微分方程模型5(人口預(yù)測(cè))課件

1、2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暑期強(qiáng)化培訓(xùn)微分方程模型主講人：徐世英-中央民族大學(xué)理學(xué)院中央民族大學(xué)理學(xué)院-人口增長(zhǎng)與人口問(wèn)題背景知識(shí)人口增長(zhǎng)與人口問(wèn)題背景知識(shí)世界人口增長(zhǎng)是由規(guī)律可循的世界人口增長(zhǎng)是由規(guī)律可循的古代古代-增長(zhǎng)緩慢增長(zhǎng)緩慢 近代近代-人口快速增長(zhǎng)人口快速增長(zhǎng)現(xiàn)代現(xiàn)代-人口人口“爆炸性爆炸性”增長(zhǎng)增長(zhǎng)影響人口增長(zhǎng)的因素影響人口增長(zhǎng)的因素-自然自然-人文人文-國(guó)際大環(huán)境國(guó)際大環(huán)境-生產(chǎn)力發(fā)展水平、經(jīng)濟(jì)、生產(chǎn)力發(fā)展水平、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療衛(wèi)生條件、生活等醫(yī)療衛(wèi)生條件、生活等縱向觀察：縱向觀察：空間差異空間差異 發(fā)展中國(guó)家：人口增長(zhǎng)很快，目前發(fā)展中國(guó)家每年增發(fā)展中國(guó)家：人口增長(zhǎng)很快，目前發(fā)展

2、中國(guó)家每年增長(zhǎng)的人口，在世界人口增長(zhǎng)總數(shù)中約占長(zhǎng)的人口，在世界人口增長(zhǎng)總數(shù)中約占90%，原因是：，原因是：政治的獨(dú)立政治的獨(dú)立民族經(jīng)濟(jì)的發(fā)展民族經(jīng)濟(jì)的發(fā)展醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)的進(jìn)步醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)的進(jìn)步致使人口死亡率下降而致使人口死亡率下降而自然增長(zhǎng)率高自然增長(zhǎng)率高 發(fā)達(dá)國(guó)家：人口增長(zhǎng)緩慢，已出現(xiàn)緩慢增長(zhǎng)、零增長(zhǎng)或發(fā)達(dá)國(guó)家：人口增長(zhǎng)緩慢，已出現(xiàn)緩慢增長(zhǎng)、零增長(zhǎng)或負(fù)增長(zhǎng)負(fù)增長(zhǎng) 原因是：由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)和文化教育的發(fā)展，人們自愿原因是：由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)和文化教育的發(fā)展，人們自愿節(jié)育，出生率逐步下降，目前多已接近零增長(zhǎng)，甚至負(fù)節(jié)育，出生率逐步下降，目前多已接近零增長(zhǎng)，甚至負(fù)增長(zhǎng)。增長(zhǎng)。我國(guó)的人口出生率、死亡率與自然增長(zhǎng)

3、率按年齡分組的種群增長(zhǎng)按年齡分組的種群增長(zhǎng) 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律假設(shè)與建模假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記個(gè)年齡組，記i=1,2, , n 時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象 第第i 年齡組年齡組1雌性個(gè)體在雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的時(shí)段內(nèi)的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為時(shí)段內(nèi)的死亡率為di, 存活率存

4、活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設(shè)假設(shè)與與建模建模xi(k)時(shí)段時(shí)段k第第i 年齡組的種群數(shù)量年齡組的種群數(shù)量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布按年齡組的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設(shè)至少設(shè)至少1個(gè)個(gè)bi0)題目：中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問(wèn)題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問(wèn)題始終是制

5、約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)中國(guó)人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)中國(guó)人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要問(wèn)題。重要問(wèn)題。 近年來(lái)中國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、近年來(lái)中國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國(guó)人口的增長(zhǎng)。國(guó)人口的增長(zhǎng)。2007年初發(fā)布的年初發(fā)布的國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告(附錄附錄1) 還還做出了進(jìn)一步的分析。做出了進(jìn)一步的分析。 關(guān)于中

