1.2第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一一. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程為 x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1) 并設(shè)x(t),y(t),z(t)都可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為0.和平面曲線一樣,通過(guò)空間曲線上任一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)(對(duì)應(yīng)于參數(shù)t=t0)的切線,定義為割線M0 M,當(dāng)M趨向M0時(shí)的極限位置M0T. M0MTyxzp高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系設(shè)M0的鄰近點(diǎn)M(x0+x,y0+y,z0+z

2、)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=t0+t.設(shè)p(x,y,z)是曲線的割線M0M上的一點(diǎn).曲線的割線M0M的方程為xi+yj+zk, MP=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k,因?yàn)镸0MM0p,所以有高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系tzzztyyytxxxtzzztyyytxxxzzzyyyxxxttt000000000000limlimlim切線的一個(gè)方向向量為T=x(t0), y(t0), z(t0) 通過(guò)點(diǎn)M而與切線垂直的平面稱為曲線L在點(diǎn)M處的法平面,它通過(guò)點(diǎn)M而以T為法向量的平面,這法平面的方程為)3(0)()()(000000zztzyytyxx

3、tx)()()(000000tzzztyyytxxxttt高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例1 求曲線 x=2t,y=3t2,z=t3.在點(diǎn)M(2,3,1)處的切線方程和法平面方程. 1) 1 , 3 , 2( tM. 3, 6, 211ttzyx。切線方程為316322zyx0133622）（）（）（法平面方程為zyx025362zyx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例2 求曲線 xyz=1,y2=x 在點(diǎn)(1,1,1)處的切線及法平面方程分析:我們把曲線方程寫(xiě)成參數(shù)方程4323, 1,2.,yzyyxyzyyyxy

4、yy(1)現(xiàn)在我們討論空間曲線C的方程以y=(x), z=(x)的形式呈現(xiàn),取x為參數(shù),它可表示為參數(shù)方程的形式: x=x, y=(x), z=(x). . 3, 1, 21) 1 , 1 , 1 (yyyzyxy311121zyx切線方程為032013112zyxzyx）（）（）（法平面方程為高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系)5()()(100000 xzzxyyxx若(x), (x)都在x=x0處可導(dǎo),那么由上述討論可知,T=(1, (x0 ),(x0 ),因此曲線C在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切線方程為在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的法平面方程為)6

5、(0)()()(00000zzxyyxxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(2)如果曲線用兩個(gè)空間曲面相交的交線形式出現(xiàn)時(shí),可根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法處理.設(shè)空間曲線C的方程以0),(0),(zyxGzyxF(7) 的形式給出 M(x0,y0,z0)是曲線C上的一點(diǎn),又設(shè)F,G有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù),且0),(),(),(000zyxzyGF這時(shí)方程組(7)在點(diǎn)M(x0,y0,z0)的某鄰域內(nèi)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系確定一組函數(shù)y=(x),z=(x),要求曲線C在點(diǎn)M處的切線方程和法平面方程,只要求出(x0 )

6、, (x0 ),然后代入(5),(6)兩式就可以了為此,我們?cè)诤愕仁?)(),(,0)(),(,xxxGxxxF兩邊分別對(duì)x求全導(dǎo)數(shù),得到00dxdzzGdxdyyGxGdxdzzFdxdyyFxF由假設(shè)可知,在點(diǎn)M的某個(gè)鄰域內(nèi)0),(),(zyGFJ故可解得高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系z(mì)yzyyxyxzyzyxzxzGGFFGGFFxdxdzGGFFGGFFxdxdy)(,)(于是T=(1, (x0 ),(x0 ) 是曲線C在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切向量.0000)(,)(zyzyyxyxzyzyxzxzGGFFGGFFxGGFFGGFFx 分

