超彈性不穩(wěn)定

1、超彈性材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問題任九生國家自然科學基金項目(10402018，10772104)； 上海市重點學科建設資助項目（Y0103）， 程昌鈞 上海大學力學系，上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海200444摘要 超彈性材料是一類性能獨特、不可替代且有廣泛工程應用的材料，對其獨特的材料不穩(wěn)定性問題的研究極大地推動了連續(xù)介質(zhì)力學有限變形理論和超彈性理論的發(fā)展。本文綜述了超彈性材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問題的研究成果和最新進展，包括Rivlin立方塊問題、薄壁球殼和薄壁圓筒的內(nèi)壓膨脹問題、圓柱的扭轉(zhuǎn)問題、塊體的表面不穩(wěn)定性問題、空穴的生成、增長和閉合問題等。闡述了這類材料中各類非線性不穩(wěn)定性問題的特點

2、、問題的求解、主要結(jié)果及今后進一步的研究方向等。關(guān)鍵詞 超彈性材料，材料和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性，非線性，分叉1引言 超彈性材料指存在一個應變能函數(shù)，應力可從應變能函數(shù)求偏導得到的材料，主要包括橡膠，合成彈性體，部分高分子聚合物和血管、肌肉、皮膚等生物軟組織為代表的部分生物材料13 。以橡膠材料為例，它們具有大變形和高彈性的獨特特點和優(yōu)點，作為密封、振動吸收或承受負荷的橡膠配件幾乎在國民經(jīng)濟各領(lǐng)域都有應用，特別是近年來在航空航天等高科技領(lǐng)域中的應用?！疤魬?zhàn)者”號航天飛機因“O”型橡膠密封圈的緣故造成的失事使人們認識到材料力學及超彈性材料和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的重要性，因此這類材料受到人們的極大關(guān)注；“哥倫比亞”

3、號航天飛機的失事再一次昭示了材料問題的重要性。超彈性材料的應力應變關(guān)系完全由它們的應變能函數(shù)給出，且其幾何特性大都是非線性大變形的，問題的數(shù)學模型一般是非線性微分方程的初邊值問題，求解比較困難，大變形問題的求解和材料應變能函數(shù)的確定一起構(gòu)成超彈性材料的兩個核心問題。 圖1橡膠彈性的八條鏈微觀模型4橡膠材料的微觀結(jié)構(gòu)是由長長的分子鏈通過化學鍵交結(jié)在一起（熱固性橡膠）或通過部分聚集的分子進入微區(qū)來連接（熱塑性橡膠），在空間形成三維分子網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，代表性的模型有線性高斯鏈模型、三條鏈模型、四條鏈模型和八條鏈模型（圖1）。這些分子在常溫下具有不同的自由結(jié)構(gòu)，像一藍子蛇，在外力拉伸作用下，卷曲的長鏈可以逐

4、漸伸長，在宏觀上表現(xiàn)為高達百分之幾百的大變形，且當外力消失后，拉直的長鏈可以在自身熱運動允許的范圍內(nèi)回縮到原來的自由狀態(tài)，這就是橡膠材料的高彈性45 。當外載荷達到某一程度時，材料內(nèi)部可以突然出現(xiàn)局部化的損傷構(gòu)造，材料由穩(wěn)定的連續(xù)形變狀態(tài)突然過渡到另一狀態(tài)，在宏觀上可以表現(xiàn)為許多令人感興趣的特殊現(xiàn)象，如軟化，變形局部化，裂紋起裂、傳播和分叉，空洞的形成、擴大和聯(lián)合等不穩(wěn)定現(xiàn)象610。超彈性材料因其獨特的大變形彈性變形特性使其穩(wěn)定性問題更為奇妙，空穴的生成、結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問題等正是材料本身的不穩(wěn)定性產(chǎn)生的1115；其中，材料從一個平衡狀態(tài)向另一個平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變的分叉現(xiàn)象尤其重要，分叉也正是我們敘述

5、超彈性材料和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性問題的核心。另外，考慮到橡膠材料的物理性質(zhì)和力學性質(zhì)對溫度影響的敏感性，在一定環(huán)境下還必須考慮溫度場及溫度場和應力場的耦合作用對超彈性材料和結(jié)構(gòu)各類不穩(wěn)定性問題的影響1617。本文在簡要介紹連續(xù)介質(zhì)力學有限變形理論和超彈性本構(gòu)理論的基礎上，概述了超彈性材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問題的研究進展，主要包括Rivlin立方塊問題、薄壁球殼和薄壁圓筒的內(nèi)壓膨脹問題、圓柱的扭轉(zhuǎn)問題、塊體的表面不穩(wěn)定性問題、空穴的生成、增長和閉合問題等問題的特點、問題的求解、主要結(jié)果及今后進一步的研究方向。問題的研究一方面可以豐富連續(xù)介質(zhì)力學的大變形彈性理論，另一方面能夠為橡膠復合材料的工程應用提供參考