6、國(guó)人口問(wèn)題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄關(guān)于中國(guó)人口問(wèn)題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從就是從中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒上收集到的部分?jǐn)?shù)據(jù)。上收集到的部分?jǐn)?shù)據(jù)。 試從中國(guó)的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄試從中國(guó)的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)），建立中國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)），建立中國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，并由此對(duì)中國(guó)人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；特別要指出模型，并由此對(duì)中國(guó)人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；特別要指出你們模型中的優(yōu)點(diǎn)與不

7、足之處。你們模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。 附錄附錄1 國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告 附錄附錄2 人口數(shù)據(jù)（人口數(shù)據(jù)（中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒中的部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說(shuō)明中的部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說(shuō)明1、問(wèn)題分析 人口問(wèn)題一直是人們所關(guān)注的一個(gè)課題。關(guān)于人口增長(zhǎng)問(wèn)題已經(jīng)有多方面的研究，如馬爾薩斯指數(shù)增長(zhǎng)模型、Logistic人口阻滯增長(zhǎng)模型、偏微分方程模型、Lislie模型等。 我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型研究有著重要的意義。2007年國(guó)家發(fā)布了國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告，對(duì)于中國(guó)人口的發(fā)展現(xiàn)狀、未來(lái)人口增長(zhǎng)模型、人口素質(zhì)、人口教育、就業(yè)問(wèn)題以及中國(guó)人口現(xiàn)階段增長(zhǎng)特點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)

8、。本研究基于該文章、中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒等資料所提供的數(shù)據(jù)信息建立一個(gè)具有中國(guó)人口增長(zhǎng)特點(diǎn)的常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并利用該模型對(duì)中國(guó)未來(lái)人口的增長(zhǎng)狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)。2、基本假設(shè) 根據(jù)國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告，當(dāng)前中國(guó)人口的增長(zhǎng)有如下特點(diǎn)： 1）中國(guó)正進(jìn)入老齡化社會(huì)，老年人的比重在不斷加大；）中國(guó)正進(jìn)入老齡化社會(huì)，老年人的比重在不斷加大； 2）農(nóng)村與城鎮(zhèn)育齡婦女的生育率及出生人口性別比有）農(nóng)村與城鎮(zhèn)育齡婦女的生育率及出生人口性別比有著較大的區(qū)別；著較大的區(qū)別； 3）農(nóng)村人口不斷城鎮(zhèn)化，根據(jù)）農(nóng)村人口不斷城鎮(zhèn)化，根據(jù)國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究究報(bào)告，估計(jì)轉(zhuǎn)化率為百分之一。報(bào)告，估計(jì)轉(zhuǎn)化

9、率為百分之一。 人口的增長(zhǎng)率取決于出生率、死亡率和不同人群之間的遷移率。而出生率又取決于育齡婦女的生育率及育齡婦女在總?cè)丝谥兴嫉帽壤?。因此，需要?duì)這些相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。1）育齡婦女的生育率： 圖中是19942005年十年間城鎮(zhèn)育齡婦女的生育率，從中可以看出雖然成下降趨勢(shì)，但下降趨勢(shì)趨于緩和。農(nóng)村育齡婦女的生育率情況類似，總體數(shù)據(jù)偏高，需要分開(kāi)考慮。19942005年育齡婦女的生育率(千分比)2）出生人口性別比 一般情況下的人口性別比為105：100左右。而中國(guó)這10年間人口性比比遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)這個(gè)比例，這將導(dǎo)致未來(lái)育齡婦女在總?cè)丝谥械谋壤郎p少，從而導(dǎo)致總出生率下降，因此在本研究中有必要將出生人口的

10、男女性別比因素考慮進(jìn)去。19942005年男女出生比例(以女性為100)1）死亡率 不同年齡段的死亡率是不同的，需要將死亡率分年齡段考慮。城鎮(zhèn)女性2005年死亡率(千分比)4）人口的年齡分布 可以看出過(guò)去50年來(lái)的人口出生的變化情況。15年前（1990）和35（1970）年前均出現(xiàn)人口生育高峰。進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析表明，這兩次人口生育高峰主要出現(xiàn)在農(nóng)村。也看出近15年來(lái)人口出生的下降趨勢(shì)。而50歲以下的人口由于死亡率很低，這些人成批進(jìn)入老年階段將使老齡人口的比重加大。2005年分年齡段人口數(shù)量5）農(nóng)村人口城鎮(zhèn)化 由于農(nóng)村和城鎮(zhèn)人口出生率的較大差異，大量的農(nóng)村人口轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口對(duì)中國(guó)人口的增長(zhǎng)將造成

