偶然誤差的統(tǒng)計分析李要點

1、學號2008060105密級 *學院本科畢業(yè)論文偶然誤差的統(tǒng)計分析學院名稱. *學院專業(yè)名稱：物理學學生姓名7：*指導教J帀： *講師二O一二年三月BACHELORS DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYStatistical an alysis of ran domerrorCollege:*Subject:HpysicsName:LiDirected by :Zh LectureJune 2012鄭重聲明本人呈交的學位論文，是在導師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果， 所有數(shù)據(jù)、圖片資料真實可靠。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內容外，本學 位論

2、文的研究成果不包含他人享有著作權的內容。對本論文所涉及的研究工作做 出貢獻的其他個人和集體，均已在文中以明確的方式標明。本學位論文的知識產(chǎn) 權歸屬于培養(yǎng)單位。本人簽名： 日期：摘要當對同一物理量進行多次等精度的重復測量時，得到一系列不同的測量值， 每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個誤差出現(xiàn)后， 不能預定下一個誤差的大小和方向， 這種誤差稱為為偶然誤差。雖然單個測量值 的誤差我們無法確定，但就誤差的總體而言卻具有統(tǒng)計規(guī)律。本文通過單擺測當 地的重力加速度的實驗，通過該實驗所測得得實驗數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法來研究偶然誤 差的分布規(guī)律，加深對偶然誤差的研究和認識。（為了研究的方便，

3、在本研究中我們只考慮偶然誤差）關鍵字：偶然誤差單擺實驗 重力加速度實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計規(guī)律AbstractWhen the same physical quantity to be many ,precision when repeated measureme nts, obta ined a series of differe nt measureme nt values. Each measureme nt error ,the error was not determined by the law, namely before an error appears, cannot be schedu

4、led n ext error magn itude and directi on, this error is called for accide ntal error. Although the in dividual measuri ng value error we cannot be ide ntified ,but the overall error has statical regularity. Through measuring the local acceleration of gravity pen dulum experime nt, through the exper

5、ime ntal short experime ntal data using statistical methods to study the distribution law of accidental error, to deepen the research and understanding of accidental error.(For the convenience of research, in this study we con sider only accide ntal error.Keyword: random error, simple pendulum exper

6、iment, acceleration of gravity, experimental data, statistical regularity第1章實驗材料與方法的選擇 11.1實驗裝置 11.2實驗原理 錯誤！未定義書簽。1.3偶然誤差的統(tǒng)計分布規(guī) 錯誤！未定義書簽。1.4實驗內容 3第2章實驗數(shù)據(jù)記錄 4第3章實驗數(shù)據(jù)分析 83.1求重力加速度 83.2偶然誤差的分析 13第4章結論 16參考文獻 17致謝 18第 1 章 引言 一個物理量的測量，只有包括誤差在內的數(shù)據(jù)才有參考價值，誤差的大小 直接反應了該物理量的可信程度。 還可以幫助我們找到提高實驗質量的方法， 并 指導我們對實驗做

7、進一步的改進。偶然誤差是由很多未能掌握的或不便掌握的微小因素所構成的， 主要有以下 幾個方面：（ 1） 測量裝置方面的因素 各裝置配合的不穩(wěn)定性、裝置的變形、裝置表 面油膜不均勻、摩擦等。（ 2） 環(huán)境方面的因素 濕度的微小波動、濕度與氣壓的微量變化、光照強 度變化、空氣阻力及空氣流動的變化、灰塵以及電磁場變化等。（ 3） 人員方面的因素 實驗中操作及讀數(shù)的不準確等。 因此，在單擺實驗中選材和實驗環(huán)境是非常重要的。1第2章偶然誤差的統(tǒng)計分析2.1偶然誤差及統(tǒng)計分析的概念2.1.1偶然誤差對同一物理量進行多次等精度的重復測量時，得到一系列不同的測量值，每 個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確