6、，特別是關(guān)于橡膠材料的斷裂和疲勞壽命等方面。2問題的基本方程 因超彈性材料的大變形特點，其變形或運動由連續(xù)介質(zhì)力學的有限變形幾何描述1819，需建立初始時刻的物質(zhì)坐標和當前時刻的空間坐標，兩者之間存在一一對應的可逆關(guān)系 （1）即材料的變形模式。相應的變形梯度張量 （2）描述物體的變形信息，是連續(xù)介質(zhì)力學有限變形幾何中一個重要的量，成立如下極分解 （3）式中，是正交張量，表示純轉(zhuǎn)動；和是對稱的正定張量，表示局部伸長變形，分別稱為右和左Cauchy-Green伸長張量，它們具有相同的主值即三個主伸長。但兩個伸長張量是一個平方根張量，使用不方便，故引入相應的右和左Cauchy-Green變形張量 （

7、4）這兩個變形張量具有三個相同的主值或三個相同的不變量 （5）如第三不變量，則稱材料為不可壓材料，否則稱為可壓材料。關(guān)于超彈性材料的應變能函數(shù)，已有各種各樣的形式2023，包括不可壓的或可壓的，各向同性的、橫觀各向同性的、各向異性的，小變形的或大變形的，等溫的或考慮溫度變化影響的，不考慮材料硬化效應的或考慮材料硬化效應的，微觀模型或連續(xù)介質(zhì)模型，以不變量形式表示的或以主伸長形式表示的等。如最常用的有不可壓neo-Hookean材料 （6）式中，材料常數(shù)為小變形時材料的剪切模量。不可壓Mooney-Rivlin材料 （7） 式中，為材料常數(shù)。不可壓Ogden材料 （8）式中，為材料常數(shù)。材料的應

8、力狀態(tài)由作用于物體已變形構(gòu)形上的Cauchy應力張量，“虛擬”的作用在物體初始構(gòu)形上的第一類Piola-Kirchhoff應力張量或第二類Piola-Kirchhoff應力張量描述。它們分別滿足各自的運動方程和邊界條件，并由應變能函數(shù)確定。以Cauchy應力張量為例，滿足運動方程 （9）且應力張量由下式確定 （10）以變形不變量形式表示的應力應變關(guān)系 （11）式中，。對于不可壓超彈性材料，相應的應力應變關(guān)系為 （12）式中，為非確定的靜水壓力，是作為約束應力引入的，是超彈性材料受到不可壓條件的約束限制時對應力應變關(guān)系的修正。三類應力張量之間具有如下關(guān)系 （13）3 Rivlin立方塊問題受到突

9、然施加的、面內(nèi)均勻分布、三個方向大小相等的拉伸死載荷作用的不可壓neo-Hookean材料立方塊，當荷載較小時，平衡狀態(tài)是唯一的，即立方塊保持不變形；但當載荷達到某一臨界值時，除不變形的平凡解外還有六個分叉解存在，且分叉解是穩(wěn)定的，即立方塊不再保持均勻變形，而是在三個方向發(fā)生了大小不一的非對稱變形。這類在對稱載荷作用下產(chǎn)生了非對稱變形的分叉問題稱為Rivlin非對稱分叉問題。關(guān)于問題的求解，Rivlin2425從最小勢能原理出發(fā)，構(gòu)造結(jié)構(gòu)的總勢能，然后通過變分方法找到了問題的解析解。三個方向均受拉伸死載荷作用的立方塊的總勢能為 （14）可由變分找到問題的解，由的符號判定解的穩(wěn)定性。當時，問題只

10、要一個平凡解；但當時，問題除平凡解外還有六個解 （15）Rivlin立方塊問題在平面應力狀態(tài)下就是方板的拉伸失穩(wěn)問題2628。Kearsley26分析了受均布拉伸死荷作用的Mooney-Rivlin材料方板，在面內(nèi)各邊完全相同的拉伸載荷作用下，當載荷較小時，問題只有平凡解，相應的平衡狀態(tài)是唯一的，即方板在面內(nèi)兩個方向的伸展大小相等；但當載荷達到某一臨界值時，除對稱性的伸展外，方板會產(chǎn)生非對稱的伸長變形，在面內(nèi)兩個方向的伸展大小不再相等，且它是穩(wěn)定的。另外，非對稱分叉問題在實驗上也得到了證實。Trelor29于1948年在實驗中發(fā)現(xiàn)四邊受相同的拉力作用的方形超彈性薄板有三個平衡狀態(tài)，其中有兩個是