7、子分母中帶下標(biāo)0的行列式表示行列式在點(diǎn)M(x0,y0,z0)的0zyzyGGFF,0001yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT 0dxdzzFdxdyyFxF0dxdzzGdxdyyGxG值,把上面的切向量T乘以,得高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 這也是曲線C在點(diǎn)M處的一個(gè)切向量,所以在點(diǎn)M(x0,y0,z0)的切線方程為)8(000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 曲線C在點(diǎn)M(x0,y0,z0)的法平面方程為)9(0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy高等

8、數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例3 求球面49222zyx與橢球面417) 1(3222zyx交線上對(duì)應(yīng)于x=1點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.分析:先求出x=1.417) 1(3,4912222zyzy點(diǎn)為 (1,1/2,1) (1,1/2,-1)222222) 1(45) 1(.45yyzyzy1.211222zyyyy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系417) 1(3),(,49),(222222zyxzyxGzyxzyxF) 8 (000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx)9(0)()

9、()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy0),(, 0),(zyxGzyxF44) 1(442) 1(222zyzyzzyzyGGFFzyzy884126222xzxzxzxzxzGGFFxzxz884) 1(2622xyxyxyxGGFFyxyx022.2122/111zyxzyx法平面方程為切線方程為022.2122/111zyxzyx法平面方程為切線方程為高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系得到求導(dǎo)直接把方程對(duì)的函數(shù)看成把解法,:2xxzyzzyzydxdzzdxdyyx42) 1(2220222xxyxyxyxzz

10、xzxdxdzzdxdyyx486) 1(222,8262202) 1(262|2|, 2|2|)1 ,21, 1()1 ,21, 1()1 ,21, 1()1 ,21, 1(zxxydxdzxdxdy2122111:) 1 ,21, 1 (zyx處的切線方程為在點(diǎn)022:zyx法平面方程為2122111:) 1,21, 1 (zyx處的切線方程為故在點(diǎn)022:zyx法平面方程為高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系曲線的向量方程及向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)曲線的向量方程及向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)曲線曲線C的參數(shù)方程的參數(shù)方程(1)x=x(t), y=y(t), z=z(t)也可

11、寫(xiě)成向量的形也可寫(xiě)成向量的形式式.記記 r=xi+yj+zk, r(t)=(t)i+(t)j+(t)k 則方程則方程(1)就成為向量方程就成為向量方程 r=r(t), t, (4)方程方程(4)確定一個(gè)從確定一個(gè)從, R3的映射的映射.由于這個(gè)映射把每一個(gè)由于這個(gè)映射把每一個(gè)t , ,映成一個(gè)向量映成一個(gè)向量r(t),故稱這映故稱這映射為向量值函數(shù)射為向量值函數(shù).Cr(t0)r(t)r(t)-r(t0)xyz高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系在幾何上, r(t)是R3中的點(diǎn)(t),(t),(t)的向徑.空間曲線C就是變向徑r(t)的終點(diǎn)的軌跡.我們稱C為向量

12、值函數(shù)r(t)的矢量曲線.根據(jù)R3中向量的模的概念與向量的線性運(yùn)算法則,可定義一元向量值函數(shù)r(t)的連續(xù)性與可導(dǎo)性: 設(shè)r(t)在點(diǎn)t0的某鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)0)()(lim00trtrtt則稱r(t)在t0連續(xù);又若存在常向量T=(a,b,c)使得0)()(lim000Ttttrtrtt則稱r(t)在t0可導(dǎo),并稱T為r(t)在t0的導(dǎo)數(shù)(或?qū)蛄?,記作r(t0)即r(t0)=T高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 容易證明:向量值函數(shù)r(t)在t0連續(xù)的條件是: r(t)的三個(gè)分量函數(shù)(t),(t),(t)都在t0連續(xù); r(t)在t0可導(dǎo)的充分必要條