8、定的規(guī)律，即前一個誤差出現(xiàn)后， 不能預定下一個誤差的大小和方向，這種誤差稱為為偶然誤差。2.1.2統(tǒng)計分析統(tǒng)計分析是指運用統(tǒng)計方法及與分析對象有關的知識，從定量與定性的結合上進行的研究活動。它是繼統(tǒng)計設計、統(tǒng)計調查、統(tǒng)計整理之后的一項十分重要 的工作，是在前幾個階段工作的基礎上通過分析從而達到對研究對象更為深刻的 認識。它又是在一定的選題下，集分析方案的設計、資料的搜集和整理而展開的 研究活動。系統(tǒng)、完善的資料是統(tǒng)計分析的必要條件。運用統(tǒng)計方法、定量與定性的結合是統(tǒng)計分析的重要特征。2.2實驗原理及內容2.2.1實驗裝置實驗主要裝置如圖1所示。單擺 裝置的調節(jié)：立柱鉛直，以擺球為重錘 調節(jié)底座

9、的水平螺絲，使擺線與立柱平 行。調節(jié)擺幅測量尺高度與鏡面位置， 擺幅標尺高度應使尺的上弧邊中點與 頂端懸線夾下平面間的距離為 50cm， 標尺面平面應垂直于頂端懸線夾的前 伸部分，因標尺上平面應與標尺平行， 鏡面上指標線如不在儀器的對稱中心 線上時，可在鏡框中稍微左右移動鏡片 位置，以達到處于中心位置為止。222實驗原理設秒表啟動和停止引起的計時誤差為 -：t ,如果直接測量周期T （來回擺動一 次的時間），則周期的測量誤差為 -;如果根據(jù)擺動周期的等時性，測量來回擺T動n次時間t，t = nT ,秒表啟動和停止引起的計時誤差仍為.：t，測量誤差變?yōu)?，當n較大時，1，從而提高了測量周期的精確

10、度，n愈大，測量的nTnT T精確度愈高。這種方法稱為積累放大法。把擺球拴在細線下端，如果細線的質量比小球小很多，而球的直徑又比細線 的長度小很多，則可看做是一個不計質量的細線系住一個質點。將懸掛的擺球自平衡位置拉至一邊（很小距離）然后釋放，擺球即在平衡位置左右往返作周期性 擺動。擺球所受的力f是重力P和繩子張力的合力，指向平衡位置。當擺角很小時(221)（二5。），圓弧可以近似看成直線，合力f也可以近似地看做沿著這一直線沿擺 長為L,擺球位移為x，質量為m，則f = Psin - -mg = -m xL L由 f =ma，可知：a - - gxL單擺在擺角很小時的運動，近似地為諧振動，式中負

11、號表示與位移方向相反。比較諧振動公式:可得于是單擺周期為(222)2(223)t2=( )Lg般做單擺實驗時，采用某一固定擺長（2.2.4）L （懸點到擺球球心的距離），盡可22能精密地多次測量周期T帶入式（2.2.4），即可求得重力加速度g 設一系列測得值為xi，平均值為X（用平均值代替真值），則測量中的偶然誤差g 為(225)根據(jù)貝塞爾公式:s =(2.2.6)圖可以計算出被測值的標準偏差。測量的很多數(shù)據(jù)在物理量的測量過程中，由于測量儀器、 實驗方法、環(huán)境狀態(tài)及觀測者等方面存在某些 不理想的情況，這些都會給測量結果帶來誤差 這些誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。系統(tǒng)誤差 可以盡量在測量過程中設法

12、消除，或者在測量 結果中予以修正；偶然誤差則必須給以估算。 一個物理量的測量，必須包括誤差估算在內的 不確定數(shù)據(jù)才有參考價值。不確定度的大小直 接反應了該物理量的可信賴程度。因此，我們 在進行物理實驗以前，弄清楚誤差和不確定度 的意義并學會其計算方法是非常必要的。本實 驗可了解偶然誤差的統(tǒng)計分析規(guī)律及偶然誤差 的估算方法。由誤差的理論知識可以知道對一個物理量只進行一次測量，偶然誤差的出現(xiàn)沒有任何規(guī)律性，其大小和正負都是不能預知的。但對一個物理量進行足夠多 次的測量則會發(fā)現(xiàn)他們的偶然誤差是按一定的統(tǒng)計規(guī)律分布的。即正方向和負方向誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，數(shù)值較小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)較多，很大的誤差在沒