11、非對稱的。雙向等拉伸方板的變形控制方程為 （16）當時（取定材料常數(shù)），方板僅產(chǎn)生對稱的變形；當時，方板產(chǎn)生非對稱的變形。不可壓Mooney-Rivlin材料方板的分叉曲線如圖2所示30。圖2 方板的分叉曲線 圖3氣球的膨脹曲線4 薄壁球殼和薄壁圓筒的內(nèi)壓膨脹問題對于受均布內(nèi)壓作用的不可壓超彈性薄壁球殼，當內(nèi)壓較小時，球殼保持原來的形狀，發(fā)生對稱的均勻膨脹變形；但當內(nèi)壓大于某一臨界值時，球殼產(chǎn)生復雜的非對稱變形，其中一部分膨脹變形很大，而另外部分僅僅是輕微膨脹，且球殼的形狀逐漸遠離球形 3133。如對變形前半徑為，厚度為的Gent材料氣球在膨脹壓力作用下的變形問題，可根據(jù)能量守恒定理得到其變形

12、與壓力間的關(guān)系為 (17)表示氣球的變形，材料常數(shù) 。氣球的變形曲線如圖3所示，可見存在一個膨脹壓力的局部極大值，當壓力小于這個極大值時，隨著變形的增加，壓力迅速地增加，且氣球有一個穩(wěn)定的變形并且大致呈球形；但當壓力大于這個極大值時，隨著變形的增加，壓力反而減小，氣球的變形變得不穩(wěn)定，微幅膨脹后的氣球有一個復雜的變形，其一部分只被輕微的拉伸而其他部分卻被高強度拉伸，所以明顯地遠離球形而變得不規(guī)則；最后，當壓力大于壓力的局部極小值時，隨著變形的增加，壓力持續(xù)地增加，氣球的變形又成為穩(wěn)定的變形，并恢復了球形。典型的氣球膨脹實驗結(jié)果也是基本如此。對于受均布內(nèi)壓作用的不可壓超彈性薄壁圓筒，當內(nèi)壓較小時

13、，圓筒發(fā)生穩(wěn)定的均勻膨脹變形；當內(nèi)壓大于某一臨界值時，圓筒產(chǎn)生復雜的非均勻變形，其中一段膨脹變形很大，形如“燈泡”狀，而另外部分僅僅是輕微膨脹3435，生物血管中形成的血管瘤就是一個典型的代表例子，如圖4所示。 圖4 血管瘤示意圖對不可壓材料薄壁球殼或薄壁圓筒，總是可以借助于不可壓條件得到變形模式函數(shù)，得到積分形式的壓力和變形之間的關(guān)系式3640。如對內(nèi)、外半徑分別為和，且受到內(nèi)壓作用的廣義不可壓Ogden熱彈性材料 為材料常數(shù)，為溫度場，為給定的參考溫度的薄壁圓筒，有 （18）由上式得到相應的變形曲線，對等溫條件下壁厚（內(nèi)外半徑之比）為的圓筒在不同軸向拉伸情況下的變形曲線如圖5所示35。結(jié)合

14、圓筒的能量比較曲線圖6可知，當內(nèi)壓小于某一局部極大值時，圓筒隨著內(nèi)壓的增加而均勻膨脹；當內(nèi)壓大于極大值時，圓筒產(chǎn)生復雜的不穩(wěn)定的非均勻變形；當圓筒的變形大于某一局部極小值時，圓筒會達到第二個穩(wěn)定的變形狀態(tài)。 圖5 薄壁圓筒的變形曲線 圖6 薄壁圓筒的能量曲線但對壁厚較厚的球殼或圓筒，則不存在不穩(wěn)定的變形狀態(tài)，內(nèi)壓總是隨著球殼或圓筒變形的增加而增加，即變形曲線是單調(diào)的，而不穩(wěn)定變形曲線則是非單調(diào)的。由此可得圓筒可以發(fā)生不穩(wěn)定變形的臨界壁厚條件（如對圓筒） （19）圓筒的臨界壁厚值隨著軸向伸長的增加而增加，如時，；時，；時，。當圓筒的壁厚小于這個臨界壁厚時，圓筒中可以產(chǎn)生不穩(wěn)定的變形；但圓筒的壁厚

