解題數(shù)學(xué)教師成長(zhǎng)的階梯

1、解題數(shù)學(xué)教師成長(zhǎng)的階梯廣州市蘿崗區(qū)教育科研與發(fā)展中心 熊躍農(nóng)有人說，解數(shù)學(xué)題，上數(shù)學(xué)課，寫數(shù)學(xué)論文是數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功這話不假！筆者 1980 年參加工作，教書 28 載，解題 28 年，與數(shù)萬道數(shù)學(xué)題“交過手” 由于長(zhǎng)期從事解數(shù)學(xué)題的實(shí)踐， 積累了不少解題的資料， 整理了數(shù)學(xué)題卡萬余張， 也產(chǎn)生過不少解數(shù)學(xué)題的所謂“火花” ，這些“火花”的不斷閃現(xiàn)又不禁使我產(chǎn)生想要表達(dá)解題體會(huì)的沖動(dòng)，于是整理出關(guān)于數(shù)學(xué)解題的文章近300 余篇在報(bào)刊發(fā)表 我深知自己解題能力一般， 但與解題的感情卻不一般 解題是我每天必進(jìn)行的思維活動(dòng)， 解題活躍了我的思維， 培養(yǎng)了我的能力，練就了我的本領(lǐng)，提高了我的素養(yǎng)，我

2、在解題實(shí)踐中找到了歡樂現(xiàn)結(jié)合本人解題的成長(zhǎng)歷程談點(diǎn)關(guān)于解題的管見一、數(shù)學(xué)教師解題的重要意義1 .數(shù)學(xué)教師解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的需要波利亞強(qiáng)調(diào)指出： “中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練 ” “解題的價(jià)值不是答案本身，而是在于弄清怎樣想到這個(gè)解法的，是什么促使你這樣想、這樣做的？ ”他有一句名言：掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)是教師必須熟悉教學(xué)內(nèi)容， 可以說教學(xué)過程就是指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程解題就是熟悉教學(xué)內(nèi)容的必經(jīng)之路，解題是具有強(qiáng)烈的實(shí)踐性與探索性的思維活動(dòng) “就像游泳、滑雪與彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實(shí)踐來學(xué)到它你想學(xué)會(huì)游泳，你就必

3、須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題”（波利亞：數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)序言）數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)要通過解題實(shí)踐來消化，數(shù)學(xué)的思維素質(zhì)要通過解題實(shí)踐來優(yōu)化， 數(shù)學(xué)的解題方法要通過解題實(shí)踐來強(qiáng)化 數(shù)學(xué)教師只有通過解題實(shí)踐，才能熟悉所教內(nèi)容，形成數(shù)學(xué)能力；才能靈活駕馭教材，有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題指導(dǎo)； 當(dāng)學(xué)生遇到解題困惑時(shí)， 才能把自己解題時(shí)的所思、 所想、 所困、 所惑、所獲等等通過解題實(shí)踐所獲得的東西生動(dòng)、鮮活、藝術(shù)地表達(dá)出來，與所教學(xué)生分享才能對(duì)教學(xué)對(duì)象給予適時(shí)的啟發(fā)、 恰到好處的點(diǎn)撥和簡(jiǎn)練精當(dāng)?shù)闹笇?dǎo) 否則， 只能是生硬地將參考書上的解答或問題的正確答案展現(xiàn)給學(xué)生， 少了許多過程性的指導(dǎo)和過程性的情趣，

4、 從而也就缺少了師生互動(dòng)中情感、態(tài)度、價(jià)值觀的一條重要的培養(yǎng)途徑2 .數(shù)學(xué)教師解題是數(shù)學(xué)研究的需要數(shù)學(xué)解題研究是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容， 也是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要組成部分 數(shù)學(xué)的解題研究是充滿情趣、 頗具魅力的思維活動(dòng)， 它讓廣大數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育工作者情不自禁參與其中，為之添磚，為之加瓦教師廣泛收集解題資料，充分參與解題實(shí)踐，深入剖析解題過程， 可以發(fā)現(xiàn)許多新問題， 對(duì)這些新問題的深入研究又能產(chǎn)生許多新的成果， 從而不斷推進(jìn)數(shù)學(xué)教育研究，使得數(shù)學(xué)研究更加五彩繽紛、充滿朝氣與活力在此過程中，也不斷推動(dòng)教師自身素質(zhì)的提高教師解題，能發(fā)現(xiàn)一些解題規(guī)律、命題規(guī)律，得出一些有益的結(jié)論筆者通過對(duì)近些年高考應(yīng)用