13、件是r(t)的三個(gè)分量函數(shù)(t),(t),(t)都在t0可導(dǎo),當(dāng)r(t)在t0可導(dǎo)時(shí),其導(dǎo)數(shù)為ktjtittr)()()()(0000 采用向量形式,上面研究的空間曲線的切線,切向量的結(jié)果可表達(dá)為若向量值函數(shù)r(t)在t0可導(dǎo),且r(t0 )0,則r(t)的矢端曲線C在r(t0)的終點(diǎn)處存在切線, r(t0 )就是切線的方向向量,它的指向與參數(shù)t的增大時(shí)點(diǎn)M移動(dòng)的走向一致. 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二二 曲面的切平面及法線曲面的切平面及法線 定義 在曲面上,通過(guò)一點(diǎn)M0的任何曲線在 該點(diǎn)的切線,如果都在同一平面上,這個(gè)平面就稱為曲面在M0的切平面.

14、正如過(guò)平面或空間曲線上一點(diǎn)不一定總是存在切線一樣,曲面也必須具備一定的條件,它才有切平面設(shè)曲面的方程為 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不同時(shí)為0. M0TN高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系現(xiàn)在來(lái)證明在點(diǎn)M0處存在切平面,并求切平面的方程. 設(shè) x=x(t), y=y(t), z=z(t) (7) 是過(guò)M0在曲面上所引的任一曲線L,t=t0 對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M0(x0,y0,z0),又x(t), y(t), z(t)存在并不全為0. 由于曲線L在曲面上,故有 Fx(t),y(t),z(t)=0 由

15、假設(shè)Fx(t),y(t),z(t) 在t=t0時(shí)有全導(dǎo)數(shù),因而00ttdtdF高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系由全導(dǎo)數(shù)公式,得)12(. 0)(),()(),()(),(000000000000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx由全導(dǎo)數(shù)公式,得)(),()(),(00000000tyzyxFtxzyxFyx而s=x(t), y(t), z(t)是曲線L在點(diǎn)M0處的切線的方向向量,記),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)12(. 0)(),(0000tzzyxFz高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢

16、科技學(xué)院數(shù)理系M0SNL 上面的(12)式表示n垂直于s, ns. 因?yàn)榍€L是曲面上過(guò)點(diǎn)M0的任一條曲線,任何在M0的切線都與同一向量n垂直.因此在曲面上過(guò)點(diǎn)M0具有切線的一切曲線在M0的切線都在同一平面內(nèi).這個(gè)平面即是曲面在M0的切平面,切平面方程為)13.(0)(),()(),()(),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 由于曲線L在曲面上,故有 Fx(t),y(t),z(t)=0 由假設(shè)Fx(t),y(t),z(t) 在t=t0時(shí)有全導(dǎo)數(shù),因而00ttdtdF 過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,

17、z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線.n是法線的一個(gè)方向向量,法線方程為為切平面的法線向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)14(),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 如果曲面方程為z=f(x,y),可以令 F(x,y,z) = f(x,y,z)-z,那么 Fx=fx ,Fy=fy, Fz= -1, 于是, 曲面在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)的切平面方程為)16()(),()(),(0000000yyyxFxxyxFzzyxM0SNL

18、法線方程為)61 (1),(),(0000000zzyxFyyyxFxxyx例4 求過(guò)橢球面. 1222222czbyax上點(diǎn)M0(x0,y0,z0)的切平面和法線的方程高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系.切平面方程為2000020000200002),(,2),(,2),(czzyxFbyzyxFaxzyxFzyx0222020020020）（）（）（zzczyybyxxax.2,2,2. 1),(222222222czFbyFaxFczbyaxzyxFzyx11202020220220220czzbyyaxxczbyax切平面方程為200200200czzzbyyyaxxx法線方程為高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例5 求z=x2 +y2 -4在點(diǎn)(2,1,1)處的切平面及法線的方程.2),(,2),(. 4),(22yyxfxyxfyxyxfyx 例6 證明圓柱螺旋線x=acos,y=asin,z=b具有下列兩個(gè)性質(zhì): (1)它與柱面 x2