全等三角形中做輔助線總結(jié)

1、BAAAEBB0 BEACDO接DCDE4-2ECID全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總口訣:三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn) 線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。一、由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)

2、到角兩邊的距離相等。對(duì)于 有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線； 利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造 對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（）、截取構(gòu)全等如圖1-1，/ AOCh BOC如取OE=OF并連DF,則有 OEDA OFD從而為我們證明線段、 角相等創(chuàng)造了條件。如圖 1-2，ABAC3.已知：如圖 2-5, / BACK CAD,AB>ADC E 丄 AB,1AE=2 (AB+AD .求證：/ D+Z B=18Q

3、4.已知：如圖2-6,在正方形ABC沖，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，/ FAEW DAE求證：AF=AD+CF例1.已知：如圖2-7，在Rt ABC中，/ ACB=90,CD_AB,垂足為 D, AE平分/ CAB1交 CD于 F,過(guò) F 作 FH2 證：BD=2CE例3.已知：如圖3-3在厶ABC中, AD AE分別/ BAC的內(nèi)、A外角平分線，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD交AD的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于 M求證：AM二MEBBECFC圖示3-1分析：由AD AE是/ BAC內(nèi)外角平分線，可得EA1111丄AF,從而有BF2 2 2 2知，如圖，Z C=2ZA，AC=B2BC求證： AB

4、C是直角三角形。CCEACBN 圖 3-3圖3-42.已知：如圖，AB=2ACZ仁/2，DA=DB求證：DAC丄ACB2CBC=AB+ADB3.已知 CE AD®ABC的角平分線，/ B=60，求證：AC=AE+CD4.已知：如圖在厶 ABC中，/ A=90，AB=AC BD是/ ABC的由線段和差想到的輔助線C口訣：線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;圖1 1 GFC（1）圖212、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另

5、一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之 差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)， 如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的 不等關(guān)系證明，如：例 1、 已知如圖 1-1 : D EABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC于 M N,在厶 AMN中，AM+AN>MD+DE+NE；）在厶 BDM中, MB+MD>B（2）在厶 CEN中, C

6、N+NE>CE（ 3）由（1）+（ 2）+（ 3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC(法二：圖 1-2 )延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G 在厶ABF和 和厶GDE中有：AB+AF>BD+DG+G三角形兩邊之和大于第三邊)GF+FOGE+CEC上) (2)DG+GE>D0同上)(3)由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+)EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi) 如直接證不出來(lái)時(shí)，可連

7、接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的 外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1 :已知DABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDC2 BAC分析：因?yàn)? BDC與/ BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置;證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDOA EDC勺外角，/ BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC :丄 BDC2 BAC證法二：連接AD并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/ BDF是 ABD的夕卜角，/ BDFX BAD 同理，/ CDF2 CAD BD

8、F+/ CDF* BAD/ CAD 即：/ BDC2 BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)， 通常將大角放在某三角形的外角位置上, 小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段,例如：如圖3-1 :已知ADABC的中線，且/ 1 =構(gòu)造全等三角形，如:3=/ 4,求證：BE+CF>EF分析：要證BE+CF>EJF可利用三角形三邊關(guān)系定理須把BE, CF, EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知/ 仁/ 3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角A證明，EFB1D 圖3/ 2，形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN FN, EF移到同個(gè)

9、三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=D C在厶 DBEfy NDE中:f DN=D（輔助線作法）/ 1 = / 2 （已知）ED=E（公共邊） DBEA NDE（ SAS BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在厶EFN中EN+FN>E（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CF>EF注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 :在 ABC中，AB>AC/仁/ 2, P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-RC分分

10、析）要證：AB-AOPB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段 之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC,得 AB-AC=BN 再連接 PN,貝U PC=PN 又在 PNB中, PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取 AN=AC 連接PN,在mPN和/1APC中'AN二AC （輔助線作法）./仁Z2 （已知）AP=AP （公共邊）ZAPN幻APC （SAS） ,APC=PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）T在ZBPN中，有PB-PNvBN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PCvAB-A

11、C證明：（補(bǔ)短法）A延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，在ABP 和Z1AMP 中-.B圖 6 1M'AB二AM （輔助線作法）/仁Z2 （已知）AP=AP （公共邊）z.zABP 望AMP （SAS）PB二PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又.在ZPCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）AB-AC>PB-PC例 1 如圖，AC 平分/ BAD CEL AB,且/ B+Z D=180，求證：AE=AD+BE例2如圖，在四邊形 ABC沖，AC平分Z BAD求證：Z ADCZ B=180o例3已知：如圖，等腰三角形 ABC中, AB=A108°，BD平分