5、題的解題分析， 總結(jié)出高考應(yīng)用題在考查數(shù)學(xué)思維方面的一些規(guī)律， 撰寫了 淺議高考應(yīng)用題中思維障礙的設(shè)置發(fā)表于安徽中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2003 年第 6 期3 .數(shù)學(xué)教師解題是專業(yè)成長(zhǎng)的需要著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過，學(xué)數(shù)學(xué)不解題，如入寶山而空返任何一種能力都是在不斷實(shí)踐中發(fā)展培養(yǎng)起來的， 數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)也是如此 教師通過不斷地解題，逐步積累解題經(jīng)驗(yàn)，掌握數(shù)學(xué)解題的思維方法，培養(yǎng)解題的能力，從而提升數(shù)學(xué)教師自身的素質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)1980 年 8 月，早早就師范畢業(yè)的我背著行囊，揣著組織給我的分配通知書，來到湖南安化梅城鎮(zhèn)上的一所初級(jí)中學(xué)，開始了我漫長(zhǎng)的教書生涯，那年我才十六歲由于“文革”的影

6、響，那時(shí)的我專業(yè)基礎(chǔ)并不扎實(shí)面對(duì)一雙雙渴求知識(shí)的眼睛，我有些膽怯我這師范畢業(yè)初出茅廬的小伙子能勝任初中數(shù)學(xué)教學(xué)嗎？?jī)蓚€(gè)班的學(xué)生近120 人，雖然良莠不齊，但也不乏有幾個(gè)“數(shù)學(xué)尖子” ，他們不知從哪弄來些難題，常常趁下課的十分鐘時(shí)間，來“請(qǐng)教”我試試?yán)蠋熡卸嗌俟α?！后來我才知道，這是學(xué)生測(cè)試?yán)蠋煂I(yè)水平的狠招！天生喜歡解題的我， 雖然有一定的知識(shí)和方法的積累， 大部分問題的解題思路甚至答案能脫口而出，但也有面對(duì)問題目瞪口呆的時(shí)候如果不能及時(shí)將問題解決，使學(xué)生心服口服，我的教學(xué)根基、我的教師形象、我的專業(yè)權(quán)威會(huì)大打折扣那時(shí)的我，依靠父母給我創(chuàng)造的良好的生活條件，我除了工作，就是學(xué)習(xí)為了提高自己的解

7、題能力，我常常不分白天黑夜，夜以繼日，默默無聞地干著一系列“傻”事：工整地抄下了教材所有定義、定理、公理，并自覺背誦過關(guān)；從教材開始，一個(gè)不漏，逐題求解，在作業(yè)本上完成了教材上所有題目的解答；完成了購(gòu)買的幾本習(xí)題集的所有題目的解答；在作業(yè)本上完成了幾十套中考數(shù)學(xué)試題的解答每當(dāng)進(jìn)行中考試題自我訓(xùn)練時(shí)， 為了防止朋友來訪影響解題訓(xùn)練， 我總是安排學(xué)生將自己反鎖在課室后面的辦公室里（隨著時(shí)代的發(fā)展，這類樓房結(jié)構(gòu)早已成為歷史） ，一段時(shí)間的訓(xùn)練后，竟產(chǎn)生出 55 分鐘左右的時(shí)間能完整地解完一套中考題的“輝煌”成果（含抄題時(shí)間，注：那是1987 年的事） 憑著良好的解題技能和虛心好學(xué)的治學(xué)態(tài)度， 我調(diào)入

8、了縣一中， 擔(dān)任高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作記得教第一屆高中畢業(yè)班時(shí)， 也常常被學(xué)生 “問倒” ， 學(xué)生手頭上的資料比老師還要多 不過， 這樣一種良好的教學(xué)氛圍促進(jìn)了師生共同成長(zhǎng) 在解題的過程中， 我不僅和學(xué)生建立了良好和諧的感情，而且尋找到了和學(xué)生共同思考、共同分析、共同研究的樂趣，當(dāng)和我一起共破難題的學(xué)生考上清華、北大時(shí)，我好不愜意多年來， 我養(yǎng)成了自覺解題的習(xí)慣， 每當(dāng)高考結(jié)束， 我總是盡快找來高考題， 自我檢測(cè)，并認(rèn)真研究試題，也發(fā)表過好幾篇關(guān)于高考試題巧解、分析、點(diǎn)評(píng)的文章隨著解題實(shí)踐的不斷深入，我已在高三教學(xué)崗位上奮斗了 13 個(gè)春秋，我的解題能力不斷增強(qiáng)， 專業(yè)水平不斷提高， 我手頭上的數(shù)學(xué)