13、 有錯誤的情況下通常不出現(xiàn)。這一規(guī)律在測量次數(shù)越多是表現(xiàn)的越明顯， 這被稱 為正態(tài)分布規(guī)律。222實驗內容在同一條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號保持不變，或在條件改 變時，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。此實驗是研究偶然誤差的規(guī)律性， 要求系統(tǒng)誤差盡量小，因而對每次測量都要認真，不要人為的有意選擇數(shù)據(jù)。時間測量誤差受兩個因素影響。一是表的分辨值。機械秒表的分辨值為0. 1 秒。電子秒表的分辨值為0. 01秒。后者比前者可以多讀一位有效數(shù)字.另一因 素是人按表動作產(chǎn)生的誤差。統(tǒng)計表明因為一次計時兩個按表動作將產(chǎn)生0. 2秒的誤差，這個誤差遠比兩種秒表由于自身分辨值不同所產(chǎn)生的誤差大許多

14、，所以選擇電子秒表時減少時間測量的相對誤差不起作用。 欲提高時間測量精度應排 除由于個人按表動作產(chǎn)生的誤差，選用光電門控制的數(shù)字計時器，并對顯示位數(shù) 加以選擇?？梢詼p少計時誤差。本實驗用電子秒表測量單擺的周期， 當擺長不變，擺角保持一定時，擺角的 周期是一個恒量，實驗中以擺角經(jīng)過平衡位置是作為計時的起停點， 按動秒表來 記錄擺動的周期T，重復測量多次。根據(jù)測量結果，計算平均值，標準偏差S,和 極限誤差3 St，并將統(tǒng)計測量值落在T+St和T+3St范圍內的概率，做偶然誤差 分布的統(tǒng)計直方圖。步驟：(1) 安裝和調整單擺裝置，了解各個裝置的使用方法和功能。(2) 測量擺長L。擺長L為擺線支點與擺

15、球質心之間的距離 L =丨丄d,用2 鋼卷尺測量丨的長度，用游標卡尺測擺球的直徑d。(3) 讓單擺作小角度(二擺動，用電子秒表測擺動30次所需要的時50t30間t30，重復測量50次，記錄數(shù)據(jù)，求出平均值T,T 丄30 50(4) 為了更好的顯示出偶然誤差的規(guī)律將實驗做進一步改進，擺長不變，讓單擺作小角度(二5 擺動，用周期測定儀測擺動 30次所需的時間tao，重 復測量80次，記錄數(shù)據(jù)。(5) 擺長不變，讓單擺作大角度(二5 :J擺動，擺動30次所需要的時間tao，10 t30 重復測量10次，記錄數(shù)據(jù)，求出平均值T,=&一30心02.3實驗數(shù)據(jù)記錄實驗中擺線丨=116.50cm，小球直徑d

16、 =1 . 6c6m 貝U擺長1L 二 l=d124.80cm。2：5 :時，用電子秒表測得的50組數(shù)據(jù)如表1:表1nt(s)T(s)aT165.292.17633-0.00437265.232.17433-0.00237365.122.170670.001293465.212.17367-0.00171565.102.170000.00196665.022.167330.004627765.172.17233-0.00037865.202.17333-0.00137965.082.169330.0026271065.242.17467-0.002711165.302.17667-0.0047

17、11265.272.17567-0.003711365.112.170330.0016271465.152.171670.0002931565.102.170000.001961665.202.17333-0.001371765.202.17333-0.001371865.372.17900-0.007041965.192.17300-0.001042065.112.170330.0016272165.092.169670.0022932265.302.17667-0.004712365.142.171330.0006272465.272.17567-0.003712565.152.17167

18、0.0002932665.152.171670.0002932765.112.170330.0016272865.082.169330.0026272965.172.17233-0.000373065.132.171000.000963165.072.169000.002963265.122.170670.0012933365.142.171330.0006273465.112.170330.0016273565.042.168000.003963665.092.169670.0022933765.132.171000.000963865.172.17233-0.000373965.112.1

19、70330.0016274065.162.17200-4E-054165.152.171670.0002934265.042.168000.003964365.212.17367-0.001714465.112.170330.0016274565.152.171670.0002934665.102.170000.001964765.202.17333-0.001374865.192.17300-0.001044965.222.17400-0.002045065.182.17267-0.0007150t30時間的算術平均值即平均周期 二亠 =2.17196s30 漢 50二-5 :時，用周期測定

