大學(xué)物理第05章_剛體轉(zhuǎn)動

1、第第5章剛體的轉(zhuǎn)動章剛體的轉(zhuǎn)動本章內(nèi)容本章內(nèi)容5.1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述5.2 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量及計(jì)算慣量及計(jì)算5.3 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律5.4 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用5.5 角動量守恒角動量守恒5.6 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能5.7* 進(jìn)動進(jìn)動剛體可以看成是很多質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系，且剛體可以看成是很多質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系，且在外力作用下，各個質(zhì)元的相對位置保持不在外力作用下，各個質(zhì)元的相對位置保持不變變剛體剛體 在受力時不改變形狀和體積的物體在受力時不改變形狀和體積的物體剛體是固體物件的理想化模型剛體是固體物件的理想化模型平動和轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動平動：平動： 剛體在運(yùn)動過程中，其上任意兩

2、點(diǎn)的連線剛體在運(yùn)動過程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。始終保持平行?？梢杂觅|(zhì)點(diǎn)動力學(xué)可以用質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的方法來處理剛體的方法來處理剛體的平動問題。的平動問題。注：注：轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動： 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動。這種運(yùn)動稱為剛體的周運(yùn)動。這種運(yùn)動稱為剛體的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。這。這條直線稱為條直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。ddtP點(diǎn)線速度點(diǎn)線速度vrrP點(diǎn)線加速度點(diǎn)線加速度advdtddtrdrdtrv旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)(切向切向)加速度加速度向軸向軸(法向法向)加速度加速度瞬時軸瞬時軸v rrP 基點(diǎn)基點(diǎn)O剛體剛體剛體繞剛體繞

3、O的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，反映順時軸可以改變的，反映順時軸的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和角加速度矢量度矢量 質(zhì)元：質(zhì)元：組成物體的微顆粒元組成物體的微顆粒元質(zhì)元對點(diǎn)的角動量為質(zhì)元對點(diǎn)的角動量為 iiiimRLviiiiRmLv沿轉(zhuǎn)軸沿轉(zhuǎn)軸Oz的投影為的投影為iL)2cos(iizLLsiniiiRmvziLOxyimiriRiviiirmv2iirmizL剛體對剛體對Oz軸的角動量為軸的角動量為 iiiiiiiizzrmrmLL)(22令iiizrmJ2為剛體對為剛體對 Oz 軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量。 zJzzJL 2mkg剛體的

4、轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 結(jié)論：結(jié)論：對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體： 22SSJr dmrdS（面質(zhì)量分布）（面質(zhì)量分布）LLdlrdmrJ22（線質(zhì)量分布）（線質(zhì)量分布）VVdVrdmrJ22（體質(zhì)量分布）（體質(zhì)量分布）計(jì)算質(zhì)量為計(jì)算質(zhì)量為m，長為，長為l 的細(xì)棒繞一端的轉(zhuǎn)動慣量。的細(xì)棒繞一端的轉(zhuǎn)動慣量。oxzdxdmxmrJd2解：解：mmxxlddd22xr llxlmxlmxJ030231d 231mlJ O1.將棒彎一半成將棒彎一半成90度度;2.將將Z軸移至細(xì)棒中心位

5、置軸移至細(xì)棒中心位置;21(2)12JmloR例例2. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中的均勻圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的心并與盤面垂直的Z軸轉(zhuǎn)動慣量。軸轉(zhuǎn)動慣量。解：解：rrmd2dmrJd2rr d23RrrJ03d224212mRRrdr1. 將圓盤切成一半將圓盤切成一半;2. 將軸平行移至與盤邊緣相將軸平行移至與盤邊緣相切處切處; 3.將將Z軸移至通過圓心并在圓面上軸移至通過圓心并在圓面上;mRJz z平行軸定理平行軸定理 若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為J Jc c，則剛，則剛體對與該軸相距為體對與該軸相距為d d的平行軸的平

6、行軸z z的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J Jz z是是2mdJJczJc c221mRJc2221mRmRJz223mR平行軸定理證明平行軸定理證明: :dimiririixZCJCJ平行平行2Zi iiJm r222222cos2iiiiiirrddrrddx22(2)ZiiiiJm rddx222Zi iiiiiiiJm rm ddm x2ZCJJmd=m質(zhì)心質(zhì)心=0 對薄平板剛體的正交軸定理對薄平板剛體的正交軸定理 y rix z yi xi mi 2Zi iJm r22iiiim xm yxyJJ例例3. 已知圓盤已知圓盤JZ=0.5mR2, 求對圓盤的一條直徑的求對圓盤的一條直徑的Jx yx

