江蘇省七市(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次調(diào)研考試(4月)試題

1、2020/埼出5/結(jié)束）江蘇省七市（南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷）屆高三數(shù)學(xué)第二次調(diào)研考試（4月）試題（滿分160分，考試時(shí)間120分鐘）2020. 4參考公式：柱體的體積公式： V柱體= Sh,其中S為柱體的底面積，h為高.1錐體的體積公式： V錐體= Sh,其中S為錐體的底面積，h為高.一、 填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70分.1 .已知集合 A= 1 , 4, B=a5, 7.若AH B= 4,則實(shí)數(shù)a的值是2 .若復(fù)數(shù)z滿足三=2+i ,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是 i開始S- 118（第4題）3 .在一塊土地上種植某種農(nóng)作物，連續(xù)5年的產(chǎn)量（單位：噸）分別

2、為9.4 , 9.7 , 9.8 ,10.3 , 10.8 ,則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是 噸.4 .如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出 S的值是 .5 . “石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人 各隨機(jī)選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭，甲、乙兩 人玩一次該游戲，則甲不輸?shù)母怕适?.6 .在4ABC中，已知 B= 2A, AC= a/3bC,則A的值是.7 .在等差數(shù)列an（nCN）中，右a1=a2+a4, a8=3,則 出。的值是.（第8題）8 .如圖，在體積為 V的圓柱OQ中，以線段OQ上的點(diǎn)。為頂點(diǎn)，上下底面為底面的兩V +V2個(gè)

3、圓錐的體積分別為 vi, v則一的值是.229 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線占一y2= 1（a 0, b0）的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F, a b過F作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P, Q.若4APQ為直角三角形，則該雙曲線的離心率是10 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)P在直線y=2x上，過點(diǎn)P作圓C: (x 4) 2+y2=8 的一條切線，切點(diǎn)為 T.若PT= PQ則PC的長(zhǎng)是.11._ 一 9右 x1,則 2x+xTi41，一，口的最小值是12 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線y=ex在點(diǎn)P(x0, ex0)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A, 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn) B(x。，0), 4P

4、AB的面積為3,則x0的值是.13 .如圖(1)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME7)的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2),其中 OA= A1A2= A2A3=A7A8= 1,則AAz , AA的值是110g 2x a| , 0 x 4,14 .設(shè)函數(shù)f(x) = f J 4xb0)的右頂點(diǎn)A在圓C上，右準(zhǔn)線與圓 C相切.(1)求橢圓E的方程； ，、1, 一一 ，、1,12(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與圓C相交于另一點(diǎn) M,與橢圓E相交于另一點(diǎn) N.當(dāng)Ag 了AM時(shí)，求直線l的方程.18 .（本小題滿分16分）某公園有一塊邊長(zhǎng)為 3百米的正三角形ABC空地，擬將它分割成面積相等的三

5、個(gè)區(qū)域， 用來種植三種花卉. 方案是：先建造一條直道 DE將 ABC分成面積之比為2： 1的兩部分（點(diǎn) D, E分別在邊 AB, AC上）；再取 DE的中點(diǎn) M,建造直道 AM仰圖）.設(shè)AD= x, DE= yi, AM =y2（單位：百米）.（1）分別求yi, y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點(diǎn)D的位置，使兩條直道的長(zhǎng)度之和最小，并求出最小值.19 . ( 本小題滿分16 分 )若函數(shù)f(x)在X0處有極值，且f(x 0) =X0,則稱X0為函數(shù)f(x)的F點(diǎn)”. 設(shè)函數(shù) f(x) =kx221n x (k R).當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；若函數(shù)f(x)存在“F點(diǎn)”，求k的值；(

6、2)已知函數(shù)g(x) = ax3+bx2+cx(a ,b,cCR,aw0)存在兩個(gè)不相等的F點(diǎn)xi,x2,且|g(x i) -g(x 2)| Ri,求a的取值范圍.20 .(本小題滿分16分)在等比數(shù)列an中，已知ai=1, a4=1.設(shè)數(shù)列b n的前n項(xiàng)和為S,且bi = 1, an + bn 81*=2$ i(n nC N).(1)求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式；,bn -、，(2)求證：數(shù)列 b是等差數(shù)列； an(3)是否存在等差數(shù)列cn,使得對(duì)任意nC N,都有Sw aw??？若存在，求出所有符 合題意的等差數(shù)列Cn；若不存在，請(qǐng)說明理由.2020屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題（滿分40分，考試時(shí)

