1.2 常數項級數的概念和性質ppt課件

1、返回常數項級數的概念和性質 三、常數項級數的概念三、常數項級數的概念 四、無窮級數的基本性質四、無窮級數的基本性質 五、級數收斂的必要條件五、級數收斂的必要條件 第一節(jié)一、函數逼近理論簡介一、函數逼近理論簡介二、預備知識回顧二、預備知識回顧返回一、函數逼近理論簡介一、函數逼近理論簡介1. 用什么函數來逼近用什么函數來逼近2. 以什么方式來逼近以什么方式來逼近Pn(x) = a0 + a1 x + + anxn ， n = 1, 2, Tn(x) = a0 + (a1 cosx + b1sinx) + + (ancosnx + bnsinnx) ，n = 1, 2, 全局性逼近局部逼近返回二、預

2、備知識回顧二、預備知識回顧1. 數列：數列：a1, a2 , , an , 數列前數列前n項和項和 Sn= a1+a2 +an (1) 單調有界數列必收斂單調有界數列必收斂3. 有關性質：有關性質： 數列數列nnalim 2.= a,0 ,N0 當當n N時時,| an a | 返回(3) nlimns2= S，假假設設 nlim12 ns= S， 那那么么 nlimns= S設設(4) nlim1ns= S1， nlim2ns= S2，若若S1S2，則數列則數列Sn發(fā)散；發(fā)散；若若S1=S2， 則數列則數列Sn可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散. (2) 如果一數列收斂于如果一數列收斂于S

3、，那么，其任一子數列，那么，其任一子數列均收斂于均收斂于S.返回三、常數項級數的概念三、常數項級數的概念R求圓面積求圓面積A？AAa1a1 +Aa1 + a2 +Aa1 + a2 +內接正多邊形的邊數無限增多，則和的極限就是圓的面積。a2 a3an1. 引例引例返回2. 2. 級數的定義級數的定義 nnnuuuuu3211 niinnuuuus121級數的前級數的前n項的和稱為級數的部分和：項的和稱為級數的部分和： 如果級數中的每一項都是常數，稱該級數如果級數中的每一項都是常數，稱該級數稱為部分和數列，記作稱為部分和數列，記作ns,.s,.,s ,sn21一般項一般項為常數項級數為常數項級數.

4、 無窮級數簡稱級數無窮級數簡稱級數,它總是無窮項的和。有限項之和不它總是無窮項的和。有限項之和不能稱為級數能稱為級數返回3. 3. 級數的收斂與發(fā)散級數的收斂與發(fā)散若部分和數列若部分和數列Sn收斂于收斂于S， 1iiu收斂，收斂，否則，否則，稱稱 1iiu發(fā)散發(fā)散.則稱級數則稱級數S 稱為稱為 1iiu的和，的和， 并寫成并寫成 S =定理定理常數項級數常數項級數 niiu1收斂或發(fā)散）收斂或發(fā)散）nnslim 存在或不存在）存在或不存在）. 1iiu返回如：如： 122121211n ) 11 () 11 () 11 ( n321 111111（1） （2）（3）（4）收斂收斂發(fā)散發(fā)散Sn

5、=1n22121211 （1） 1/2(1/2)1n （2）Sn =1)(11)(11)(1 = 0（3） Sn =n 3212)(1nn 20)( n)( n)( n（4）Sn =11)(1111 n 數為，為偶數,奇奇nn10返回解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當當 q nnqlim nnslim 收斂 發(fā)散時時如果如果1 q,1時時當當 q,1時時當當 q nasn 發(fā)散 aaaa級級數數變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散 綜上 發(fā)散發(fā)散1時,1時,當當收斂收斂1時,1時,

