(1)無解或有解但不唯一無解或有解但不唯一, 則它的系數(shù)行列式必為零則它的系數(shù)行列式必為零. 定理定理3: 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 D 0, 則齊次線性方程組沒有非零解則齊次線性方程組沒有非零解. 定理定理4: 如果齊次線性方程組有非零解如果齊次線性方程組有非零解, 則它的系則它的系數(shù)行列式數(shù)行列式 D 必為零必為零.

7、在后面我們將證明在后面我們將證明: 齊次線性方程組有非零解的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為它的系數(shù)行列式充分必要條件為它的系數(shù)行列式D必為零必為零. 行列式的計(jì)算方法小結(jié)1. 直接用定義直接用定義（非零元素（非零元素很少很少時(shí)可用）時(shí)可用）2. 化三角形行列式法化三角形行列式法此法特點(diǎn)：此法特點(diǎn)：程序化明顯，對(duì)階數(shù)較低的數(shù)字行列式和程序化明顯，對(duì)階數(shù)較低的數(shù)字行列式和一些較特殊的字母行列式適用。一些較特殊的字母行列式適用。 3.降階法降階法利用性質(zhì)，將某行利用性質(zhì)，將某行(列列)的元盡可能化為的元盡可能化為0，然后，然后按行按行(列列)展開展開.階階n階階1 n 階階2 1.“三線型三

8、線型”行列式行列式化成三角形行列式化成三角形行列式012112210000,0,1,2,. .00nninnabbbdadaDainda 上面的行列式稱為上面的行列式稱為“三線型三線型”行列式行列式，指的是行列式，指的是行列式出了某行，某列和對(duì)角線元素或次對(duì)角線元素非零出了某行，某列和對(duì)角線元素或次對(duì)角線元素非零外，其余元素均為零。外，其余元素均為零。計(jì)算方法：變?yōu)橛?jì)算方法：變?yōu)樯先切辛惺缴先切辛惺交蚧蛳氯切辛惺较氯切辛惺?201()niiniibda aa aa 答案：例例: 計(jì)算行列式計(jì)算行列式112211200000,0,1,2,. .00ninnnadadDainadbbba

9、上面的行列式是另一種上面的行列式是另一種“三線型三線型”行列式行列式1201()niiniibda aa aa 答案：例例: 計(jì)算行列式計(jì)算行列式(和課后題和課后題6(5)類似類似)0111100000001nnnaaaaxDxx 上面的行列式稱為上面的行列式稱為“爪形三線型爪形三線型”行列式行列式1011nnnna xa xaxa 答案：課后習(xí)題課后習(xí)題 6(5) 證明證明01211110100001000001nnnnnnxxxaaaaaa xaxa xa 2009年期末年期末考題考題 計(jì)算行列式計(jì)算行列式11223000000000000011111nnaaaaaaa n12(-1) (

10、1)nna aa 答案：.n11n0000022000011n1n321Dn)8.(2n 階行列式計(jì)算分2)1n(n)!1n()1(1n 答案：2012年選考年選考例例: 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式.abbbbabbbbabbbbaD 可以按上例計(jì)算的行列式的共同特點(diǎn)：可以按上例計(jì)算的行列式的共同特點(diǎn)：1. 行列式每行元素的和相同。行列式每行元素的和相同。故，可把其他列元素故，可把其他列元素加到第一列，然后提取第一列的公因子，把第一列加到第一列，然后提取第一列的公因子，把第一列元素變?yōu)樵刈優(yōu)?.2. 行列式不同行元素只有兩個(gè)或三個(gè)元素不同，其行列式不同行元素只有兩個(gè)或三個(gè)元素不同，其余全

11、相同。余全相同。故，可用第一行元素去減其他行元素，故，可用第一行元素去減其他行元素，把行列式變?yōu)榘研辛惺阶優(yōu)?上、下上、下)三角行列式。三角行列式。答案答案: a+(n-1)b(a-b)n-12. 各行各行(列列)總和相等的行列式總和相等的行列式 (趕鴨子法趕鴨子法)三、計(jì)算下列各題三、計(jì)算下列各題.111111111111, 2)8.(1aaaaDnnn 階行列式階行列式計(jì)算計(jì)算設(shè)設(shè)分分2010年選考年選考答案答案: x+(n-1)a(x-a)n-1.)8.(1xaaaaxaaaaxaaaaxDn 階階行行列列式式計(jì)計(jì)算算分分三、計(jì)算下列各題三、計(jì)算下列各題2010、2012年期末考題，年期