7、 z 圓盤圓盤 R C m由由JJJJJJJmRzyxxyxy 142回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑設(shè)物體的總質(zhì)量為設(shè)物體的總質(zhì)量為m，剛體對給定軸的轉(zhuǎn)動慣量，剛體對給定軸的轉(zhuǎn)動慣量為為J，則定義物體對該轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑，則定義物體對該轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑rG G為：為：mJrG2GmrJ zGr例例4. 計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為半徑為r，擺桿質(zhì)量也為，擺桿質(zhì)量也為m，長度為，長度為2r）ro擺桿轉(zhuǎn)動慣量：擺桿轉(zhuǎn)動慣量：22134231mrrmJ擺錘轉(zhuǎn)動慣量：擺錘轉(zhuǎn)動慣量：22222219321mrrmmrmdJJc2222166521934mrmrmr

8、JJJ解題思路解題思路1. 確定研究對象屬性確定研究對象屬性;2. 寫出擺桿轉(zhuǎn)動慣量寫出擺桿轉(zhuǎn)動慣量;3. 寫出擺錘轉(zhuǎn)動慣量寫出擺錘轉(zhuǎn)動慣量;4. 計(jì)算鐘擺轉(zhuǎn)動慣量計(jì)算鐘擺轉(zhuǎn)動慣量;由質(zhì)點(diǎn)系對軸的角動量定理，可得由質(zhì)點(diǎn)系對軸的角動量定理，可得dd()ddzzzLJMtt兩邊乘以兩邊乘以dt，并積分，并積分 2121dtzzztMtLL剛體對定軸的角動量定理：剛體對定軸的角動量定理：在某一時間段內(nèi)，作用在某一時間段內(nèi)，作用在剛體上的外力之沖量矩等于剛體的角動量增量。在剛體上的外力之沖量矩等于剛體的角動量增量。當(dāng)當(dāng) J 轉(zhuǎn)動慣量是一個恒量時，有轉(zhuǎn)動慣量是一個恒量時，有tJMdd或或JM 剛體在作定

9、軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動慣量 J 是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度 例例5. 質(zhì)量為質(zhì)量為M =16 kg的實(shí)心滑輪，半徑為的實(shí)心滑輪，半徑為R = 0.15 m。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m的物體。求的物體。求（1）由靜止開始）由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。（秒鐘后，物體下降的距離。（2）繩）繩子的張力。子的張力。解：maTmgMTR12TMa252mgam smM212.52hatm40TNMmmgTm1

10、?212MRJ212aMRR例例6.一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，長為，長為l 的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在o點(diǎn)，距點(diǎn)，距A端端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞。今使棒從靜止開始由水平位置繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動，點(diǎn)轉(zhuǎn)動，求：（求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直）垂直位置時的角速度和角加速度。位置時的角速度和角加速度。解：2mdJJco2220916121mllmmlJ（1）0olgmlmglJM239620coBA（2）dtdJMddmldtdmllmg229191cos6dlgdcos23dlgdcos23200lglg23sin2321202lg30co

11、BA例例7. 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為水平面上。若它的初速度為 o，繞中，繞中o心旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)心旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為過多長時間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為 ）or解解rdmgrdFdM22d22dRrmrdrrRmm22d2dRrgrmM220223RmgrrMMmgRRdddrRtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttd43dgRt gRt4302121dtzzztMtLL剛體對定軸的角動量定理剛體對定軸的角動量定理 JLz恒量恒量0zM當(dāng)時剛體對定軸的角動量守恒定律： 當(dāng)

12、剛體所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時，當(dāng)剛體所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時，剛體對該轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。剛體對該轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。 注意：注意：該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動的任意物體系統(tǒng)。定軸轉(zhuǎn)動的任意物體系統(tǒng)。 說明：說明：1. 物體繞定軸轉(zhuǎn)動時角動量守恒是指轉(zhuǎn)動慣量物體繞定軸轉(zhuǎn)動時角動量守恒是指轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積不變。方向也不變。和角速度的乘積不變。方向也不變。2. 幾個物體組成的系統(tǒng)，幾個物體組成的系統(tǒng)，繞一公共軸轉(zhuǎn)動，則對該繞一公共軸轉(zhuǎn)動，則對該公共轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零公共轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，該系統(tǒng)對此軸的總角時，

13、該系統(tǒng)對此軸的總角動量守恒動量守恒iiiJ恒量常平架回轉(zhuǎn)儀裝置常平架回轉(zhuǎn)儀裝置軸承光滑，在不太長的軸承光滑，在不太長的時間內(nèi)，空氣與軸摩擦?xí)r間內(nèi)，空氣與軸摩擦阻力的沖量矩和回轉(zhuǎn)儀阻力的沖量矩和回轉(zhuǎn)儀的角動量相比是很小的的角動量相比是很小的!可近似認(rèn)為可近似認(rèn)為:角動量守恒，矢量方向角動量守恒，矢量方向不變表現(xiàn)為轉(zhuǎn)軸方向不不變表現(xiàn)為轉(zhuǎn)軸方向不變，大小不變表現(xiàn)為回變，大小不變表現(xiàn)為回轉(zhuǎn)儀的恒定角速率轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)儀的恒定角速率轉(zhuǎn)動 軍艦的穩(wěn)定性軍艦的穩(wěn)定性例例8. 質(zhì)量為質(zhì)量為M0，半徑為，半徑為R的轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)盤,可繞鉛直軸無摩擦轉(zhuǎn)可繞鉛直軸無摩擦轉(zhuǎn)動動,初角速度為零初角速度為零,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的人的人