9、書籍也越來越多， 研究的問題也越來越廣泛 每 天晚上，我總是要解幾道題“過把癮”才入睡解題是數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式， 是數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要內(nèi)容， 是數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教學(xué)的必經(jīng)之路，是數(shù)學(xué)教師的成才之道，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)的催化劑二、數(shù)學(xué)教師解題的主要方式1 .平時(shí)隨機(jī)解題數(shù)學(xué)教師一般在工作單位承擔(dān)著比較繁重的教學(xué)和研究工作， 一般難于有成塊的時(shí)間進(jìn)行解題訓(xùn)練， 解題只能利用茶余飯后的零散時(shí)間 隨機(jī)解題可以根據(jù)數(shù)學(xué)教師在學(xué)校擔(dān)負(fù)的工作情況隨時(shí)作出恰當(dāng)?shù)恼{(diào)整， 是一種較為靈活的訓(xùn)練方式， 是數(shù)學(xué)教師解題訓(xùn)練的主要方式，其訓(xùn)練時(shí)間安排相對(duì)靈活，操作起來相對(duì)簡(jiǎn)便用這種方式解題，重在對(duì)解題過程的分析

10、研究，對(duì)問題深入探究，將問題進(jìn)行聯(lián)系、變形、拓展、推廣2 .自我限時(shí)訓(xùn)練隨機(jī)解題培養(yǎng)能力， 限時(shí)訓(xùn)練優(yōu)化思維 限時(shí)訓(xùn)練是指教師能擠出半小時(shí)、 一小時(shí)等 “成塊”時(shí)間來訓(xùn)練這時(shí)可以挑一些具有一定難度的各地市模擬考試題，刪去部分容易題，進(jìn)行限時(shí)自我訓(xùn)練 這樣可以促使教師養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣， 鍛煉數(shù)學(xué)教師的解題思維， 培養(yǎng)數(shù)學(xué)教師敏捷的思維能力3 .師生同場(chǎng)考試?yán)媒y(tǒng)考時(shí)機(jī)，教師同時(shí)參與學(xué)生的考試，師生同場(chǎng)唱“同一首歌” ，這是一種強(qiáng)度較大的強(qiáng)化訓(xùn)練好形式，也是數(shù)學(xué)教師解題最為有效的訓(xùn)練途徑采用這種“以身試考，置身其中”的方式進(jìn)行解題訓(xùn)練，需要教師解放思想，轉(zhuǎn)變角色，需要有足夠的勇氣和膽識(shí)訓(xùn)練時(shí)重在

11、準(zhǔn)確審題， 熟練運(yùn)用解題方法， 快捷運(yùn)算， 感受、 體驗(yàn)應(yīng)考的氛圍， 收集應(yīng)考信息，促進(jìn)教師深入研究高考、課標(biāo)、考綱、考試說明、學(xué)情和考情，以便考后指導(dǎo)更具針對(duì)性，提高復(fù)習(xí)效率 目前不少地方采用教師和學(xué)生同時(shí)參加某種模擬考試的方法對(duì)青年教師進(jìn)行培養(yǎng)，不失為一條好途徑三、數(shù)學(xué)教師解題的主要途徑4 .立足教材，逐步深入教材上的例題、練習(xí)題、習(xí)題等，是教師直接面對(duì)不允回避的問題，是學(xué)生最為關(guān)心、 最為迫切需要解決的問題.教師要通過解題訓(xùn)練，對(duì)這些題做到題題過關(guān)，一看便會(huì)，一算 就對(duì)，駕輕就熟，如履平地.通過對(duì)教材上的題的解答和研究，特別是對(duì)教材上典型例題、 習(xí)題的研究，將中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想和

12、基本方法聯(lián)成網(wǎng)絡(luò).切切不可好高鷲遠(yuǎn)，夜 郎自大.5 .真題訓(xùn)練，真情感受高考、中考真題及模擬考試題，一般都有較好的試題結(jié)構(gòu)，良好的能力立意，每套題中 還鑲嵌著幾道精彩原創(chuàng)題，一般都凝聚了數(shù)學(xué)教育工作者的心血，是數(shù)學(xué)教育工作者的智慧的結(jié)晶.教師經(jīng)常求解這樣的問題，能不斷積累和豐富新知識(shí)、新方法，能在解題實(shí)踐中體 現(xiàn)“與時(shí)俱進(jìn)”，把握數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的“脈搏”，真情演練，真實(shí)感受，獲得對(duì)試題的“真情 實(shí)感”，為教學(xué)研究、解題研究積累有價(jià)值的素材.6 .賽題訓(xùn)練，異樣收獲數(shù)學(xué)競(jìng)賽題常常以其試題的情景新穎和表述簡(jiǎn)練、解法的思路巧妙而吸引著無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者，數(shù)學(xué)教師適當(dāng)求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，能開闊視野，廣開思路，培