12、末考題，課后題課后題8(2)1n1a)(1na ）答案：（三、計(jì)算下列各題三、計(jì)算下列各題.011101110)8.(1 nDn階階行行列列式式計(jì)計(jì)算算分分答案答案: (-1)n-1(n-1)2011年選考年選考例例: 計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxnnnnD niiniiaxax11)()(答案：答案：2008年期末考題年期末考題 計(jì)算行列式計(jì)算行列式11211211211111125 答案：例：例：計(jì)算計(jì)算n+1階行列式階行列式121121121112312311111nnnnnxaaaaxaaaaxaDaaaxaaaa 12()()()nx

13、 ax ax a 答案3. 除對(duì)角線以外各行元素對(duì)應(yīng)相同除對(duì)角線以外各行元素對(duì)應(yīng)相同,可化成三角可化成三角形行列式或三線型行列式形行列式或三線型行列式課后習(xí)題課后習(xí)題8（5）計(jì)算行列式計(jì)算行列式det(),|.nijijDaaij其中2(1)2nn n+1答案: ( -1)2010、2011年期末考題，年期末考題，課后習(xí)題課后習(xí)題8(6)行列式的特點(diǎn)：行列式的特點(diǎn)：每行每行(列列)除對(duì)角線外元素相同，或除對(duì)角線外元素相同，或者每行者每行(列列)對(duì)角線以上對(duì)角線以上(下下)元素相同。元素相同。要點(diǎn)：要點(diǎn)：將行列式加一行將行列式加一行(列列)，利用所加的行（列），利用所加的行（列）元素元素 ，將行

14、列式化成三角形行列式或三線型行列式。，將行列式化成三角形行列式或三線型行列式。加邊法加邊法(升階升階)1211(1)nniia aaa 答案：12121111110.111nnaaa aaa ，其中計(jì)算行列式計(jì)算行列式例例2: 計(jì)算計(jì)算.333222111222nnnnnnnD 評(píng)注評(píng)注: 本題所給行列式各行本題所給行列式各行(列列)都是某元素的不都是某元素的不同方冪同方冪, 而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同全相同, 需要利用行列式的性質(zhì)需要利用行列式的性質(zhì)(如提取公因子如提取公因子, 調(diào)換調(diào)換各行各行(列列)的次序等的次序等)將此行列式化成范

15、德蒙行列式將此行列式化成范德蒙行列式.!.1! 2)!2()!1( ! nnn答案：答案：4. 范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式（重要結(jié)果）（重要結(jié)果）課后習(xí)題課后習(xí)題8（3）計(jì)算行列式計(jì)算行列式1111(1)()(1)()1111nnnnnnnaaanaaanDaaan 11()nijij 答案：(2005年數(shù)學(xué)一考研真題年數(shù)學(xué)一考研真題)例例 計(jì)算計(jì)算n+1階行列式階行列式1221111111111221222222221122111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaababa bbaababa bbDaabababb 例例6: 證明證明

16、cos210001cos200000cos210001cos210001cos Dn.cos n 評(píng)注評(píng)注: 為了將為了將Dn展開成用與展開成用與Dn同形的行列式同形的行列式Dn1, Dn2表示表示, 本例必須按第本例必須按第n行行(或第或第n列列)展開展開, 不能用第不能用第1行行(或第或第1列列)展開展開, 否則所得的低階行列式不是與否則所得的低階行列式不是與Dn同同形的行列式形的行列式, 從而無法進(jìn)行下一步證明從而無法進(jìn)行下一步證明.5. 某行（列）至多有兩個(gè)非零元素的行列式，可某行（列）至多有兩個(gè)非零元素的行列式，可用用降降 階法階法或定義或或定義或遞推公式法遞推公式法或或歸納法歸納法

17、本題使用的是本題使用的是數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法課后習(xí)題課后習(xí)題8（4）計(jì)算行列式計(jì)算行列式11211nnnnnababDcdcd 21()nniiiiiDa dbc 答案：2011年期末試卷年期末試卷一、填空（每題一、填空（每題4分，共分，共16分）分）.00000000144332211 ababbabaD、行列式)(32324141bbaabbaa 課后習(xí)題課后習(xí)題 11 問問 取何值時(shí)，齊次線性方程組取何值時(shí)，齊次線性方程組1231231230,0,20 xxxxxxxxx , 有非零解有非零解?將某行將某行(列列)變?yōu)橹挥幸粋€(gè)非零元素，降階，某變?yōu)橹挥幸粋€(gè)非零元素，降階，某行行(列列)可能可能會(huì)出現(xiàn)公因子，提公因子，可降次。會(huì)出現(xiàn)公因子，提公因子，可降次。6. 部分對(duì)角線上含參數(shù)的行列式部分對(duì)角線上含參數(shù)的行列式課后習(xí)題課后習(xí)題 12 問問 取何值時(shí)，齊次線性方程組取何值時(shí)，齊次線性方程組123123123(1)240,2(3)0,(1)0 xxxxxxxxx 有非零解有非零解?=1=0答案：或=023 答案：或 或2010年期末考題年期末考