7、間30分鐘）21 .【選做題】在A, B, C三小題中只能選做兩題，每小題 10分，共20分.若多做,則按作答的前兩題計(jì)分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.（選彳42:矩陣與變換）已知矩陣A=01的逆矩陣A； 02.若曲線C: x + y2=1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變a0b04換作用下得到另一曲線 Q,求曲線。的方程.B.（選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為p = r(r 0)，直線 l 的方程為 p cos( 0 + ) =。2.設(shè)直線l與曲線C相交于A, B兩點(diǎn)，且AB= 2M,求r的值.C.（選彳45:不等式選講）已知實(shí)數(shù)x, v, z滿足1 + x

8、2+ 1 + y+1 + z2=2,求證:1 +x2+【必做題】 第22, 23題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證 明過程或演算步驟.22 .小麗在同一城市開的 2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假1的概率都是2,且是否休假互不影響.若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調(diào)劑1人到該店鋪維持營(yíng)業(yè)，否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；(2)設(shè)營(yíng)業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.f* 一、， X： I/J白心*23 .我們稱n(n C N)兀有序頭數(shù)組(X1, X2,，xn)為n維向重，-i 為該向重的氾 數(shù).已知n維向量a=(X1,

9、X2,，Xn),其中Xi C 1, 0, 1, i=1, 2,，n.記范數(shù)為 奇數(shù)的n維向量a的個(gè)數(shù)為4,這A個(gè)向量的范數(shù)之和為 3.(1)求A2和B的值；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求 人，&(用n表示).2020屆高三模擬考試試卷（七市聯(lián)考）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.92.5 3. t67. -15 8. 1 9. 2310.13 11. 812. In 613.427Y 14. ( 81)15.解：（1）因?yàn)橄蛄縜= (cossin,兀sin ( a + -4) ,所以(b a) a = a - b -a2(2分）兀=cos a cos( a + ) + sin兀V2= cos

10、( -4) - 1= 2 - 1.(6兀s sin ( a + -4) (cos2 a + sin 2 a )(4 分)分）(2)因?yàn)閏=(1 , 1),所以兀b + c= (cos ( a + ) + 1 ,兀sin ( a + 4) + 1).兀因?yàn)?b+c) / a,所以cos ( a + ) + 1sin a sin兀t(a + ) + 1cos a = 0.(9 分)于是sin acos a = sin ( a兀+ - )cos4兀c - cos( a + -4)sin從而 2sin (兀4 ) = sin兀 |-ti-r7t1八下即 sin(a-T)=-.(12 分)因?yàn)?0Voe

11、 V 所以一 T a T0).2因?yàn)橛翼旤c(diǎn) A(a, 0)在圓C上，右準(zhǔn)線x=a與圓C： (x 3)2 + y2= 1相切, c(a 3) 2+02=1,所以a2解得a=2,于是b2=a2-c2=3,-3 =1,c=1.所以橢圓E的方程為x+y=1.(4分)43(2)(解法 1)設(shè) N(xn, yN) , M(xm, yM),顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x2).y=k （x-2）,由方程組x2 y2_1，16k2- 12消去 y,得（4k2+3）x216k2x+16k212=0.所以x2= 4k2+3 ,解得8k2-6xN=4k.（6 分）y = k （x 2） ,2222由

12、方程組（X3） 2+y21消去 V，得（k2+1）x2（4k2+6）x + 4k2+8=0,4k2+ 8所以xm - 2=卜2+ 12k2+4,解得xM=瓏+ 1 .（8分)1212因?yàn)?AN=/M 所以 2 xn= y（xM- 2）, （10 分）12122t. r,即E = 1；謖解得k=1.（12分） 所以直線l的方程為x y 2=0或x+y 2=0.(14分)(解法2)設(shè)N(xn, yN), M(xm, yM),當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，不符題意.設(shè)直線l的方程為x=ty+2(tw0).由方程組x= ty +222x y4+ 3= 1消去 x,得（3t 2+4）y2+12ty =0,所以1

13、2t 八yN= 3t 2 + 4.（6 分）x = ty + 2,222t由方程組；2 消去x,得（t 2+1）y22ty =0,所以yM= -7-.（8分）（x-3） +y=1,t + 11212因?yàn)?AN= yAM,所以 yN= - -yM.（10 分）12t3t 2+412 2t7.丁7，解得 t = 1.（12 分） 所以直線l的方程為x y 2=0或x+y 2=0.(14分)218.解：（1）因?yàn)?S*A ADE= Sa ABC, ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，又 AA x, 3所以1AD. AEE- sin 2（1X32Xsin 三）,所以 A已6.（2 分）233 23x0 AD

