R0030高中數(shù)學競賽專題講座---幾個重要不等式及其應用－湖南師大附中－肖登鵬

1、幾個重要不等式及其應用一、幾個重要不等式以下四個不等式在數(shù)學競賽中使用頻率是最高的，應用極為廣泛。1、算術-幾何平均值（AM-GM）不等式設是非負實數(shù)，則2、柯西（Cauchy）不等式設，則等號成立當且僅當存在，使變形（）：設，則；等號成立當且僅當存在，使變形（）設同號，且，則。等號成立當且僅當3排序不等式設是的一個排列，則. 等號成立當且僅當或。（用調(diào)整法證明）.4琴生（Jensen）不等式若是區(qū)間上的凸函數(shù)，則對任意的點有等號當且僅當時取得。（用歸納法證明）二、進一步的結論運用以上四個不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的結論，有時用這些結論也會起到意想不到的效果。1. 冪均值不等式設，

2、則。證：作變量代換，令，則，則 ，又函數(shù)是上的凸函數(shù)，由Jensen不等式知式成立。2.（切比雪夫不等式）設兩個實數(shù)組，則等號成立當且僅當或。證：由排序不等式有：，以上n個等式相加即得。3. 一個基礎關系式，其中證：若x,y中有一個為0，則顯然成立。設x,y均不為零，則原不等式，令，則上式，記，則，因此，當時，當時，且，所以得極小值為,故，即.4. Holder不等式設且，則等號成立當且僅當存在使得。證: 在上面基礎關系式中，取有 式兩邊對k求和，得：,令,代入上式即證。5. 一個有用的結論 設，則，推廣得設，則.證：原不等式,而,它可把含根式的積性不等式化為和式。三、如何運用幾個重要不等式例

3、1 設且，求證：。證：由柯西不等式有而，即由有：,方法二：由冪均值不等式有：。方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM不等式有：不妨設，則例2 設，求證：證：左邊=。評注：通過此例注意體會如何運用柯西不等式分離或合成變量。例3 設，求證：證：設，則原不等式，由Cauchy不等式有：，故原不等式成立。評注：本題通過換元，把原不等式齊次化，再用柯西不等式。例4 設n是正整數(shù)，且，求證：證：原不等式，由“二，結論5” 有，又， ，故。評注：本例第一步放縮也可用Holder不等式的推廣。例5 設是一個無窮項的實數(shù)列，對于所有正整數(shù)存在一個實數(shù)，使得且對所有正整數(shù)成立，證明：證： 對于，設為的一個排列且滿足

4、：. （柯西不等式）.故評注：這里把有序化后，的變形是關鍵。例6 設a, b, c為正實數(shù)，求證 + + a + b + c + ，并確定等號成立的條件證：由于 + + abc = ( + b2a) + ( + c2b) + ( + a2c)= (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 而由Cauchy不等式有 (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 (b + c + a) (|ab| + |bc| + |ca| ) 2 且由 |ab| + |bc| + |ca| |ab| + |(bc) + (ca)| = 2|ab| 知 (|ab| + |bc| + |ca| ) 2 4

5、(ab) 2 結合可得 + + abc (|ab| + |bc| + |ca| ) 2 由便知題目中的不等式成立若題中不等式取等號，即取等號故不等式與皆取等號由式取等號知，存在k 0，使得 (ab) 2 = bk, (bc) 2 = ck, (ca) 2 = ak，即(ab) 2 = b 2 k, (bc) 2 = c 2 k, (ca) 2 = a 2 k 由式取等號知 bc與ca同號，從而三個數(shù)bc, ca, ba同號，結合知存在實數(shù)l，使得ba = bl, bc = cl, ca = al 由知 l = 1= 1 = 1 由可得 = ，記 = = x，則c = ax, b = ax 2，

6、再由式中 1= 1得1= x1即 x 32x 2 + 1 = 0故(x1)(x 2x1) = 0結合x > 0可解得 x = 1或x = (1 + )故a : b : c = 1 : x 2 : x = 1 : 1 : 1或1: (3 + ) : (1 + ) 又當a, b, c滿足條件時，容易難題目中不等式確實取等號故即為題中不等式取等號的充要條件評注：式的變形非常漂亮，是解題的關鍵所在。 例7 在中，求證：證：在中，令，則原不等式， 由AM-GM不等式有：，即證。評注：在中令則有以下結論：，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，。例8 設正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足求函數(shù)的最小值.解：由已知條件

7、三式解出 令，。從而可知 ，（易知） =從而 （柯西不等式）。 下證只需證 （*）利用均值不等式知：，從而（*）式成立，故知而當，即時，.從而的最小值是.評注：這是2005年的聯(lián)賽試題，巧妙地代數(shù)換元后，避免了三角變形的麻煩。例9 設a1, a2, , an為大于等于1的實數(shù)，n 1，A = 1 + a1 + a2 + + an定義x0 = 1, xk = (1 k n)證明：x1 + x2 + + xn > 證：設yk = ，則 = Û yk = 1 + 由yk1 1, ak 1可得 ( 1)(ak1) 0 (*) Û 1 + ak + 所以 yk = 1 + ak

8、 + 故 yk ak + = ak + + = A + < A + 令t = ，由柯棲不等式有 yk 因此，對t > 0，有< A + t Û t 2 + Atn 2 > 0Û t > = = 評注：本題巧妙地運用函數(shù)方法，(*)式值得注意，是一種常見的放縮手段例10 設ai > 0 (i = 1, 2, , n)，ai = 1，k Î N + 求證 (a1k + )(a2k + ) (ank + ) (n k + ) n證：首先證明函數(shù) f (x) = ln (x k + )在區(qū)間(0, 1上是下凸函數(shù)事實上，由于 f

9、62; (x) = (kx k1kxk1 ) = k·, f ¢¢ (x) = k·( 2k·x 2k1 (x 2k + 1 + x)(x 2k1)( (2k + 1)x 2k + 1 ) )= ( (2kx 4k + 2kx 2k )( (2k + 1)x 4k2kx 2k1) )= (x 4k + 4kx 2k + 1) 當0 < x 1時，由于k Î N + ，故x 4k + kx 2k + 1 = (x 2k2k) 2 + 4k 2 + 1 > (2k) 2 + 4k 2 + 1 > 0故由知 f ¢

10、;¢ (x) > 0 (x Î (0, 1)故 f (x)在(0, 1上為下凸函數(shù)。由于ai > 0, a1 + a2 + + an = 1 (i = 1, 2, , n)，故ai Î (0, 1從而由Jensen不等式有 ( f (a1) + f (a2) + + f (an) ) f ( (a1 + a2 + + an) ) = f ( )，即 f (a1) + f (a2) + + f (an) n f ( )故 ln (a1k + ) + ln (a2k + ) + + ln (ank + ) n ln ( ( ) k + )即 ln (a1k + )(a2k + ) (ank + ) ln ( + n k ) n從而 (a1k + )(a2