初中數(shù)學(xué)-三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用

1、三角形內(nèi)外角平分線一.命題的證明及應(yīng)用在中考常有與三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)的題目，若平時不注意總結(jié)是很難一下子解決的下面來一起學(xué)習(xí)一下命題1 如圖，點D是ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，則D=90°+A證明：如圖：1，2122A180°12D=180°得：12AD由得：12=180°D把代入得：180°DADD=90°+A點評 利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°，不難證明.命題2 如圖，點D是ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，則D=90°A證明：如圖：DB和DC是ABC的兩條外角平分線，D=180°12=

2、180°（DBE+DCF）=180°（A+4+A+3）=180° （A+180°）=180° A90°=90° A；點評 利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180°，可以證明.命題3 如圖3，點E是ABC一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線的交點，則E=A證明：如圖3：1=2，3=4，A+21=241+E=4×代入得：E=A點評 利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.命題4如圖，點E是ABC一個內(nèi)角平分線BE與一個外角平分線CE

3、的交點，證明:AE是ABC的外角平分線.證明：如圖3：BE是ABC的平分線,可得：EH=EFCE是ACD的平分線, 可得：EG=EF過點E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.即EF=EG=EHEG=EHAE是ABC的外角平分線 點評 利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問題，下面來一起看例1如圖5，PB和PC是ABC的兩條外角平分線已知A=60°，請直接寫出P的度數(shù).三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？解析：由命題2的結(jié)論直接得：P=90° A=90° ×60

4、°=60°根據(jù)命題2的結(jié)論P=90° A，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形點評 此題直接運用命題2的結(jié)論很簡單同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形例 如圖6，在ABC中，延長BC到D,ABC與ACD的角平分線相較于點，BC與CD的平分線交與點，以此類推，若A=96°，則= 度解析：由命題的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律A可以直接得：=×96°=3° 點評此題是要找出規(guī)律的但對要有命題的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識例（203陜西第一大題填空題第八小題，此題分）如圖7，ABC的外

5、角ACD的平分線CP的內(nèi)角ABC平分線BP交于點P，若BPC=40°，則CAP=_解析：此題直接運用命題的結(jié)論可以知道是ABC的一個外角平分線，結(jié)合命題的結(jié)論知道BAC=2BPC, CAP=(180°BAC )= (180°2BPC )=50°點評對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時候花時間也不一定做的出來的題目例(2003年山東省)如圖，在RtABC中，ACB=90°，BAC=30°，ACB的平分線與ABC的外角平分線交與E點，連接AE，則AEB= 度解析：有題目和命題的結(jié)論可以知道AE是ABC的一個外角平分線,

6、 結(jié)合命題2的結(jié)論知道AEB=ACBACB=90°×90°=45°點評 從上面的做題過程來看題目中給出的“A=30°”這個條件是可以不用的二.角平分線定理使用中的幾種輔助線作法一、已知角平分線，構(gòu)造三角形例題、如圖所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：證明：延長BE交AC于點F。因為角是軸對稱圖形，對稱軸是角的平分線所在的直線， 所以AD為BAC的對稱軸，又因為BEAD于F，所以點B和點F關(guān)于AD對稱，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因為ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，

7、所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。二、已知一個點到角的一邊的距離，過這個點作另一邊的垂線段如圖所示，1=2，P為BN上的一點，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求證：BAPBCP=180°。證明：經(jīng)過點P作PEAB于點E。因為PEAB，PDBC，1=2，所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因為ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因為PEAB，PDBC，所以PEB=PDB=90°.在PAE和RtPCD中所以PAERt

8、PCD，所以PCB=EAP。因為BAPEAP=180°，所以BAPBCP=180°。三、已知角平分線和其上面的一點，過這一點作角的兩邊的垂線段例題、如圖所示，在ABC中，PB、PC分別是ABC的外角的平分線，求證：1=2證明：過點P作PEAB于點E，PGAC于點G，PFBC于點F因為P在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可證PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分線，所以1=2。 三.角平分線-應(yīng)用 三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算或證明中，起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢？下

9、面舉例說明一、由角平分線的性質(zhì)聯(lián)想兩線段相等EMDFCBA圖1例1 如圖1，ABAC，A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：BE=CF證明 連結(jié)DB，DCD在A的平分線上，DE=DFD在BC的垂直平分線上，BD=DC又BED=CFD=90°，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分線的軸對稱性構(gòu)造全等三角形例2 如圖2，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求證：A+C=180°證明 延長BA至F，使BF=BC由BD平分ABC在FBD與CBD中，BF=BC ABD=CBD BD=BDFBDCBD，F(xiàn)DCBA圖2C=F，DF