6、當當qqaqnn0等比級數是一等比級數是一個常用的級數個常用的級數返回解解nnnu 1232,3441 n已知級數為等比級數，已知級數為等比級數，,34 q公比公比, 1| q.原級數發(fā)散原級數發(fā)散返回例例2調和級數調和級數 11nn發(fā)散發(fā)散.證明：證明：要證級數發(fā)散，本例部分和不好求，只需證部分和數列極限不存在；但若存在發(fā)散的子列，分析分析則原級數發(fā)散.證證考慮考慮 12kS121211 k)21221121()81716151()4131(2111 kkk個個kkkk2111)212121()81818181()4141(21 個個1122844221 kkk)1(21 k )( k12

7、kS發(fā)散，發(fā)散，nS發(fā)散發(fā)散從而從而 11nn發(fā)散發(fā)散.返回又證又證nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設設調調和和級級數數收收斂斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .級級數數發(fā)發(fā)散散)(210 n便便有有.這是不可能的這是不可能的調和級數也是一個常用的級數，它是發(fā)散的。調和級數也是一個常用的級數，它是發(fā)散的。例例2調和級數調和級數 11nn發(fā)散發(fā)散.證明：證明：返回解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn) 12() 12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311 (21 nn)1211(21limli

8、m nsnnn),1211 (21 n,21 .21, 和和為為級級數數收收斂斂 在用級數收斂的定義來判定級數的斂散性時，在用級數收斂的定義來判定級數的斂散性時，“拆項是常用的方法之一。拆項是常用的方法之一。返回性質性質1. 若級數若級數1nnu收斂于收斂于 S ,1nnuS則各項則各項乘以常數乘以常數 c 所得級數所得級數1nnuc也收斂也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么那么nkknuc1,nScnnlimSc這說明這說明1nnuc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . nnSclim說明說明: 級數各項乘以非零常數后其斂散性不變級數各項乘以非零常數后其斂散性不變 .即即其和為其和為

9、 c S .四、無窮級數的基本性質四、無窮級數的基本性質返回性質性質2. 設有兩個收斂級數設有兩個收斂級數,1nnuS1nnv則級數則級數)(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv那那么么)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數這說明級數)(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S返回注注由性質由性質2可知，兩收斂級數的和或差是收斂級數可知，兩收斂級數的和或差是收斂級數兩發(fā)散級數的和或差可能收斂也可能發(fā)散，如兩發(fā)散級數的和或差可能收斂也可能發(fā)散，如11111111,) 1(1,) 1(,1nnnnnn發(fā)散收斂而發(fā)散發(fā)散一收斂級數和一

10、發(fā)散級數的和或差必發(fā)散一收斂級數和一發(fā)散級數的和或差必發(fā)散1111:,nnnnnnnnvuvu發(fā)散求證發(fā)散收斂設1。2。3。返回用反證法：用反證法： 1111,nnnnnnnnwvuw那那末末收收斂斂如如果果記記 1112nnnnnnuwv,也也收收斂斂與與原原假假設設矛矛盾盾可可知知由由性性質質證畢證畢1111:,nnnnnnnnvuvu發(fā)散求證發(fā)散收斂設返回解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n返回, 5)111(lim5lim ngnnn,211是是等等比比級級數數 nn，首首項項是是公公

11、比比21, 121 qnnnnh lim211. 61521)1(51 nnnn故故, 121121 返回性性質質 3 3 若若級級數數 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明:設設nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 這說明在級數前面減去有限項不影響級數的斂散性，類似地可以證明在級數前面加上有限項也不影響級數的斂散性.nnuuus.21返回性質性質 4 4 收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂于原來的和于原來的和. .證明證明 )()(54321u

12、uuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 注：注： 收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂. )11()11(例例如如 1111推論推論 如果加括弧后所成的級數發(fā)散如果加括弧后所成的級數發(fā)散, ,則原來級則原來級數也發(fā)散數也發(fā)散. . 收斂 發(fā)散返回五、級數收斂的必要條件五、級數收斂的必要條件級級數數收收斂斂. 0lim nnu證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項項無無限限增增大大時時當當,nun級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件: :級數收斂的必要條件只能用于判定級數是否發(fā)散，不能用于判定級數是否收斂.返回注注如果級數的一般項不趨于零如果級數的一般項不趨于零, ,則級數發(fā)散則級數發(fā)散 1)1(4