11、很大影響，因此必須把這個(gè)因素考慮進(jìn)去。 國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告預(yù)測(cè)農(nóng)村人口的城鎮(zhèn)化水平式年增長(zhǎng)1%。但考慮到在城鎮(zhèn)中女性在服務(wù)業(yè)和婚姻方面較男性的優(yōu)勢(shì)，可以假設(shè)農(nóng)村男性以0.9%的比例轉(zhuǎn)化，而女性以1.1%轉(zhuǎn)化。 因此，我們可以把中國(guó)人口分成城鎮(zhèn)男、城鎮(zhèn)女、農(nóng)村男、農(nóng)村女四類分別處理，并引進(jìn)農(nóng)村人口向城鎮(zhèn)遷移的因素。3、模型的建立1）人口分年齡比例的未來(lái)走向 由于在討論出生率和死亡率時(shí)涉及到不同年齡段的問(wèn)題，需要對(duì)上述每一類人口在各年齡段所占得比例做出估計(jì)。 對(duì)每一類人口按其是否參與生育分為：幼年（0-14歲）、青壯年（1549）和老年（50歲以上）三個(gè)年齡段人口的比例來(lái)處理。通過(guò)數(shù)據(jù)分析可

12、以看出，老齡化的結(jié)果造成老年人口增加，而幼年和青壯年的人口在總?cè)丝谥兴嫉帽壤齽t逐年減少，育齡婦女的生育年齡主要集中在2035歲，且其生育率趨于常數(shù)。 以城鎮(zhèn)女性人口為例，將城鎮(zhèn)女性人口按年齡分作81維向量，按已知各年齡的人口比例、死亡率和育齡婦女的生育率，利用Leslie矩陣進(jìn)行迭代。與通常Leslie矩陣方法不同，采用的是人口比例而非人口數(shù)量。設(shè)0000000000000079101210)1(80)1(2)1(1)1(0bbbaaaaaxxxxmmtttt)(80)(2)(1)(0ttttxxxx其中a15a50為常數(shù)（城鎮(zhèn)育齡婦女的女?huà)肷剩?，其它?。bi=1-ci, ci為i歲城

13、鎮(zhèn)女性人口的死亡率。每步得到結(jié)果后進(jìn)行規(guī)一化處理后，進(jìn)行下一步計(jì)算。 ) 1(tB 向量各分量依次為第t年的城鎮(zhèn)080歲女性人口的比例，取2005年1%抽樣人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)位初值，對(duì)上式進(jìn)行迭代，按上述幼年、青壯年、老年三個(gè)年齡段人口的比例來(lái)表示。未來(lái)城鎮(zhèn)育齡婦女分年齡走勢(shì)圖 從上圖可以看出，城鎮(zhèn)婦女的幼年階段與青壯年的育齡階段所占得比例的變化呈下降趨勢(shì)。原因：這兩個(gè)年齡段人口的總體死亡率很小，每次迭代都乘以一個(gè)小于1的數(shù)。結(jié)論：城鎮(zhèn)婦女的幼年階段與青壯年的育齡階段所占得比例的變化呈下降趨勢(shì)。證明：將人口分成幼年x1、青壯年x2和老年x3三部分，得到的TxxxX),(321滿足13213211

14、00101nnxxxcbxxx 其中偉每年幼年向青壯年的轉(zhuǎn)化率，是青壯年向老年轉(zhuǎn)化率，b是育齡婦女的女?huà)肷?，c是老年的死亡率。幼年和青壯年的死亡率很低，予以忽略不計(jì)。上述矩陣是可以對(duì)角化的，即存在可逆矩陣P，使得BPPPcvuPcbA111000000100101這樣，就得到TnTnxxxPBPxxx03211321),)(),(然后再對(duì)xn進(jìn)行規(guī)一化處理31321),(iinnTnnnnxxyyyy得到2, 1,)(1 (ikvumlyiniiinnnnyyy2131其中Rkmliii,由TnnnnxxxX),(321確定?？紤]短期（n60）,建立簡(jiǎn)單的微分方程模型)()(1)()()(