15、大于臨界壁厚時，圓筒的變形則總是穩(wěn)定的；軸向伸長的增加可提高發(fā)生不穩(wěn)定變形的圓筒的壁厚。5 圓柱的扭轉(zhuǎn)問題對于受軸向拉伸和強扭轉(zhuǎn)作用的不可壓超彈性圓柱體，當外加扭矩較小時，圓柱體發(fā)生均勻的扭轉(zhuǎn)變形；當其受到足夠大的扭轉(zhuǎn)作用時，柱體產(chǎn)生復雜的非對稱變形，柱體轉(zhuǎn)動圈數(shù)的一圈會被釋放，在柱體內(nèi)某一點會突然生成一個“結(jié)”4142，如圖7所示42。問題的求解是從最小勢能原理出發(fā)，構(gòu)造結(jié)構(gòu)的總勢能，然后通過變分找到了問題的解。如受扭不可壓Mooney-Rivlin超彈性材料圓柱的總勢能為41 (20)式中，為柱體單位長度的扭轉(zhuǎn)角，為柱體的軸向伸長率。由可得扭轉(zhuǎn)的臨界值 (21)由上式所得扭轉(zhuǎn)的臨界值如圖8

16、所示，可見扭轉(zhuǎn)的臨界值隨柱體伸長率的增加而增加。且當，柱體中的“結(jié)”形成時，外加扭矩和軸向拉力會發(fā)生不連續(xù)的跳躍，柱體中的應力也會發(fā)生不連續(xù)的跳躍。 圖7 受扭圓柱的變形 圖8 曲線6塊體的表面不穩(wěn)定性問題受表面壓縮作用的不可壓neo-Hookean材料半空間體，當表面壓縮作用達到其臨界狀態(tài)時，半空間體表面會變得不穩(wěn)定，表面上會突然出現(xiàn)各種各樣的折疊和起皺現(xiàn)象4344，預示著強烈的應力集中和材料可能的提前破壞。另外，對于受彎的不可壓neo-Hookean材料塊體，其內(nèi)表面會處于表面受壓狀態(tài)，從而當達到其臨界狀態(tài)時出現(xiàn)表面不穩(wěn)定現(xiàn)象4546。Gent47 在對受彎塊體的實驗中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)表面會突然出

17、現(xiàn)很強的折疊和起皺現(xiàn)象。實際結(jié)構(gòu)中，輪胎經(jīng)常處于強烈的彎曲狀態(tài)，其內(nèi)表面會出現(xiàn)折疊和起皺現(xiàn)象。受壓不可壓neo-Hookean材料塊體表面產(chǎn)生表面不穩(wěn)定現(xiàn)象時，面內(nèi)兩個主伸長滿足方程43 （22）式中，。如塊體除受壓方向外的兩個方向都能自由擴張，則表面不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生時的；如塊體受壓表面的另一方向固定（即），則；如塊體雙向受壓，則。7空穴的生成和增長問題深海油井鉆探中當壓力從一個高壓力值突然下降時會引起橡膠密封件的爆炸性解壓破壞的發(fā)生，由此材料中的空穴的生成問題被重視?？昭ǖ姆植鎲栴}有從實心固體中突然生成空穴和預存空穴的突然增長兩種解釋4850。對受均勻分布的法向拉伸荷載作用的超彈性體，除有一個

18、均勻變形的平凡解外，當外載荷達到其臨界值時，問題存在分叉解，即物體中有空穴突然生成。早在1958年，Gent與Lindley51在對橡膠圓柱的側(cè)面徑向拉伸試驗中就觀察到柱體軸線上的空穴的生成和貫通；1965年Williams和Schapery52對橡膠球體的拉伸實驗中也觀察到類似的現(xiàn)象。1982年，Ball48應用非線性彈性理論解決了當外加載荷達到其臨界值時各向同性不可壓超彈性材料球體和柱體中的空穴生成現(xiàn)象，并將其歸結(jié)為非線性分叉問題，并提出了超彈性材料中空穴生成的基本理論。另外，當荷載接近空穴生成的臨界值時，超彈性物體中的預存微孔會突然得到快速的增長，Horgan和Aberaratne49、

19、Sivaloganathan50研究了不可壓超彈性材料中預存微孔的突然增長問題，也將其解釋為一類分叉問題。關(guān)于不可壓和可壓超彈性材料中的空穴生成和突然增長的分叉問題的進展，可見Horgan和Polignone53，Gent54，Horgan55的綜述。對不可壓材料而言，由不可壓條件可得到變形模式函數(shù)，應用逆解法或半逆解法可以得到問題的解，目前已經(jīng)討論了各向異性、非均質(zhì)、非對稱情況下的分叉問題5657。不可壓材料球體中空穴半徑和外加壓力之間的關(guān)系式如下58 (23)式中，為球體的半徑。對給定的壓力，如果上式有根，就意味著有空穴生成，此時的臨界壓力為 （24）如材料的應變能函數(shù)表示為，則該應變能函