10、=CD=AD，F(xiàn)=DAF，A+C=BAD+DAF=180°三、過角平分線上一點作一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角形例3 已知：如圖3，ABC的平分線BF與ACB的平分線CF相交于點F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求證：BD+CE=DEEFCBDA圖3證明：BF是ABC的平分線 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、實際生活中的應(yīng)用例4 如圖4，有三條公路、兩兩相交，要選擇一地點建一座加油站，是加油站到三條公路的距離相等，應(yīng)如何選擇建加油站的地址？這樣的位置有幾種選擇？圖4解析：分別作ABC兩內(nèi)角的平分線

11、，它們相交于一點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)知，這個點到三條公路的距離相等；或者分別作ABC相鄰兩外角的平分線，它們的交點到三條公路的距離也相等，這樣點共有三個，所以建加油站的位置共有4種選擇 五.角平分線攜“截長補短”顯精彩 角的平分線具有其特有的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.eg1 . 如圖1-1，ADBC，點E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.圖1-1分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=

12、DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.證明：在CD上截取CF=BC，如圖1-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE（SAS）,2=1.圖1-2又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.eg2. 已知，如圖2-1，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.圖2-1分析：證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓

13、它們是鄰補角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造.證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖2-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-22-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°圖3-1eg3.已知：如圖3-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補

14、短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補短法）圖3-2延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖3-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.圖3-3方法二（截長法）在AB上截取AF=AC，如圖3-3在AFD與ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述兩種方法在實際應(yīng)用中，時常是互為補充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當選擇合適思路進行分析。讓掌

15、握學(xué)生掌握好“截長補短法”對于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫助。如圖1所示，在ABC中，C=2B，1=2。求證：AB=ACCD。證法一：截取法。就是在較長的線段中截取一段與求加法運算的兩條線段中的一條相等，然后證明另一段等于加法運算的另一條線段。如圖2所示，在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE。圖2在AED和ACD中所以AEDACD，所以ED=CD，3=C。因為3=B4，C=2B，所以B=4，所以BE=DE。所以AB=AEBE=ACDE=ACCD。證法二、補短法。就是在較短的一條線段的基礎(chǔ)上通過延長在截取的方法將求和的兩條線段連結(jié)在一起。本種方法是延長AC，再在延長線上截取CF=CD。如圖3

16、所示，延長AC到點F，使CF=CD，連結(jié)DF。圖3因為CF=CD，所以3=F。因為ACB=3F，所以ACB=2F。又因為ACB=2B，所以B=F。在ABD和AFD中所以ABDAFD，所以AB=AF。因為AF=ACCF=ACCD，所以AB= ACCD。第三種方法：也是屬于補短法，本種方法是延長DC，再在延長線上截取CM=AC。證明：延長DC，在DC的延長線上截取CM=AC，連結(jié)AM。因為因為CM=CA，所以3=M。因為ACB=3M，所以ACB=2M=23。圖4又因為ACB=2B，所以B=M=3，所以AB=AM。因為4=B1，DAM=23，1=2所以4=DAM，所以AM=DM=DCCM=DCAC，

17、所以AB=DCAC。圖5圖3練習(xí)：如圖5所示，在ABC中，BC邊的垂直平分線DF交BAC的外角平分線AD于點D，F(xiàn)為垂足，DEAB于E，并且AB>AC。求證：BEAC=AE。提示：可以將減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，然后利用“截長”或者“補短”法解決問題。 四.角平分線中考真題角平分線的性質(zhì)與應(yīng)用一、選擇題1、（2009·溫州中考）如圖，OP平分，垂足分別為A，B下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）A. B.平分C. D.垂直平分【解析】選D.由OP平分，可得，由HL可得RtAOPRtBOP，所以可得平分，.2、(2009·牡丹江中考)尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以為圓心，任意長

18、為半徑畫弧交、于、，再分別以點、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線由作法得的根據(jù)是（ ）ASAS BASA CAASDSSS ODPCAB【解析】選D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=DP,所以，因此依據(jù)為SSS；3、（2007·中山中考）到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（）（）三條中線的交點 （）三條高的交點（）三條邊的垂直平分線的交點（）三條角平分線的交點答案：D4、（2007·義烏中考）如圖，點P是BAC的平分線AD上一點，PEAC于點E已知PE=3，則點P到AB的距離是（ ）.（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【解析】選A.由角平分