14、,在轉(zhuǎn)盤上從靜止開在轉(zhuǎn)盤上從靜止開始沿半徑為始沿半徑為r的圓周相對圓盤勻速跑動的圓周相對圓盤勻速跑動,如圖所示如圖所示.求當(dāng)求當(dāng)人在轉(zhuǎn)盤上運(yùn)動一周回到盤上的原位置時人在轉(zhuǎn)盤上運(yùn)動一周回到盤上的原位置時,轉(zhuǎn)盤相對地轉(zhuǎn)盤相對地面轉(zhuǎn)過的角度。面轉(zhuǎn)過的角度。解：解：由系統(tǒng)角動量守恒知由系統(tǒng)角動量守恒知:設(shè)人相對于轉(zhuǎn)盤角速度為設(shè)人相對于轉(zhuǎn)盤角速度為orR轉(zhuǎn)盤相對于地的角速度為轉(zhuǎn)盤相對于地的角速度為2201()02M Rmr解題思路解題思路寫出人的絕對角速度寫出人的絕對角速度;運(yùn)用角動量守恒定理運(yùn)用角動量守恒定理;1. 積分求解積分求解;22201()2mrmrM R 22201()2ddmrmrM Rd

15、tdt22220001()2mr dmrM Rd 2220212mrmrM RrdsinddrFsFWsinFrM 力矩：力矩：ddMW 力矩對剛體所作的功：力矩對剛體所作的功： oMWdMtMtWPdddd功率：功率：力矩對剛體的瞬時力矩對剛體的瞬時功率等于力矩和角功率等于力矩和角速度的乘積。速度的乘積。 FzOdsdPrF3-1-6 剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能和動能定理zmiiriv第第i個質(zhì)元的動能：個質(zhì)元的動能： 2222121iiiikirmmEv整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：2221iikikrmEE22)(21iirm221JEk設(shè)在外力矩設(shè)在外力矩 M 的作用下，剛體繞定軸發(fā)

16、生角位移的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d 元功：元功：ddMW 由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律tJMdddddddJtJW有有21dJW21222121JJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 ：合外力矩對剛體所合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 例例9. 質(zhì)量為質(zhì)量為M，長為，長為2l 的均質(zhì)細(xì)棒，在豎直平面內(nèi)可的均質(zhì)細(xì)棒，在豎直平面內(nèi)可繞中心軸轉(zhuǎn)動。開始棒處于水平位置，一質(zhì)量為繞中心軸轉(zhuǎn)動。開始棒處于水平位置，一質(zhì)量為m的的小球以速度小球以速度u垂直落到棒的一端上。設(shè)為彈性碰撞。垂直落到棒的一端上。設(shè)為彈性碰撞。求碰后小球的回跳速度求碰后小球的回

17、跳速度v以及棒的角速度。以及棒的角速度。ou解：解： 桿球1()()JJ由系統(tǒng)角動量守恒由系統(tǒng)角動量守恒解題思路解題思路寫出角動量守恒表達(dá)式寫出角動量守恒表達(dá)式;寫出機(jī)械能守恒表達(dá)式寫出機(jī)械能守恒表達(dá)式;1. 解方程組解方程組;小球作為剛體小球作為剛體,對定軸角動量對定軸角動量為為: 球02()Jmlmul 桿()Jmvl機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6 桿()mulJmvl設(shè)碰撞時間為設(shè)碰撞時間為 t)( mumtFv0JtlF消去消去 tlmJmulvv222111222mumJmMmMu3)3(vlmMmu)3(6you由沖量與沖量矩

18、由沖量與沖量矩例例10. 一長為一長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的桿可繞支點(diǎn)的桿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)動。自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，速度為，速度為v的子彈射入距支點(diǎn)為的子彈射入距支點(diǎn)為a的棒內(nèi)。的棒內(nèi)。若棒偏轉(zhuǎn)角為若棒偏轉(zhuǎn)角為30。問子彈的初速度為多少。問子彈的初速度為多少。解：解： 角動量守恒：角動量守恒：2213Mlmaoalv3030子彈作為剛體子彈作為剛體,射入前的角動量：射入前的角動量：子v200()Jmam a射入后射入后,子彈與桿作為一個剛體的角動量：子彈與桿作為一個剛體的角動量：2231maMlamv機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：30cos1230cos13121222lMgmgamaMl2

