周道祥彈性力學 第三章 (2)

1、逆解法框圖逆解法框圖由邊界條件選擇某應力的函數(shù)式?04嗎滿足YES求應力分量NO滿足邊界條件嗎?YES結(jié)論NO積分求函數(shù) 3-4 3-4 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載解：用半逆解法解：用半逆解法q0 xyLL2h2h矩形截面簡支梁，體矩形截面簡支梁，體力不計，求應力分量力不計，求應力分量由材力知由材力知：QqMxyyx（1 1）根據(jù)上、下邊界根據(jù)上、下邊界處的法向分布面力，假處的法向分布面力，假設設 為某種函數(shù)為某種函數(shù)；并；并求求應力函數(shù)應力函數(shù)；y由上、下邊界的面力：由上、下邊界的面力：02hyyqhyy2由于由于q q沿沿x x軸不變化，與軸不變化，與x x無關(guān)，故可假設無關(guān)，故可假

2、設)( yfy也與也與x x無關(guān)無關(guān)則則)(22yfxyyfxyfx1)(yfxyfxyf212)(21其中：其中：yfyfyf21,),(為待定函數(shù)為待定函數(shù)（a）024422444yyxx;044x22224dyyfdyx 424414442442dyyfddyyfdxdyyfdxy 02222424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd（2-24）容容代入（2-24）容容（2 2）必須必須滿足相容方程滿足相容方程，據(jù)此求待定函數(shù)據(jù)此求待定函數(shù)024422444yyxx;044x22224dyyfdyx 424414442442dyyfddyyfdxdyyfdxy 022

3、22424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd（2-24）容容代入（2-24）容容上述方程為上述方程為x x的二次多項式，要求全梁范的二次多項式，要求全梁范圍內(nèi)無論圍內(nèi)無論x x取何值均成立，只有：取何值均成立，只有：二次項系數(shù)二次項系數(shù)一次項系數(shù)一次項系數(shù)零次項零次項 0414dyyfd 044dyyfd 0222424dyyfddyyfd（1）（2）（3）由（由（1 1）、（）、（2 2）式：）式：DCyByAyyf23)()()(231常數(shù)項GyFyEyyf由（由（3 3）式）式： BAydyyfddyyfd412222424)()(610)(23452常數(shù)項一次項K

4、yHyyByAyf故故：2345232326102),(KyHyyByAGyFyEyxDcyByAyxyx（b）（3 3）根據(jù)（）根據(jù)（2 22323）求出應力分量）求出應力分量 ；)23(232622)26()26(2222232223222GFyEycByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx（c）（d）（e）上述應力分量滿足平衡微分方程及相容方程，只上述應力分量滿足平衡微分方程及相容方程，只要選擇適當?shù)南禂?shù)要選擇適當?shù)南禂?shù)A A、B BK K常數(shù)，使所有邊界條常數(shù)，使所有邊界條件滿足，則（件滿足，則（c c） 、 （d d）、（）、（e e）為正確解答。）為正

5、確解答。（3 3）根據(jù)（）根據(jù)（2 22323）求出應力分量）求出應力分量 ；)23(232622)26()26(2222232223222GFyEycByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx（c）（d）（e） 求待定系數(shù)前的觀察與簡化求待定系數(shù)前的觀察與簡化 對稱分析對稱分析該問題：關(guān)于該問題：關(guān)于y y軸軸結(jié)結(jié)構(gòu)對稱、荷載對稱構(gòu)對稱、荷載對稱x-xxyo在對稱位置在對稱位置上的單元體上的單元體必具有：必具有：對稱的變形對稱的變形狀態(tài)狀態(tài)對稱的應力對稱的應力狀態(tài)狀態(tài)AA由上圖可見：由上圖可見：yxyxxx,yxyxyy,yxyxxyxy,由應力分量的正、負號規(guī)定

6、可由應力分量的正、負號規(guī)定可知，對稱的應力狀態(tài)，正應力知，對稱的應力狀態(tài)，正應力具有相同的符號，剪應力具有具有相同的符號，剪應力具有相反的符號相反的符號。故故 x x、 y y應是應是x x的偶函數(shù)（對稱）的偶函數(shù)（對稱） xyxy應是應是x x的奇函數(shù)（反稱）的奇函數(shù)（反稱）由（由（2 22323）yxYyxXxyxyyx22222可看出應力函數(shù)可看出應力函數(shù)應為應為x的偶函數(shù)的偶函數(shù)。由（由（b b）式）式2345232326102),(KyHyyByAGyFyEyxDcyByAyxyx要使要使 （x，y）為）為x的偶函數(shù)，必須的偶函數(shù)，必須023GyFyEy在全梁內(nèi)處處成立在全梁內(nèi)處處成