12、 ABC求證：BC=AB+DC例 4如圖，已知 Rt ABC中, Z ACB=90，AD是ZC,A=CAB的平分線,DML AB于 M,且 AM=MB 求證:例:方法方法ABC 中,AD是 BAC的平分線，且 BD=CD求證CAB二ACAA1： 作 DEI AB于 E,作 DFL AC于 F，2:輔助線同上，利用面積C【夯實(shí)基礎(chǔ)】方法3:倍長(zhǎng)中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法倍長(zhǎng)中線A ABC中方式1:延長(zhǎng)AD是 BC邊中線使DE=A,EBE方式2:間接倍長(zhǎng)作CFLAD于 F,延長(zhǎng)MD到N,作BE! AD的延長(zhǎng)線于 E使DN=MD連接BE連接CD【經(jīng)典例題】例： ABC中，AB=5, AC

13、=3求中線 AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長(zhǎng)中線 AD利用三角形兩邊之和大于第三邊例2:已知在 ABC中 , AB=AC D在AB上,E在AC的延長(zhǎng)線上,DE交BC于F,且DF=EF 求證：BD=CE方法1:過(guò)D作DG/ AE交BC于G,證明 DGFA CEFC方法2:過(guò)E作EG/ AB交BC的延長(zhǎng)線于 G,證明A EfGA DF方法3:過(guò)D作DGLBC于G,過(guò)E作EFUBC的延長(zhǎng)線于 H證明 A BDGA ECH例3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn),且BE二AC延長(zhǎng)BE交AC于F,求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng) AD至G,連接BQ證明A BDGA CDA三角形BEG是等

14、腰三角形例4:已知：如圖，在 ABC中，AB AC , D、E在BC上,且DE=EC過(guò)D作DF / BA交AE于點(diǎn)F ,DF=AC.求證：AE平分 BAC第1題圖提示:方法1:倍長(zhǎng)AE至G,連結(jié)DG方法2:倍長(zhǎng)FE至H ,連結(jié)CH例5:已知CD=AB / BDA玄BAD AE是厶ABD的中線，求證：/ C=Z BAE提示：倍長(zhǎng)AE至F,連結(jié)DF證明 A ABEA FDE( SAS進(jìn)而證明 A ADFA ADC( SAS【融會(huì)貫通】1、在四邊形 ABCD中，AB/ DC, E為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE玄EAF AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論

15、提示：延長(zhǎng)AE DF交于G證明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FC2、如圖，AD為 ABC的中線，DE平分 BDA交AB 于 E,DF平分 ADC交AC于F.求證：BE CF EF提示:方法1:在DA上截取DG=BD連結(jié)EG FG證明 BDEA GDB DCFA DGF所以 BE=EG CF=FG利用二角形兩邊之和大于第二邊方法2 :倍長(zhǎng)ED至H,連結(jié)CHFH側(cè),證明 FH=EF CH=BE利用二角形兩邊之和大于第二邊3、已知：如圖，ABC中, C=90,CMA于 M, AT平分 BAC交 CM于 D,交 BC于 T，過(guò)D作DE提示：過(guò)T作TN丄AB于證明 A BTNA ECD1.如

16、圖，AB/ CD AE DE分別平分/ BAD各Z ADE 求證：AD=AB+CDB, C在AE的異BEB2.如圖， ABC中，Z BAC=90 , AB二AC AE是過(guò)A的一條直線,BDL AE于 D, CEL AE于 E。求證：BD=DE+CE四、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的 中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊 中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形J.即如圖

17、1, AD是 ABC的中線，則Saabd=Sacd=二Saabc （因?yàn)?ABD與 ACD是等底同高 的）。例1.如圖2，A ABC中, AD是中線，延長(zhǎng) AD到E,使DE=AD DF是A DCE的中線。 已知A ABC的面積為2,求：A CDF的面積。解：因?yàn)锳D是A ABC勺中線，所以Saac= SaabcF1 X 2=1,又因CD是A ACE的中線， 故 Sacde=Saac=1 ,因 DF是 A CDE勺中線，所以 Sacdi= Sacde=_ X 1=.。A CDF的面積為 。2（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形 ABCD中, AB=CD E、F分別是BC

18、AD的中點(diǎn)，BA CD的延 長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線 G H。求證：/ BGEM CHE證明：連結(jié)BD并取BD的中點(diǎn)為M 連結(jié)ME MF ME是 A BCD的中位線， ME . CDMEFM CHE MF是 A ABD的中位線， M已 AB,MFEM BGE AB=CD： ME=M, / MEFM MFE從而/ BGEM CHE（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3.圖4,已知 ABC中, AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) AD至U E,使 DE=AD 貝U AE=2AD=£2=4。在 ACD和 EBD中, AD=ED / ADCM EDB CD=BD ACDA

19、EBD 二 AC=BE從而 BE=AC=3在 A ABE中 ,因 aE+bE=42+32=25=aB,故/ E=90° , BD='=：=丄，故 BC=2BD=2-。AD又是BC邊上I .備|-:1 k 圖5例4 .如圖5 ,已知A ABC中 , AD是/ BAC的平分線, 的中線。求證：A ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到 E ,使DE=AD仿例3可證：A BEDA CAD故 EB=AC / E=Z 2 ,又/仁/ 2 ,/ 仁/ E , AB=EB從而AB=AC即A ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)| 1FMECDDCD:B圖51E A| 例5.如