14、= x3,由x 得 2 x 3.0VAE= 6 -在4ADE中，因?yàn)辄c(diǎn) M為DE的中點(diǎn)，所以 AM= 2（A D+AE）. （8分） 所以 AM= 1（AD2+危+ 2AD- AE） =；（x2+3!+6）.所以，直道AM的長(zhǎng)度y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為丫2=、3 十 號(hào)+|, xC 2 , 3 . （10 分） 4x2（2）由（1）得，兩條直道的長(zhǎng)度之和為DE+ AM= ydy2=x2+36 6 + xx2 9 3 7+x2+2即=乖+乎（當(dāng)且僅當(dāng)x = x29旦4 = x2,x = d6時(shí)取=）.（14 分）答：當(dāng)AD=乖百米時(shí)，兩條直道的長(zhǎng)度之和取得最小值（46+弩）百米（16 分）19.

15、解：(1) 當(dāng) k=1 時(shí)，f(x) =x2 2ln x (k R),所以 f (x) = 2 (xT)(x+1)(x 0) .令 f (x) = 0,彳導(dǎo) x= 1.(2 分) x所以函數(shù)f(x)列表如下：x(0, 1)1(1 , +)f (x)一0十f(x)極小值尸在x = 1處取得極小值，極小值為 1,無極大值.(4分) 設(shè)xo是函數(shù)f(x)的一個(gè)“F點(diǎn)”(xo0).因?yàn)閒 (x)=2 (kx21)x(x 0),所以xo是函數(shù)f (x)的零點(diǎn).x0=i1.x0+2ln x 01 = 0.(6 分)所以 k 0.由 f (x o) = 0,得 kx0= 1, 由 f(x 0) = x0,得

16、 kx0 2ln x 0=x0,即 設(shè) 4 (x) = x+ 2ln x 1,則 4 (x) = 1 +10, 所以函數(shù)(j)(x)=x+2ln x - 1在(0 , + )上單調(diào)遞增，注意到 4(1) = 0, 所以方程x0+2ln x 01=0存在唯一實(shí)數(shù)根1,所以& =、=1,得k=1.根據(jù)知，k=1時(shí)，x= 1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以1是函數(shù)f(x)的F點(diǎn)”.綜上，實(shí)數(shù)k的值為1.(9分)(2) 因?yàn)?g(x) = ax3+bx2+cx(a , b, cC R a0), 所以 g (x) = 3ax2 + 2bx+c(a w0).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn) x 1和x

17、2,3ax2 + 2bx+c=0,所以x1, x2是關(guān)于x的方程 3+ b 2+ _的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.由 ax3+bx2+cx= x 得 x= 0,ax2+bx+c1 = 0.(11 分)當(dāng)x=0是函數(shù)g(x) 一個(gè)2b“F點(diǎn)”時(shí)，c=0且x = 不,3a所以a(一嘉刊號(hào))-1 = 0,即 9a = 2b2.2b福1又 |g(x 1) -g(x 2)| = |x 1-x2| = 所以 4b29a2,所以 9a22( 一9a).又 aw0,所以2Wav 0.(13 分)當(dāng)x= 0不是函數(shù)g(x) 一個(gè)F點(diǎn)”時(shí),3ax2+2bx+ c = 0,則x1, x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c _0的兩

18、個(gè)相異實(shí)數(shù)根.2bT=b,又aw0,所以c5=cf解得 3c=2所以 ax2=2,所以 |g(x 1) g(X2)|12a綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2, 0) . (16分) 20.(1) 解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)?=1, a4 = 1,所以q3=1,解得q = ! 882 1 一所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(2)nT.(3分)(2)證明：由 得，當(dāng) n2, nCN*時(shí)，(2) “一 + bn= 2S1 , 所以(J) n+ 5 + 1 = - 2Sn ,11 n一，得 bn+1-2bn=(2) , (5 分)所以bn+1bnnn_1(2)(2)rr bn+ 1 bn即彳an=1，*