7、立4 4）檢查應力分量是否滿足應力邊界條件）檢查應力分量是否滿足應力邊界條件（求待定系數(shù)）（求待定系數(shù)）代回應力分量表達式（代回應力分量表達式（c c）、（）、（d d）、（）、（e e）cByAyxyxDCyByAyxKHyByAyBAyxyxyyx232622)26(222232223222只要：只要：E=F=G=0qLqLLLy0 x2h2hqa a）考察上、下邊界（主邊界）考察上、下邊界（主邊界）2hy022hyxyhyyq上邊界：上邊界：下邊界：下邊界：0022hyxyhyy0)43(248223cBhAhxqDChBhAh0)43(0248223cBhAhxDChBhAh聯(lián)立求解得

8、：聯(lián)立求解得：2,23,0,23qDhqCBhqA故應力分量：故應力分量：b）再考察左、右邊界（次邊界）再考察左、右邊界（次邊界）Lx由于已考慮了對稱關(guān)系，只需考察一個邊界由于已考慮了對稱關(guān)系，只需考察一個邊界xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyx2362232264623333323（f）（g）（h）由于右邊界上沒有由于右邊界上沒有水平面力，要求：水平面力，要求：考察右邊界考察右邊界Lx 022hyhLxx顯然不能滿足顯然不能滿足026463323KHyyhqyLhqLxx即：在即：在 內(nèi)內(nèi)22hyh根據(jù)圣維南原理，可采用等效力系代換做到近似滿足根據(jù)圣維南原理，可采用等效力

9、系代換做到近似滿足qLqLLLy0 x2h2hq只須要求只須要求：將（將（f）式代入（）式代入（4）002222ydydyhhLxxhhLxx（4）（5）dyhhLxx2202646223323dyKHyyhqyLhqhhdyyhhLxx2202646223323ydyKHyyhqyLhqhh積分后：積分后：K=0K=0將（將（f）式代入（）式代入（4）積分后：積分后：hqhqLH1032由于切向面力由于切向面力qLqL的分布規(guī)律未知，故根據(jù)圣維南的分布規(guī)律未知，故根據(jù)圣維南原理，采用等效代換，做到近似滿足，只要原理，采用等效代換，做到近似滿足，只要將（將（h）式代入）式代入qLdyLhqLy

10、hqhh2223236dyhhLxxy22該式自然滿足該式自然滿足qLdyhhLxxy22（取負號是由于面力（取負號是由于面力qL與與y相反）相反）)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxLhqxyyxK=0hqhqLH1032將所求代回（f）、（g）、（h）應力分量：應力分量：IQShyhyqhyhyqyIMxyyx*222)21 (12534（36）注意到材力的表達方式：注意到材力的表達方式：qLQxLqMyhShI),(228,1212222*35）通過幾何方程、物理方程及兩端位移約束條件，）通過幾何方程、物理方程及兩端位移約束條件，可

11、確定位移分量可確定位移分量0|0yLxu0|0yLxv撓曲線方程：撓曲線方程：12)12431()1032()3(233232332LhhyhyxxyhyyxxLEIqu)254(531 2454)21 (2012222062)(12812222422224222222223224LhEIqLxhxhxxLEIqyhyyxLyhyhyEIqv222242222404)21 (201222)254(531 245|xhxhxxLEIqLhEIqLvy與材力的結(jié)果比較：材力解彈力附加項（修正項）yIMx53422hyhyq0y2)21 (12hyhyqIQSxy*0|0yLxuEIqLvyx245

12、|400)254(53245224LhEIqLEIqL與材力的結(jié)果比較與材力的結(jié)果比較材力解材力解彈力附加項（修正項）彈力附加項（修正項）yIMx53422hyhyq0y2)21 (12hyhyqIQSxy*0|0yLxuEIqLvyx245|400)254(53245224LhEIqLEIqLxyqq材力彈力Lh2%1002154220Lhhyxxx主附%1002154123422202LhLhhyxxhyy%1002542512200Lhvvyx主附 %10025163000LhvuyxyLx主0.10.20.30.40.50.2671.0672.44.2676.6671.3305.27711.71920.46031.2492.289.1220.5236.48570.0960.7