20、儀測得的50組數(shù)據(jù)如表2:表2nt(s)T(s)CTT165.052.1683330.000563265.072.169-0.0001365.072.169-0.0001465.062.1686670.000229565.062.1686670.000229665.062.1686670.000229765.072.169-0.0001865.062.1686670.000229965.072.169-0.00011065.052.1683330.0005631165.082.169333-0.000441265.062.1686670.0002291365.062.1686670.00022

21、91465.072.169-0.00011565.082.169333-0.000441665.082.169333-0.000441765.072.169-0.00011865.062.1686670.0002291965.062.1686670.0002292065.052.1683330.0005632165.092.169667-0.000772265.072.169-0.00012365.072.169-0.00012465.062.1686670.0002292565.052.1683330.0005632665.082.169333-0.000442765.072.169-0.0

22、0012865.072.169-0.00012965.062.1686670.0002293065.072.169-0.00013165.072.169-0.00013265.082.169333-0.000443365.082.169333-0.000443465.072.169-0.00013565.072.169-0.00013665.082.169333-0.000443765.082.169333-0.000443865.062.1686670.0002293965.062.1686670.0002294065.072.169-0.00014165.082.169333-0.0004

23、44265.082.169333-0.000444365.072.169-0.00014465.052.1683330.0005634565.082.169333-0.000444665.072.169-0.00014765.062.1686670.0002294865.072.169-0.00014965.062.1686670.0002295065.072.169-0.00015165.072.169-0.00015265.062.1686670.0002295365.072.169-0.00015465.062.1686670.0002295565.072.169-0.00015665.

24、082.169333-0.000445765.052.1683330.0005635865.082.169333-0.000445965.072.169-0.00016065.082.169333-0.000446165.062.1686670.0002296265.072.169-0.00016365.082.169333-0.000446465.082.169333-0.000446565.072.169-0.00016665.072.169-0.00016765.062.1686670.0002296865.062.1686670.0002296965.052.1683330.00056

25、37065.052.1683330.0005637165.082.169333-0.000447265.052.1683330.0005637365.072.169-0.00017465.062.1686670.0002297565.072.169-0.00017665.062.1686670.0002297765.072.169-0.00017865.052.1683330.0005637965.062.1686670.0002298065.052.1683330.00056350時間的算術平均值即平均周期 二4=2.168896s。30 漢 50二5 :時，用周期測定儀測得的10組數(shù)據(jù)如表

26、3:表3nt(s)T(s)CTT165.132.1710000.0002265.152.171667-0.00047365.132.1710000.0002465.142.171333-0.00013565.132.1710000.0002665.152.171667-0.00047765.132.1710000.0002865.142.171333-0.00013965.132.1710000.00021065.152.171667-0.0004710二.t30時間的算術平均值即平均周期 二上=2.17120$。30S02.4實驗數(shù)據(jù)分析2.4.1偶然誤差的分析501 t30(1) 求表1中

27、時間的算術平均值即平均周期二亠=2.17196s。根據(jù)式30 匯 50(2.2.5)計算得出二T的值，填入表1。并根據(jù)二T的值畫出二T 一 n折線圖差誤然偶0.0060.0040.0020-0.002-0.004-0.006-0.008n(2)為了便于與表1中的數(shù)據(jù)進行比較，取表2中的前50組數(shù)據(jù)進行計算 表4nt(s)T(s)CJT165.052.1683330.000639265.072.169-2.8E-05365.072.169-2.8E-05465.062.1686670.000305565.062.1686670.000305665.062.1686670.000305765.07

28、2.169-2.8E-05865.062.1686670.000305965.072.169-2.8E-051065.052.1683330.0006391165.082.169333-0.000361265.062.1686670.0003051365.062.1686670.0003051465.072.169-2.8E-051565.082.169333-0.000361665.082.169333-0.000361765.072.169-2.8E-051865.062.1686670.0003051965.062.1686670.0003052065.052.1683330.00063

29、92165.092.169667-0.000692265.072.169-2.8E-052365.072.169-2.8E-052465.062.1686670.0003052565.052.1683330.0006392665.082.169333-0.000362765.072.169-2.8E-052865.072.169-2.8E-052965.062.1686670.0003053065.072.169-2.8E-053165.072.169-2.8E-053265.082.169333-0.000363365.082.169333-0.000363465.072.169-2.8E-