19、線的性質(zhì)可得.二、填空題5、（2009·廈門中考）如圖，在ABC中，C=90°,ABC的平分線BD交AC于點D,若BD=10厘米，BC=8厘米，則點D到直線AB的距離是_厘米?！窘馕觥窟^點D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分線性質(zhì)得答案：6.6、（2010·珠海中考）如圖，P是菱形ABCD對角線BD上一點，PEAB于點E，PE4cm，則點P到BC的距離是_cm. 【解析】因為，P是菱形ABCD對角線BD上一點，PEAB于點E，PE4cm，有BD為ABC的角平分線，所以P到BC的距離等于PE的長等于4.答案：47、（2008·肇慶中考）如圖，P是

20、AOB的角平分線上的一點，PCOA于點C，PDOB于點D，寫出圖中一對相等的線段（只需寫出一對即可） .答案：PC=PD（答案不唯一）三、解答題8、（2009·懷化中考）如圖，P是BAC內(nèi)的一點，垂足分別為點求證：（1）；（2）點P在BAC的角平分線上【證明】（1）如圖，連結(jié)AP， AEP=AFP=，又AE=AF，AP=AP，RtAEPRtAFP，PE=PF（2）RtAEPRtAFP，EAP=FAP，AP是BAC的角平分線，故點P在BAC的角平分線上9、(2008·青島中考)如圖，表示兩條相交的公路，現(xiàn)要在的內(nèi)部建一個物流中心設(shè)計時要求該物流中心到兩條公路的距離相等，且到公

21、路交叉處點的距離為1 000米（1）若要以的比例尺畫設(shè)計圖，求物流中心到公路交叉處點的圖上距離；（2）在圖中畫出物流中心的位置【解析】（1）（1）1 000米=100 000厘米，100 000÷50 000=2（厘米）；(2)10、（2008·衢州中考）如圖，ABCD(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線CP，CP交AB于點E(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)中作出的線段CE上取一點F，連結(jié)AF。要使ACFAEF，還需要添加一個什么條件？請你寫出這個條件(只要給出一種情況即可；圖中不再增加字母和線段；不要求證明)。【解析】(1)作圖略；(2)取點F和畫AF正確(如圖)；添加的

22、條件可以是：F是CE的中點；AFCE；CAF=EAF等。(選一個即可)，五.最后-角平分線、垂直平分線知識考點：了解角平分線、垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)和定理，并能解決一些實際問題。精典例題：【例題】如圖，已知在ABC中，ABAC，B300，AB的垂直平分線EF交AB于點E，交BC于點F，求證：CF2BF。分析一：要證明CF2BF，由于BF與CF沒有直接聯(lián)系，聯(lián)想題設(shè)中EF是中垂線，根據(jù)其性質(zhì)可連結(jié)AF，則BFAF。問題轉(zhuǎn)化為證CF2AF，又BC300，這就等價于要證CAF900，則根據(jù)含300角的直角三角形的性質(zhì)可得CF2AF2BF。分析二：要證明CF2BF，聯(lián)想B300，EF是AB的中垂線，可過

23、點A作AGEF交FC于G后，得到含300角的RtABG，且EF是RtABG的中位線，因此BG2BF2AG，再設(shè)法證明AGGC，即有BFFGGC。 分析三：由等腰三角形聯(lián)想到“三線合一”的性質(zhì)，作ADBC于D，則BDCD，考慮到B300，不妨設(shè)EF1，再用勾股定理計算便可得證。以上三種分析的證明略。 探索與創(chuàng)新：【問題】請閱讀下面材料，并回答所提出的問題：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。如圖，ABC中，AD是角平分線。求證：。分析：要證，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在同一條直線上，

24、ABD與ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。我們注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CEAD交BA的延長線于E，從而得到BD、CD、AB的第四比例項AE，這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化為證AEAC。證明：過C作CEAD交BA的延長線于E CEADE3AEAC CEAD （1）上述證明過程中，用了哪些定理（寫出兩個定理即可）；（2）在上述分析、證明過程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個填入后面的括號內(nèi)（ ）數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想 分類討論思想答案：轉(zhuǎn)化思想（3）用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：已知AD是ABC中BAC的角平分線，AB5 cm，AC4 cm

25、，BC7 cm，求BD的長。答案：cm評注：本題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如圖，A520，O是AB、AC的垂直平分線的交點，那么OCB 。2、如圖，已知ABAC，A440，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則DBC 。 3、如圖，在ABC中，C900，B150，AB的中垂線DE交BC于D點，E為垂足，若BD8，則AC 。4、如圖，在ABC中，ABAC，DE是AB的垂直平分線，BCE的周長為24，BC10，則AB 。5、如圖，EG、FG分別是MEF和NFE的角平分線，交點是G，BP、CP分別是MBC和NCB的角平分線，交點是P，F(xiàn)、C在AN上，B、E在AM上，若G680，那么P 。 二、選