13、養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的敏捷性、深 刻性、創(chuàng)造性等思維品質(zhì)，領(lǐng)悟精彩紛呈的數(shù)學(xué)技巧，深化對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，體會(huì)到 數(shù)學(xué)問題的魅力，使自己的解題能力上升到一個(gè)新高度.通過對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解題訓(xùn)練，常可獲得令人拍案叫絕的解題策略，常有意想不到的異樣收獲.例如：題1（1963年莫斯科競(jìng)賽題）設(shè) a,b,c求證題2（第二屆友誼杯國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）2. 22a b c 設(shè) a,b,c R ,求證 b c c a a b兩題的優(yōu)美解法已有數(shù)種，此略.我們先對(duì)題22左邊略作變形:2ab c2ab2=，a(a ba)c)=(a bc)(b顯然，若反之,ab c2ab c2ca bb2b)c a b(a b c)c ab2

14、2c(;c)a b(ac(a b c)c)ca b2ca ba b31-,則可得2a b c(ac)b2則可得8原來,另外,兩道賽題等價(jià)！能居常常求解一些基本的高等數(shù)學(xué)題，掌握高等數(shù)學(xué)題的基本解題方法和策略,高臨下，深化對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究，是中學(xué)數(shù)學(xué)教師解題訓(xùn)練不可或缺的.7 .積累“好題”，分類整理教師在不斷解題的實(shí)踐中逐步積累知識(shí)、方法的同時(shí)，要注意采用恰當(dāng)?shù)姆绞诫S時(shí)積累數(shù)學(xué)“好題”，為以后數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)解題研究積累一定的素材.筆者近十多年來，以每年 積累千題的速度，采取卡片形式，整理了萬余道數(shù)學(xué)“好題”.并按問題內(nèi)容分門別類整理,編碼裝入信封.既為課堂教學(xué)、課后輔導(dǎo)備料，也為解題研究、教

15、學(xué)改革聚材.8 .一題多解，活躍思維一題多解是對(duì)問題進(jìn)行多角度、 多方位的思考，尋求不同解題策略解決問題的方法. 由 于解題者對(duì)問題的分析和思考不是固定的、 一成不變的，因而往往能獲得對(duì)問題全面、深刻、 豐富的認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生不同途徑的解決問題的策略.久而久之，就能培養(yǎng)我們?nèi)嫔羁獭㈧`活善變的思維能力.(1) 一題多解能啟發(fā)思考，活躍思維一題多解在思維培養(yǎng)方面的功能是顯然的.由于對(duì)同一個(gè)問題從不同角度加以分析，獲得不同的解題路徑， 最后產(chǎn)生殊途同歸的效果，每每完成一道題的多解，往往給人以愉悅的感覺.筆者發(fā)表的關(guān)于解題的文章中，涉及一題多解的文章有30多篇.如筆者在解 2001年廣州市高考模擬題“在

16、ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且角A為 80。，a2=b(b+c),求角C的度數(shù)”時(shí)，經(jīng)過分析研究，發(fā)現(xiàn)此題至少可以利用三角、復(fù)數(shù)、 平面幾何手段求解，于是撰寫了六法巧解一道高考模擬題，發(fā)表于湖南 高中生200222年第11期.又如在解“求經(jīng)過A (4, 1)且與已知圓x y 2x 6y 5 0切于點(diǎn)B(1,2)的圓的方程”這道題時(shí)，經(jīng)過研究，得出了十一種不同的解法.于是撰寫了一道圓的方程問題的多種解法發(fā)表于2005年5月19日海南考試報(bào).(2) 一題多解能解除疑惑，促進(jìn)研究一般而言，一題多解都能得到同樣形式的結(jié)果，但在解題實(shí)踐中，本人的確遇到過“殊 途”不能“同歸”的例

17、子.筆者在解“已知log168=a , 16b=5,試用a、b表示log 40 32”時(shí)，通過思考，得到兩 種不同的解法.解法1:I ” log16 32 10g 40 32= 1og16 40解法2I ” log16 32 log 40 32=log16 40,32 8log 16 8一log16(8 5)210g 1616 log16 82 a10g16 8 log16 5 a blog 16 8 log16 4log16 8 log 16 5a log 16 866a b3a 1 a b. 一 一 3乍一看，結(jié)果“不同” .“問題”出在哪里呢？原來，由已知條件10g16 8=a ,可得a

