湖南省藍(lán)山二中高一數(shù)學(xué)必修51.1.1正弦定理教案

1、研卷知古今；藏書教子孫。第一章解三角形L1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理一、教學(xué)內(nèi)容分析：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（必修5）（人教A版）第一章解三角形：1 1 “正弦定理和余弦定理”的第 1課。“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性， 在這次課程改革中，被保留下來，并獨(dú)立成為一章。解三角形作為幾何度量問題，應(yīng)突出幾何的作用和數(shù)量化的思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后續(xù)內(nèi)容作知識與方法的準(zhǔn)備，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識的基礎(chǔ)上，通過對三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡單的三角形度量問

2、題。教學(xué)過程中，應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，通過探索發(fā)現(xiàn)、合情推理與演繹證明的過程，提高學(xué)生的思辨能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：由于本課內(nèi)容和一些與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題相關(guān)，教學(xué)中若能注意課程與生活實(shí)際的聯(lián)系，注重知識的發(fā)生過程，定能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然本課涉及代數(shù)推理， 定理證明中可能涉及多方面的知識方法，綜合性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)方面有一定困難。三、教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過對特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理;再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過 觀察，猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力

3、； 培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識，同時(shí)通過三角函數(shù)、向量與正弦定 理等知識間的聯(lián)系來幫助學(xué)生初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)。教、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：（一）創(chuàng)設(shè)情境：問題1、在建設(shè)水口電站閩江橋 時(shí)，需預(yù) 先測量橋長AB,于是在江邊選取一個(gè)測量點(diǎn)C,測得 CB=435m,/ CBA=880, / BCA=420。由以上數(shù)據(jù)，能測算出橋長 AB嗎？這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題？引出定義：解三角形一一已知三角形的

4、某些邊 和角，求其他的邊和角的過程。問題2、解三角形，需要用到許多三角形的知 識，你對三角形中的邊角知識知多少？“a>b>c -一 A>B>C"，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？引出課題：正弦定理（二）新課講授：問題3、.在直角三角形 ABC中，對應(yīng)邊依次為 a,b,c,求證： :_=_=，_sin A sin B sin C問題4、【猜想與推廣】正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等,a _ b csin A sin B sin C問題5、在銳角三角形 ABC中，如何構(gòu)造、表示 “a與s

5、inA、b與sinB ”的關(guān)系呢？能否構(gòu)造直角三角形，將問題化歸為已知問題？如圖，過A作BC邊上的高線AD,化歸為兩個(gè)直角三角形問題，容易得到“ c與sinC、 b與sinB ”的關(guān)系式。sin C圖1證明一：略，見教材.證明二：（等積法）在任意斜 ABC當(dāng)中一 111 .及abc= absin C = acsin B = bcsin A兩邊同除以1abc即得：a-=b-= 2sin A sin B sin C證明三：（外接圓法） 如圖所示，/A = /D=CD =2Ra _ a sin A sin D 同理b =2R,sin B證明四：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC由 AC+CB=AB

6、兩邊同乘以單位向量 j得j?（AC+CB）=j?AB則 j ?AC +j?CB=j ?AB| j |?| AC |cos90 +| j | ?| CB|cos(90 -C)=| j |?| AB |cos(90 a)a sin C =csin Aa _ csin A sin C同理，若過C作j垂直于CB得:c _ bsin C sin Ba _ b _ csin A sin B sin C（三）理解定理: 1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a b csin Asin BsinC問題6、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式?（1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對角的正弦嚴(yán)格對應(yīng)，成

7、正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。（2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。從而知正弦定理的基本作用為:已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin Aa =;sin Basin A sin B已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如b（四）應(yīng)用定理：例 1.在 MBC 中，已知 A=32.00, B=81.80, a=42.9cm,解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C M800 -(A+B) C800 -(32.00+81.8°) =66.20 ；asinB 42.9sin81.80根據(jù)正弦te理,b =0之80.1(cm);sinA sin32.

8、00asinC 42.9sin66.20根據(jù)正弦te理，c0: 74.1(cm).sinA sin32.00評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2.在 MBC中，已知a =20cm, b =28 cm, A=400 ,解三角形(角度精確到 10 ,邊長精確 到 1cm)解：根據(jù)正弦定理，sinB=binA=28sin40- 0.8999.因?yàn)?00 V B v 1800，所以 B%640,或 BM160.a 20 當(dāng) B之640 時(shí)00000C=180 -(A B) 180 -(40 64 尸 76:30(cm).asinC 20sin760sinA sin40 0 當(dāng)B/160時(shí)

9、,C=1800 (A+B)W8d (40+1l6 T 24asin C c =sin A20sin24sin40 0：13(cm).應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。（五）課堂練習(xí): a b c1 在4ABC中，=k,則卜為（）sin A sin B sin CA2R BRC4RD1 R（R為 ABC外接圓半徑）224ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C,則 ABC為（）A宜加二內(nèi)形B等膜寸加三角形C等邊三角形D等腰三角形 3.已知在 MBC 中，c=10, A = 45°,C =30°，求 a,b和 B解：c =10,A =450,C

10、=300B =1800 - (A C) =1050=10 2+ac/口由=得sin Asin Ccsin A _ 10 sin 450 sin C sin300,b由sin Bcsin Ccsin Bsin C10 sin1050sin 3000：/62= 20sin75 =20=5 6 5 244.在 AABC 中，b =、3, B =600、=1,求2和慶（解：: 一b=,二 sinC = sin B sinCbcsin B 1 sin 600b c,B=600, C ；B,C為銳角，C=300,B=9005. AABC 中，c =、6, A=450,a =2,求 b和 B,C解:0a c .八 csin A 6 sin 45,sin C =sin A sin Ca2v csin A<a< c,. C =600 或 1200,當(dāng) C=600 時(shí)，B=750,b =csin B 6 sin 750sin C.cc 0sin603+1,當(dāng)C =120° 時(shí),B=150,b=CsinB sinC6 sin 150sin 60°二 b =內(nèi)+1,B =750,C =600或 b = J3 1,B =150,C =12006.第4面1,2題