20、數(shù)能夠描述空穴生成問題的條件是。而關(guān)于可壓縮材料要求解二階微分方程，問題的解法通常采用兩類換元降階積分方法55，一類是；另一類是。目前，僅對Blatz-Ko材料、廣義Blatz-Ko材料和廣義Varga材料等為數(shù)不多的幾種材料的軸對稱和球?qū)ΨQ問題有封閉解析解，其他情況下只有打靶法等數(shù)值解。關(guān)于均勻材料，空穴生成的分叉曲線均為右分叉；關(guān)于橫觀各向同性材料，空穴生成時的臨界壓力隨材料各向異性程度的增加而增大；且當其各向異性參數(shù)較小時，也為右分叉曲線，但當各向異性參數(shù)大于某一臨界值時，存在左分叉曲線5960；如對徑向橫觀各向同性的Ogden材料球體，其應變能函數(shù)為 （25）式中，表示材料各向異性的程

21、度，時材料為各向同性的；能夠發(fā)生左分叉的各向異性程度的臨界值為。關(guān)于由兩種材料組合而成的非均質(zhì)材料，當外部材料強于內(nèi)部材料時，存在右分叉曲線，但當外部材料弱于內(nèi)部材料時，有可能存在左分叉曲線6162。兩種不可壓Valanis-Landel材料組合圓柱體中的空穴生成的分叉曲線如圖9圖10所示62。關(guān)于溫度的影響，空穴生成時的臨界壓力隨材料溫度的降低而增大，隨材料溫度的升高而減??；在均勻溫度場的情況下，不論溫度升高或降低，均為右分叉曲線；在非均勻溫度場的情況下，溫度降低時為右分叉曲線，但溫度升高時為左分叉曲線6364。另外，通過能量比較可以看到，右分叉曲線總是穩(wěn)定的，即右分叉發(fā)生時，材料中的空穴是

22、從零開始生成的；左分叉曲線在曲線的拐點前是不穩(wěn)定的，僅在拐點后才是穩(wěn)定的，因此左分叉發(fā)生時，材料中的空穴是以一個有限的大小突然生成的，即左分叉是一個跳躍性的分叉。 空穴生成前材料中的應力分布是均勻的，但空穴生成后材料中應力分布發(fā)生顯著的變化；且不論是右分叉還是左分叉，空穴生成時空穴邊緣均存在明顯的應力集中和應力間斷現(xiàn)象6566。對不可壓材料，空穴生成時其環(huán)向應力在其表面處可達無窮大，但對可壓材料，空穴生成時其環(huán)向應力在其表面處是一個有限的值。不可壓材料中空穴生成時空穴邊緣的應力間斷現(xiàn)象示意于圖11，可壓材料中空穴生成時空穴邊緣的應力間斷現(xiàn)象類似，只是環(huán)向應力是一個有限的值。 相應于空穴的突然生

23、成的右分叉情況，當外加載荷較小時，材料中預存空穴緩慢增長或幾乎保持不變，而當外加載荷接近于其臨界值時，材料中預存空穴突然會產(chǎn)生快速的增長；相應于左分叉情況，當外加載荷接近于其臨界值時，材料中預存空穴突然會產(chǎn)生更快的跳躍性的增長67。兩種不可壓Valanis-Landel材料組合圓柱體中的空穴增長的分叉曲線如圖9圖10所示62，材料中空穴生成的分叉曲線可以看作空穴增長曲線的極限。 圖9空穴的右分叉曲線 圖10空穴的左分叉曲線圖11空穴邊緣應力間斷示意 圖12 相圖關(guān)于不可壓超彈性材料受到表面突加的均布拉伸載荷作用時空穴的動態(tài)生成問題，利用材料的不可壓條件，可以得到空穴半徑和外加荷載之間的二階非線

24、性常微分方程，應用換元法將其降階可得到問題的解。對于不可壓超材料球體或圓柱體，不論外加載荷大小，問題總存在一個平凡解；當外加載荷達到其臨界值時，材料中有空穴突然生成，利用動力學規(guī)律對其相圖進行分析，可證明生成后的空穴會產(chǎn)生周期性的非線性振動6869。對于均勻材料，空穴的振動會縮小到零，但對于非均勻材料和橫觀各向同性材料，空穴的振動在某些情況下縮小到零，而某些情況下只能縮小到一個有限的值70。振動的相圖圖12和圖13可說明這一點。 圖13相圖 圖14空穴閉合的分叉曲線 8空穴的閉合問題作為空穴生成和突然增長問題的補充是空穴的閉合問題，當含有空穴的物體受到足夠大的壓力作用時，空穴會突然塌陷或閉合。