30、053565.072.169-2.8E-053665.082.169333-0.000363765.082.169333-0.000363865.062.1686670.0003053965.062.1686670.0003054065.072.169-2.8E-054165.082.169333-0.000364265.082.169333-0.000364365.072.169-2.8E-054465.052.1683330.0006394565.082.169333-0.000364665.072.169-2.8E-054765.062.1686670.0003054865.072.16

31、9-2.8E-054965.062.1686670.0003055065.072.169-2.8E-0550二 t30時間的算術平均值即平均周期 二亠 =2.168927s30漢50根據(jù)式（2.2.5）計算得出二t的值，填入表2。并根據(jù)二t的值畫出二T 一 n折線差誤然偶0.00080.00060.00040.00020-0.0002-0.0004-0.0006n-0.0008取二=3.14159。周期 T=2.06420s時，根據(jù)（4）式得： g 二4 冷=9.794984ms2根據(jù)表一中的時間t求得周期T,然后將T帶入（4）式，計算出各個g值 填入表一。由表一得：重力加速度的算術平均值g=

32、9.794982m s2。用算術平均值代替真值, 求出重力加速度g的偶然誤差飛二g -6.如下表（2）表（2）g(m/s2)右g19.794614-0.0005729.794994-0.0001939.794045-0.0011449.7959430.00076159.793096-0.0020969.7961330.00095179.794804-0.0003889.8199060.02472499.793855-0.00133109.794045-0.00114119.794235-0.00095129.7961330.000951139.7957530.000571149.794614-

33、0.00057159.7953730.000191169.7955630.000381179.794235-0.00095189.7953730.000191199.7957530.000571209.793476-0.00171219.7968920.00171229.7951841.65E-06239.794994-0.00019249.7961330.000951259.793855-0.00133269.7957530.000571279.7955630.000381289.7955630.000381299.794994-0.00019309.794804-0.00038319.79

34、4614-0.00057329.7951840.00000165339.7953730.000191349.7955630.000381359.7993610.004179369.780016-0.01517379.794994-0.00019389.7974620.00228399.790639-0.00455409.792717-0.00247419.7974620.00228429.793476-0.00171439.7997410.004559449.7976520.00247459.789492-0.00569469.790250-0.00493479.8010700.0058884

35、89.789302-0.00588499.791009-0.00417509.7980310.002849根據(jù)貝塞爾公式:5050 n(5)可以計算出時間t的標準誤差。50 nJ 1010 50| 2 2 2 2 2(0.00057)(0.00019)(0.00114) 川(0.00417)(0.002849)q50 漢 50=0.000663817由此可得：g =（9.794984 _ 0.000663817） m.S22.4.2偶然誤差的分析時間的算術平均值T=2.06420s。用算術平均值代替真值，求出時間t的偶然 誤差匚T =T -T .如下表（3）。表（3）t(s)Ta1103.21

36、32.064260.000062103.2112.064220.000023103.2162.064320.000124103.2062.06412-0.000085103.2212.064420.000226103.2052.0641-0.00017103.2122.064240.000048103.082.0616-0.00269103.2172.064340.0001410103.2162.064320.0001211103.2152.06430.000112103.2052.0641-0.000113103.2072.06414-0.0000614103.2132.064260.000

37、0615103.2092.06418-0.0000216103.2082.06416-0.0000417103.2152.06430.000118103.2092.06418-0.0000219103.2072.06414-0.0000620103.2192.064380.0001821103.2012.06402-0.0001822103.2102.0642023103.2112.064220.0000224103.2052.0641-0.000125103.2172.064340.0001426103.2072.06414-0.0000627103.2082.06416-0.0000428

38、103.2082.06416-0.0000429103.2112.064220.0000230103.2122.064240.0000431103.2132.064260.0000632103.2102.0642033103.2092.06418-0.0000234103.2082.06416-0.0000435103.1882.06376-0.0004436103.2902.06580.001637103.2112.064220.0000238103.1982.06396-0.0002439103.2342.064680.0004840103.2232.064460.0002641103.1982.06396-0.0002442103.2192.064380.0001843103.1862.06372-0.0004844103.1972.06394-0.0002645103