20、圖6 ,已知梯形ABCD中 , AB 2:如 圖, ABC中,E、F 分別在 AB AC 上,DEL DF, D 是中點(diǎn),試比較 BE+CF與 EF的大小.3:如圖, ABC中 , BD=DC=ACE是 DC的中點(diǎn), 求證：AD平分/ BAE.中考應(yīng)用(09崇文二模)以ABC的兩邊ABAC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE ,BAD CAE 90 ,連接DE M N分別是BC DE的中點(diǎn)探究：AM與 DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖當(dāng) ABC為直角三角形時(shí)，AM與 DE的位置關(guān)系是, 線段AM與 DE的數(shù)量關(guān)系是；(2)將圖中的等腰Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<

21、; <90)后，如圖所示,(1)問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由.(二)、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖,ABC 中, AB=2AC AD平分 BAC , 且 AD=BD 求證：CD!AC2:如圖,AC/ BD, EA,EB分別平分/ CAB,/ DBA CD過(guò)點(diǎn) E,求證;AB = AC+BDA3:如圖,已知在D ABC 內(nèi),CA上，并且AP, BQ分別是BAC證：BQ+AQ=AB+BP4:如圖，在四邊形ABCD中ABC，求證：A C 1805:如圖在 ABC 中，AB> AC,點(diǎn)，求證；AB-AC> PB-PC中考應(yīng)用(08海淀一模)例題講解:、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形B

22、 D平分QBO BA,AD= CDAD上任意一為/ 1 = / 2, PC,ABC的角平0BAC 60P, Q分別在BC,A分線。求C 400當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖中，若/ AB(= 2/ C,如果作BD平分/ ABC則厶DBC是等B BCC如圖中,點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)B3、如圖，AD平分Z BAC EF/ AD則厶AGE是等腰三角形.C中, A養(yǎng)ACC上取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作EFXBC/ 交 BA的延長(zhǎng)線于腰三角形;如圖中，若/ ABC= 2/ C,如果延長(zhǎng)線 CB到D,使BD= BA連結(jié)AD則厶ADC 是等腰三角形；如圖中，若/ B=

23、2/ ACB如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊， 在形外作紋.ACDZ ACB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則厶DBC是等腰三角形.X、如SAABC中, B= AC BDL AC 交AC 于 D求證：/BCDBCB2、如圖， ABC中, Z AC*2/ B, BO2AC求證：/ A= 90°二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形如圖中，若 AD平分Z BAC AD/ EC則厶ACE是等腰三角形;如圖中，AD平分Z BAC DE/ AC則厶ADE是等腰三角形;如圖中,AD平分Z BAC CE/ AB,則厶ACE是等腰三角形;C

24、CD三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形若AD平分Z BAC AD丄DC,則厶AEC是等腰三角形.4、如圖， ABC中，AD平分Z BAC E、F分別在 BD AD上,且 DE= CD EF*AC求證：EF/ ABBE當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形L1 中,E D C 圖15、如圖 2,已知等腰 Rt ABC中，A養(yǎng) AC Z BAE90°, BF平分Z ABC CDLBD交BF的延長(zhǎng)線于D。求證：BF* 2CD四：其他方法總結(jié)1 .截長(zhǎng)補(bǔ)短法6、如圖，已知：正方形 ABCD中, Z BAC的平分線交 BC于E,求證：AB+BE=AC2.倍長(zhǎng)中線法題

25、中條件若有中線，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形,件集中在一個(gè)三角形內(nèi)CEFCRt ,BA7、如圖（7）人。是厶ABC的中線，BE交AC于E,交AD于 F，且AE=EF求證：AC=BF8、已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為 直角三角形，如圖，求證EF= 2ABB若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)3平行線法（或平移法）有時(shí)可作出斜邊的中線.C9、AABC中, Z BAC=60，Z C=40° AP平分Z BAC交 BC于 P，BQ平分Z ABC交 AC于 Q,求證：AB+BP二BQ+AQ說(shuō)明： 本題也可以在 AB截取AD二AQ連OD構(gòu)造全等三角形，即

26、“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”.B如圖（1），過(guò)O作OD/ BC交AC于。，則厶ABO來(lái)解決. %（ 2）B本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下:如圖（2），過(guò)O作DE/ BC交AB于D,交AC于E，長(zhǎng)為24,那么AD的長(zhǎng)為則厶 AD3A AQO AB3A AEC來(lái)解決. 如圖（3）,過(guò)P作PD/ BQ交AB的延長(zhǎng)線于。，則厶APDA APC來(lái)解決.如圖（4）,過(guò)P作PD/ BQ交AC于。，則厶ABPA ADP來(lái)解決.10、已知：如圖，在 ABC中，/ A的平分線 AD交BC于D,且 AB=AD作pCMLADC 圖（4）交AD的延長(zhǎng)于M求證：AM=1 （AB+AC2鞏固練習(xí)D1、（2009年浙江省紹興市）如圖，D，E分別為 ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，將此、，貝V APD等于（）三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若 CDE48A. 42° B. 48° C. 52 &#