25、一個受均布徑向壓力作用的、中心含有一個空穴的不可壓超彈性球體，對任何壓力，相應于球體保持均布應力和空穴保持張開狀態(tài)的平凡解是存在的；當壓力足夠大時，存在相應于空穴塌陷的分叉解71，此時，空穴突然塌陷，并迅速完全閉合?？昭ò霃胶屯饧訅毫χg精確的關(guān)系式如下 (20)式中，為球殼的外半徑，為球殼的內(nèi)半徑。對給定的壓力，如果上式有根，就意味著球殼中的空穴塌陷了，此時的臨界壓力為 （21）如材料的應變能函數(shù)表示為，則該應變能函數(shù)能夠描述空穴塌陷問題的條件是。不可壓冪形式的超彈性材料中空穴塌陷的分叉曲線如圖14所示。9結(jié)語橡膠材料的高彈性奠定了它在工程和制品中不可取代的位置，橋梁的橡膠支座、直升機槳葉的

26、橡膠彈簧、建筑物的橡膠支撐體均可簡單巧妙地解決工程中的問題，以橡膠材料為代表的超彈性材料在國民經(jīng)濟各領(lǐng)域中得到日益廣泛的應用，2004年我國已成為世界第一耗膠大國，加強對此類材料和結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等問題的研究的重要性是不言而喻的，美國“挑戰(zhàn)者號”航天飛機因O型橡膠密封圈的緣故造成的失敗充分說明了這一點。我國的橡膠工業(yè)在快速發(fā)展，橡膠制品在不斷升級換代，高新技術(shù)用精細橡膠制品不斷涌現(xiàn)。今后，需要加強對纖維加強的或顆粒填充的橡膠復合材料的研究，其特征是各向異性大變形，研究的核心仍然是應變能函數(shù)的構(gòu)造和大變形問題的求解。單向纖維加強橡膠復合材料為橫觀各向同性的，其應變能函數(shù)可表示為應變張量的五個不變量的

27、函數(shù)。兩個方向纖維加強的橡膠復合材料的應變能函數(shù)可表示為應變張量的八個不變量的函數(shù)。各種具體形式的應變能函數(shù)的構(gòu)造及應用有待進一步分析，其各類穩(wěn)定性問題的分析會更復雜一些。加強對有特殊性能有特殊用途的特殊橡膠材料的研究也是必要的，如對火箭發(fā)射中耐燒蝕的硅橡膠膩子和飛行器中即耐熱有耐寒的硅橡膠電線電纜的研究，對金屬橡膠材料的研究。對可壓超彈性材料而言，不像不可壓材料那樣可以用逆解法或半逆解法得到問題的解，相應問題的求解要難得多，其各類穩(wěn)定性問題的進展相對緩慢，尋求各類解法，包括數(shù)值解法來解決各類穩(wěn)定性問題是需要的。另外要充分考慮溫度對橡膠材料力學性能的影響，包括材料應變能函數(shù)的構(gòu)造中如何考慮溫度

28、項及溫度和力的耦合項，溫度的升高或降低對各類不穩(wěn)定性問題的影響。參 考 文 獻1 Beatty M.F. Topics in finite elasticity. Applied Mechanics Review, 1987, 40:1699-17342 Fu Y.B., Ogden R.W. Nonlinear Elasticity. New York: Cambridge University Press, 20013 愛林根.連續(xù)統(tǒng)力學，程昌鈞，俞煥然譯.北京：科學出版社，19904 Elias Zuniga A. A non-Gaussian network model for rub

29、ber elasticity. Polymer.2006，47:907-9145 詹特A.N. 橡膠工業(yè), 張立群等譯. 北京：化學工業(yè)出版社，20026 Fu Y.B., Zhang Y.T. Continuum-mechanical modeling of kink-band formation in fiber-reinforced composites. International J. of Solids and Structures, 2006, 43: 3306-33237 Gent A.N. Elastic instability in rubber. Int. J. of N