19、2323261maMlmaMlgmavoalv3030例例11. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M，半徑，半徑R的圓盤，盤上繞由細(xì)繩，一的圓盤，盤上繞由細(xì)繩，一端掛有質(zhì)量為端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度的物體。問物體由靜止下落高度h時，時，其速度為多大？其速度為多大？mgmM解：解：2022121JJTR2022121vvmmThmghT解題思路解題思路寫出剛體動能定理表達(dá)式寫出剛體動能定理表達(dá)式;寫出質(zhì)點(diǎn)動能定理表達(dá)式寫出質(zhì)點(diǎn)動能定理表達(dá)式;1. 解方程組解方程組;由力矩對剛體作功可知：由力矩對剛體作功可知：由力對質(zhì)點(diǎn)作功可知：由力對質(zhì)點(diǎn)作功可知：也可視為力矩對剛體作功也可視為力矩對剛體作功!

20、mgmM RhRv2,0,0200RMJ vmMmgh22vT例例12. 長為長為 l 的均質(zhì)細(xì)直桿的均質(zhì)細(xì)直桿OA，一端懸于，一端懸于O點(diǎn)鉛直下點(diǎn)鉛直下垂，如圖所示。一單擺也懸于垂，如圖所示。一單擺也懸于O點(diǎn)，擺線長也為點(diǎn)，擺線長也為l，擺，擺球質(zhì)量為球質(zhì)量為m?，F(xiàn)將單擺拉到水平位置后由靜止釋放，?，F(xiàn)將單擺拉到水平位置后由靜止釋放，擺球在擺球在 A 處與直桿作完全彈性碰撞后恰好靜止。試處與直桿作完全彈性碰撞后恰好靜止。試求：求： 細(xì)直桿的質(zhì)量細(xì)直桿的質(zhì)量M；碰撞后細(xì)直桿擺動的最碰撞后細(xì)直桿擺動的最大角度大角度 。（忽略一切阻力）。（忽略一切阻力）解解 lmlAO 按角動量守恒定律按角動量守恒

21、定律 MMmmJJ系統(tǒng)的動能守恒系統(tǒng)的動能守恒222121MMJmmJJ解題思路解題思路寫出剛體角動量守恒表達(dá)式寫出剛體角動量守恒表達(dá)式;由動能不變列出表達(dá)式由動能不變列出表達(dá)式;確定質(zhì)量確定質(zhì)量;寫出機(jī)械能守恒表達(dá)式寫出機(jī)械能守恒表達(dá)式;1. 計(jì)算出角度計(jì)算出角度;MmJJ解得解得2231Mlml系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有)cos1 (2lMgmgl31cos31arccos5 .70桿與地球構(gòu)成系統(tǒng)，只有重力做功桿與地球構(gòu)成系統(tǒng)，只有重力做功, ,機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒初始：初始：，Ek10 令令 EP10 末態(tài)：末態(tài)：EJko2212 , EmglP24 sin 則：則： 1

22、2402Jmglo sin (1)例例13. 已知均勻直桿質(zhì)量為已知均勻直桿質(zhì)量為m,長為長為l,初始水平靜止初始水平靜止,軸軸光滑光滑,AO=l/4.求桿下擺求桿下擺角度后角度后,角速度為多少角速度為多少?軸對軸對桿作用力為多少桿作用力為多少?解解 由平行軸定理由平行軸定理 JJmdoc 2 1124748222mlmlml( ) (2)由由(1)、(2)得：得： 267glsin應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理：應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理： Nmgmac $ $sinlmgNmalcl方向：方向： (3)$ $costmgNmatct方向：方向： (4)algcl 4672 sin (5)allmgJctlo 44

23、4 cos 37g cos (6)由由(3)(4)(5)(6) 可解得：可解得：Nmgl 137sin, Nmgt 47cos Nmglmgt 13747sin$ $cos$ $ Nmg 7153162sin tgNNtgctgtl11413|()mghmv 122vgh 2(1)例例14. 如圖所示已知如圖所示已知: M=2m,h,=60=600 0, ,求求: : 碰撞后瞬碰撞后瞬間盤的角速度是多少間盤的角速度是多少? P? P轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到x x軸時盤的角速度是多少軸時盤的角速度是多少? ?解解 m m下落下落: :碰撞碰撞 t 極小，對極小，對 m +盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：力矩可忽略，角動量守恒：mvRJocos (2)JMRmRmR 122222 (3)由由(1)(2)(3) 得：得： oghR 22cos (4)對對m + M +地球系統(tǒng)，只有重力做功，地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，守恒，則：則：P、 x 重合時重合時EP=0 。令令1mgRJJosin 12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin 12243Rg