15、)()(21312121111tttdtcdttdbtadttd)(),(),(321ttt分別為幼年、育齡和老年城鎮(zhèn)女性人口比例函數(shù)，1111,dcba為非負(fù)參數(shù)，滿足111db)()(1)()()()()(21311211111tttdedstbebrttcta解為r,s為初值。 同理其它三類（農(nóng)村男、女、城鎮(zhèn)男）有類似的結(jié)果。即014和1549歲兩個(gè)年齡段的趨勢(shì)函數(shù)都呈指數(shù)性下降。 需要考慮的一個(gè)問(wèn)題：農(nóng)村分別在1970年和1990年前后經(jīng)歷了兩個(gè)生于高峰，而指數(shù)擬合只能體現(xiàn)出未來(lái)分年齡段走勢(shì)的主趨勢(shì)。 添加一個(gè)不斷減弱的周期性震蕩來(lái)描述這種周期性變化。 在某次生育高峰后還會(huì)周期性地出現(xiàn)

16、新的生育高峰，而文化素養(yǎng)的提高和晚婚晚育的政策會(huì)削弱這種峰值效應(yīng)。 正弦函數(shù)城鎮(zhèn)男性)()(1)()()()()(21322222122tttdedstbebrttcta)(),(),(321ttt分別為幼年、育齡和老年城鎮(zhèn)女性人口比例函數(shù)，2222,dcba為非負(fù)參數(shù)，滿足122db農(nóng)村女性)()(1)(/)(sin)()(/)(sin)()(21322332113312313tttktegdedstktegbebrttftctfta)(),(),(321ttt分別為幼年、育齡和老年農(nóng)村女性人口比例函數(shù)，3333,dcba為非負(fù)參數(shù)，滿足133db,212121kkggff為普通參數(shù)。農(nóng)村男

17、性)()(1)(/)(sin)()(/)(sin)()(21344442334414434tttktegdedstktegbebrttftctfta)(),(),(321ttt分別為幼年、育齡和老年農(nóng)村男性人口比例函數(shù)，4444,dcba為非負(fù)參數(shù)，滿足144db,434343kkggff為普通參數(shù)。預(yù)測(cè)模型 確定城鎮(zhèn)和農(nóng)村男女各年齡段的比例函數(shù)，根據(jù)假設(shè)：生育率是由育齡婦女的數(shù)量決定、農(nóng)村和城鎮(zhèn)育齡婦女的生育率均不變、出生人口性別比均不變、各年齡段人口的死亡率不變、農(nóng)村人口按照一定的常數(shù)比例向城鎮(zhèn)遷移，來(lái)建立模型。uxtttytdtdx1332211211)()()()(vytttytdtd

18、y2332211211)()()()()1 (uxtttytdtdu1332211222)()()()(vutttvtdtdv2332211222)()()()()1 (符號(hào)規(guī)定城鎮(zhèn)男、女人口城鎮(zhèn)男、女人口農(nóng)村幼年、育齡、老年男性的死亡率農(nóng)村幼年、育齡、老年女性的死亡率城鎮(zhèn)幼年、育齡、老年男性的死亡率城鎮(zhèn)幼年、育齡、老年女性的死亡率農(nóng)村男、女轉(zhuǎn)化率城鎮(zhèn)、農(nóng)村男性出生比例城鎮(zhèn)、農(nóng)村育齡女性生育率21,21,21,321,321,321,321,yx,vu,參數(shù)確定 根據(jù)中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒20012005卷中的數(shù)據(jù)可以整合得到：出生率、男性出生比例、轉(zhuǎn)化率、死亡率、人口發(fā)展走勢(shì)參數(shù)（a,b,c,d,f,g,k,）。 按照根據(jù)中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒2005卷只能高的數(shù)據(jù)，可以得到2005年的初值： x(0)=28