30、onlinear Mechanics, 2005, 40: 165-1758 白以龍. 材料的不穩(wěn)定性.黃克智，徐秉業(yè).固體力學發(fā)展趨勢. 北京：北京理工大學出版社，1995，95-1079 武際可，蘇先樾.彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 北京：科學出版社，199410 朱兆祥等.材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性. 北京：科學出版社，199411 Goriely A., Amar M.B. Differential growth and instability on elastic shells. Physical Review Letters, 2005, 20:1-412 Haughton D.M. On non

31、-linear stability in unconstrained non-linear elasticity. Int. J. Nonlinear Mechanics, 2004, 39: 1181-119213 Merodia J., Ogden R.W. Mechanical response of fiber-reinforced incompressible non-linearly elastic solids. Int. J. Nonlinear Mechanics, 2005, 40: 213-22714 Volokh K.Y. Hyper-elasticity with s

32、oftening for modeling material failure. J. Mech. Phys. Solids, 2007, 55:2237-226415 郭興明，程昌鈞。超彈性材料的幾何缺陷與穩(wěn)定性問題。自然雜志，1999，21：311-31416 李旭，董毅，李子然，夏源明。較大變形范圍內(nèi)碳黑填充膠料超彈性力學性能溫度相關(guān)性的實驗研究。實驗力學，2008，23：27-3317 王寶珍，胡時勝，周相榮。不同溫度下橡膠的動態(tài)力學性能及本構(gòu)模型研究。實驗力學，2007，22：1-618 黃筑平. 連續(xù)介質(zhì)力學基礎.北京：高等教育出版社，200319 金明. 非線性連續(xù)介質(zhì)力學.北京：

33、清華大學出版社，北京交通大學出版社，200520 徐立.有限元分析中橡膠應變能函數(shù)的若干形式.橡膠工業(yè),1999,46:707-71021 Chalton D.T., Yang J. A Review of methods to characterize rubber elastic behavior for use in finite element analysis. Rubber Chemistry and Technology. 1994, 67: 481-50322 朱艷峰等.橡膠材料的本構(gòu)模型. 橡膠工業(yè),2006,53:119-12523 李曉芳,楊曉翔. 橡膠材料的超彈性本構(gòu)模

34、型. 彈性體, 2005，15：50-5824 Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials. II, Some uniqueness theorems for pure homogeneous deformations. Philosophical Trans. R. Soc., 1948, 240: 419-50825 Rivlin R.S. Stability of plane homogeneous deformation of an elastic cube under dead loading. Q. o

35、f Applied Mathematics, 1974, 32:265-27126 Kearsley E.A. Asymmetric stretching of asymmetrically loaded elastic sheet. International J. of Solids and Structures, 1986, 22: 111-11927 Merodia J., Ogden R.W. Tensile instabilities and ellipticity in fiber-reinforced compressible non-linearly elastic soli

36、ds. Int. J. Engineering Science, 2005, 43: 697-70628 Merodia J., Ogden R.W. On tensile instability and ellipticity loss in fiber-reinforced incompressible non-linearly elastic solids. Mechanics Research Communications, 2005, 32: 290-29929 Treloar L.R.G. Stresses and birefringence in rubber subjected

37、 to general homogeneous strain. Proc. Phys. Soc., 1948, 60: 135-14330 任九生，程昌鈞.熱超彈性薄板非對稱拉伸的分叉和穩(wěn)定性. 力學季刊. 2007，28: 81-8531 Haughton D.M., Ogden R.W. On the incremental equations in non-linear elasticity-II: Bifurcation of pressurized spherical shells. J. Mech. Phys. Solids, 1978, 26: 111-13832 任九生，程昌鈞

38、.受內(nèi)壓熱超彈性球殼的不穩(wěn)定性.上海大學學報，2007, 13, 732-73533 Goncalyes P.B., Pamplona D., Lopes S.R.X. Finite deformations of cylindrical membrane under internal pressure. Int. J. Mechanical Science, 2006, 48: 683-69634 Haughton D.M., Ogden R.W. Bifurcation of inflated circular cylinders of elastic material under axi

39、al loading -II: Exact theory for thick-walled tubes. J. Mech. Phys. Solids, 1979, 27: 489-51235 任九生，程昌鈞.熱超彈性圓筒的不穩(wěn)定性. 力學學報，2007, 39: 283-28836 Dorfmann A., Haughton D.M. Stability and bifurcation of compressible elastic cylindrical tubes. Int. J. Engineering Science, 2005, 44: 1353-135637 Fu Y.B., Pe

40、nce S.P., Lin K.K. Post-bifurcation analysis of a thin-walled hyper-elastic tube under inflation. Int. J. Nonlinear Mechanics, 2008, 43 (in pressing)38 Goncalyes P.B., Pamplona D., Lopes S.R.X. Finite deformations of initially stressed cylindrical shell under internal pressure. Int. J. Mechanical Sc