18、=q ,42 a 3a 1此時(shí)2a 3a，即這兩個(gè)結(jié)果是相同的. a b a b筆者用不同方法求解“已知 ABC 中，A ： B ： C=2 ： 3 ： 4, AB ： BC=3 : 2, AC=5 , 求4ABC的周長(zhǎng)( 1985年安徽省成人高考文科數(shù)學(xué)試題第五題)”時(shí)，遇到了相互矛盾的結(jié)果.利用條件 A ： B ： C=2 ： 3 ： 4,求出各角，繼而利用余弦定理求出AB、BC ,得 ABC的周長(zhǎng)為 25 "+5. 而用平面幾何方法又求得 ABC的周長(zhǎng)為15.兩種解法竟得出不同7的結(jié)果，讓我百思不得其解.也是筆者頭一次遇到這類“奇”事！后經(jīng)分析，原來?xiàng)l件A ：B ： C=2 ：

19、 3 ： 4與AB : BC=3 : 2不相容！題目中各已知條件內(nèi)部相容，不能相互矛盾，這 是命題的一個(gè)基本原則.6 .獨(dú)辟蹊徑，避繁就簡(jiǎn)“分析典型例題的解題過程是學(xué)會(huì)解題的有效途徑，至少在沒有找到更好的途徑之前， 這是一個(gè)無以替代的好主意.”教師在分析典型例題的解題過程時(shí)，除了從規(guī)范、有序、簡(jiǎn) 練、科學(xué)等角度分析外，還應(yīng)多從批判的角度進(jìn)行分析和研究.研究解題方法是否可以作些改進(jìn).比如不少高三復(fù)習(xí)資料有這樣一題：銅片繞在盤上，空盤時(shí)盤蕊半徑為40mm,滿盤時(shí)半徑為 80mm,銅片厚度為 0.1mm,滿盤時(shí)銅片總長(zhǎng)度為 兀mm.(兀為圓周率)本題源于學(xué)生身邊的生活實(shí)際，情境熟悉，背景公平，題目樸

20、素，短小靈巧，作為一道 考查求等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的應(yīng)用題，堪稱好題，其解題通法是：解：銅片厚度為0.1mm,每繞一圈半徑增加 0.1mm,滿盤時(shí)共繞了(80 40)+0.1=400(圈).，銅片總長(zhǎng)度L=40.05 X 2 兀 +(40.05+0.1) X 2 兀 + +40.05+(400 1) X 0.1 X 2 兀=32040 兀 +15960 兀=48000 兀(mm).但若著眼于問題的整體，抓住其本質(zhì)，略去其枝葉，則只需一元一次方程知識(shí)，就可化繁為簡(jiǎn)出其不意地得到一個(gè)令人拍案叫絕的簡(jiǎn)捷解法：解：設(shè)滿盤時(shí)銅片總長(zhǎng)度為 x兀mm.則滿盤時(shí)銅片所在圓環(huán)的面積為兀(802 402)mm2,由

21、題意有xx 0.1=兀(802 402),解之得 x=48000 兀(mm).又如筆者在幾本書中看到這樣的問題：設(shè)4ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c(a、b、c互不相等)成等比數(shù)列，而log c a、10gbc、log a b成等差數(shù)列，求證：公差d=-.2這些書提供的解法是：lg a, lg c, lg b斛：. log c a=, log b c=, log a b=-lg clg blg alog c alog bclog a b=1又 b2=ac,log ba+10gbe=2,1 1 log a blog ac2=+log b c=， - 2log a b=1+log a blog bc lo

22、g a blog a b又 2log b c=log c a+log a b 將變形，得log b c=代入、得log a b logc a2loga blogca logca 1 0loga blogc a(loga b logc a) 27.33,533,1 .33log a b=, log c a=, log bc=-故 d= log bc log c a= .專業(yè)的敏感性和數(shù)學(xué)的直覺告訴我，問題的解法應(yīng)該可以作些避繁就簡(jiǎn)的改進(jìn).經(jīng)過分析思考，得出下面的解法.解：由題意：log c a=log bcd,log a b=log b c+d ,為方便計(jì)，設(shè)t= log bc. b2 =ac, .由得logb2c =t - dcct2 +(1 d)t 2=0由得 log b2 b=log b c+dc1 =t+d2 tt2+(d 2)t+1 2d=0 (J一得(2d-3)t=2d -3.t=logbcw1(a, b, c互不相等).2d- 3=0,從而 d= .2類似地，還可有下面的解法.解：由題意：log c a=2log ac c dlog c a=d logc a 1112log 2 ac=2log ac c+d - +d2 2log ca logc a 1設(shè)t= log c a,則由得t2+(d+1)t+d 2=0由得 (2d1)t2+2