19、nC N.因?yàn)?b1 = 1,由得 b2= 0,所以立一2= 0( 1) = 1,所以包- - = 1, n N*. a2 a1an+1 an-,bn所以數(shù)列 b是以一1為首項(xiàng)，1為公差為等差數(shù)列.(8分)aniI/口 bn ， n 2c1 . n1、n(3) 斛：由(2)倚 0=n 2 ,所以 bn= 2nT，Sn= 12(a n + 1 + bn+ 1)= 1 2( 27i+ -2) = 12nI.假設(shè)存在等差數(shù)列Cn,其通項(xiàng)cn=dn + c,使得X任意nCN*,都有S.Cn0,或d0,則當(dāng) n-, nC N(時(shí)，Cn= dn+ c1 Tn-i = an,這與 CnWan矛盾. d2(i

20、i)若 d nCN* 時(shí)，Cn=dn + cv1. d而 $+_&=_ n2n 1+ 2ny = P12nl. 0, S1 =$ S1 = - 1.故 cn= dn+cv 1 W S n ,這與 SnWcn 矛盾.所以d= 0.(12分)其次證明：當(dāng) x7 時(shí)，f(x) =(x1)ln 2 2ln x 0.因?yàn)閒 (x) = In 2 -1ln 2 -10,所以f(x)在7,十8)上單調(diào)遞增，x7所以當(dāng) x7 時(shí)，f(x) f(7) = 6ln 2 2ln 7 =ln 49。.所以當(dāng) n7, nCN*時(shí)，2n 1n2.(14 分)再次證明c= 0.(iii)若 c v 0 時(shí)，則當(dāng) n7, n

21、, neN, Sn = n-1 c,這與矛盾.c2 n(iv)若c0時(shí)，同(i)可得矛盾.所以c=0.1 n1 n-1當(dāng) cn=0 時(shí)，因?yàn)?Sn= 2n-1 W0, an = (2)0,所以對(duì)任意ne N*,都有SnWcnWan.所以cn=0, nCN*.綜上，存在唯一的等差數(shù)列cn,其通項(xiàng)公式為 cn=0, nC N*滿足題設(shè).(16分)2020屆高三模擬考試試卷（七市聯(lián)考）數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21. A.解:因?yàn)锳A 1=E,0所以a2ab= 1, 所以2a= 1解得1a 2所以b= 1.A=.(4.x設(shè)P（x , y）為曲線C上任一點(diǎn),則22-+y2=1.又設(shè)P（x , y）在

22、矩陣A變換作用下得到點(diǎn)Q(x, y)代入x1+yV,xy，= xx v=y=2y=x,2= 1,得 y2+x2= 1,所以曲線 G的方程為x2+ y2= 1.（10B.解：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為分）x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,于是曲線C: P = r（r 0）的直角坐標(biāo)方程為 x2 + y2=r2表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為 r的圓.（3分）由直線l的方程P cos（ 0 +寧）=*,化簡(jiǎn)得P I 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為 x-y-2 = 0.（6分） 記圓心到直線l的距離為d,則d = |2 = q2.cos 0cos7tpsinsin714又 r2=d2 +2,即 r2=2+7=

23、9,所以r = 3.(10分）C.證明：因?yàn)樗?22x y z1 + x2+ 1 + y2+ 1 + z2- 2，211.x.iT7+1T7+1T7 =1 近+1 1.(5 分)由柯西不等式得222x y z(1+ x2+ 1 + y2+ 1 + z2)( 1 + x- 1 + y2+ 1 + z12)封(2 + 2 + -2),1 + x 1 + y 1 + zx y z 2所以(/7+ 47+iTZ)wN所以/7+4啦.（10分）22.解：（1）記2家小店分別為 A B, A店有i人休假記為事件 A（i =01,2), B 店有i人休假記為事件 B（i =0, 1, 2）,發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的

24、概率為P則 p（Ao）= p（Bo）= c（2）2=4，P(Ai)=P(Bi)=d(2)2 = 2，P(A2)= P(B2)=c2(2)2=4.所以 P= P(AoB2) + P(A2Bo) =：X；+：X： = !4 4 4 4 8一，,，一，一1答：發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為主(4分)8(2)依題意，X的所有可能取值為0, 1, 2,則1 11P(X= 0) = p(A2R) =4X4= ,P(X= 1) = P(A1B) + P(A2B1) =1X1 + 1X1=1.4 2 2 4 411 11P(X = 2) = 1 P(X = 0) P(X= 1) = 1 而4= *8 分)所以X的分布列為X012P111116416111113所以 E(X)=2X +1X4 + 0X16=-8.(10 分)23.解：(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有(1 , 0) , (0 , 1) , (0 , 1) , (1 , 0),它們的范數(shù)依次為 1, 1, 1, 1,故4=4, R=4.(3分)(