41、ience, 2008, 50: 92-10339 Kannar L.M., Horgan C.O. Elastic instabilities for strain-stiffening rubber-like spherical and cylindrical thin shells under inflation. Int. J. Nonlinear Mechanics, 2007, 42: 204-21540 Zhu Y., Guo X.Y., Ogden R.W. Asymmetric bifurcations of thick-walled circular cylindrical

42、 elastic tubes under axial loading and external pressure. International J. of Solids and Structures, 2008, 45: 3410-342941 Gent AN, Hua KC. Torsional instability of stretched rubber cylinders. Int. J. of Nonlinear Mechanics. 2004, 39: 483-48942 REN Jiu-Sheng, CHENG Chang-Jun. Finite elastic torsiona

43、l instability of an incompressible thermo-hyperelastic cylinder. Acta Mechanica Sinica, 2006, 22: 156-16143 Biot M. Mechanics of Incremental deformation. New York: Wiley, 196544 Usmani S.A., Beatty M.F. On the surface instability of a highly elastic half-space. J. of Elasticity, 1974, 4:249-26345 Le

44、vinson M. Stability of a compressed neo-Hookean rectangular parallelepiped. J. Mech. Phys. Solids, 1968, 16: 403-41546 Fosdick, R.L., Shield R.T. Small bending of a circular bar superposed on finite extension or expression. Arch. Ration. Mech. Analy. 1963, 12: 223-24847 Gent A.N., Cho. I.S. Surface

45、instability in compressed or bent rubber blocks. Rubber Chemistry and Technology. 1999, 72: 253-26248 Ball J M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in nonlinear elasticity. Phil. Trans. R. Soc. London, 1982, A306 (3): 557-610.49 Horgan C O, Abeyaratne R. A bifurcation problem for a co

46、mpressible nonlinearly elastic medium: growth of a micro-void. J. of Elasticity, 1986, 16(2):189-200.50 Sivaloganathan J. Uniqueness of regular and singular equilibria for spherically symmetric problems of nonlinear elasticity. Arch. Rational Mech. Anal., 1986, 96(1): 96-136.51 Gent A.N., Lindley P.

47、B. Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension. Proc. R. Soc. London, 1959, A249: 195-20552 Williams M.L., Schapery R.A. Spherical flaw instability in hydrostatic tension. Int. J. Fracture, 1965, 1: 64-7153 Horgan C.O., Polignone D.A. Cavitation in nonlinearly elastic solids: A review. Ap

48、plied Mechanics Review, 1995, 48: 471-48554 Gent A.N. Cavitation in rubber: A cautionary tale. Rubber Chemistry and Technology, 1990, 63: G49-G5355 Horgan C.O. Eqilibrium solutions for compressible nonlinearly elastic materials. Nonlinear Elasticity, Fu Y.B., Ogden R.W., Cambridge Universely Press,

49、2001: 135-15956 Merodia J., Saccomandi G. Remarks on cavity formation in fiber-reinforced incompressible non-linearly elastic solids. European J. of Mechanics A/Solids, 2006, 25: 778-79257 王勇，唐立強，楊勇。不可壓縮橡膠圓柱的空穴和分叉。哈爾濱工程大學學報，2007，28：980-98458 任九生. 非線性材料中的空穴生成與增長問題. 上海：上海大學出版社，200659 Polignone D.A., H

50、organ C.O. Cavitation for incompressible anisotropic nonlinearly elastic spheres. J. of Elasticity, 1993, 33: 27-6560 REN Jiu-Sheng, CHENG Chang-Jun. Cavitated bifurcation for incompressible transverse isotropic hyper-elastic materials. Journal of Engineering Mathematics, 2002, 44:245-25761 Horgan C

51、.O. and Pence T.J. Void nucleation in tensile dead-loading of a composite incompressible nonlinearly elastic sphere. J. of Elasticity, 1989, 21: 61-8262 REN Jiu-Sheng, CHENG Chang-Jun. Cavitated bifurcation for composed compressible hyper-elastic materials. Acta Mechanica Solida Sinica, 2002,15(3): 208-21363 任九生,程昌鈞. 熱超彈性材料中的空穴生成. CCTAM2005: 113764 程昌鈞,梅波.非均勻溫度場中組合熱超彈性球體的動態(tài)孔穴生成. 應用數(shù)學和力學, 2006, 27: 395-40365 Shang Xin-Chun, Cheng Chang-Jun. Exact solution for cavitated bifurcation for compressible hyperelastic materials. Int. J. of Engi