物理奧林匹亞競賽

1、物理奧林匹亞競賽試題與解答文/林明瑞本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊(duì)選訓(xùn)小組的同意，每期精選若干試題和解答，以饗讀者。本期刊登二道試題。【本期試題評(píng)註】：推理和判斷是從事物理研究的必備能力，憑著有限的線索，依據(jù)已建立的定律，可以描繪出事情的輪廓。本期的第一道試題就是一個(gè)例子，從幾個(gè)累積的天文觀測數(shù)據(jù)中，僅憑克卜勒定律，我們可以推論出懸掛在夜空中，遙遠(yuǎn)的雙星的質(zhì)量。第二道題是有關(guān)半導(dǎo)體的熱電致冷效應(yīng)，當(dāng)半導(dǎo)體通有電流時(shí)，會(huì)使得一端變熱，另一端變冷。利用這種現(xiàn)象，半導(dǎo)體已被作為電子防潮箱的主要元件。這道題又是一道學(xué)以致用的好例子。一、雙星運(yùn)動(dòng)透過天文望遠(yuǎn)鏡，在夜空中可看到有相當(dāng)多的雙星運(yùn)動(dòng)兩顆星彼此

2、互相環(huán)繞。庫魯格60（Kruger 60）雙星就是一個(gè)著名的例子，其中一顆星較另一顆星大也較亮。為觀測雙星的運(yùn)動(dòng)軌跡，一般選取兩星中較亮的星作為原點(diǎn)，該星和雙星附近的一顆恆星的連線作為參考軸線，量取雙星連線和此參考軸線之間的夾角以及雙星之間的距離r，如圖一(a)所示（為清楚起見，圖中尺寸已誇大）。因此雙星中另一小星位置的極坐標(biāo)可標(biāo)示為（r,，自1935年至1975年所得的觀測數(shù)據(jù)列在下表一：表一：庫魯格60雙星的相對(duì)位置觀測年方位角(o)r參考軸線恆星雙星圖一(a)間隔r(AU)1935 310.11940 2812.01945 4712.81950 6712.81955 8811.71960

3、115 9.71965158 7.01970245 5.51975325 7.6【註】1AU=地球至太陽的距離。假設(shè)此雙星運(yùn)動(dòng)的軌道面和地球上觀察者的視線垂直，回答下列問題：(1) 在圖一(b)的極座標(biāo)紙上，以雙星中較亮的星為原點(diǎn)，根據(jù)表一的觀測數(shù)據(jù)，標(biāo)出另一小星的運(yùn)動(dòng)軌跡。兩星之間相距最近時(shí)和最遠(yuǎn)時(shí)的距離各為何（以AU為單位）？0o20o40o60o80o100o120o140o160o180o200o220o240o260o280o300o320o340o8642121014圖一(b)(2) 雙星運(yùn)動(dòng)僅受到彼此之間的萬有引力的作用，外力的影響非常微小，可以忽略。設(shè)m1和m2分別為兩星的質(zhì)量

4、，理論上雙星運(yùn)動(dòng)可以約化成單一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，即以兩星之一為參考原點(diǎn)，另一星以約化質(zhì)量（）相對(duì)於該原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其軌跡為一橢圓。計(jì)算雙星運(yùn)動(dòng)的週期，以其質(zhì)量和橢圓半長軸表示之?！驹]】橢圓的面積，式中a為半長軸，b為半短軸。0o20o40o60o80o100o120o140o160o180o200o220o240o260o280o300o320o340o8642121014(3) 由於雙星運(yùn)動(dòng)時(shí)不受外力的作用，故其質(zhì)心作等速度運(yùn)動(dòng)。經(jīng)由長期對(duì)庫魯格60雙星的觀測，可辨識(shí)出其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線，質(zhì)心至兩星的距離的比值為1.7。已知庫魯格60雙星的環(huán)繞週期為44.5年，求出兩星的質(zhì)量，m1和m2，以太陽

5、質(zhì)量MS表示之。【註】：萬有引力常數(shù)G可用太陽質(zhì)量MS、地球公轉(zhuǎn)太陽的週期（一年）、和地球至太陽的距離（1AU）表示之。一、解：(1) 雙星運(yùn)動(dòng)的軌跡標(biāo)示如下。兩星相距最近時(shí)的距離為5.5AU，最遠(yuǎn)時(shí)為13AU。(2) 設(shè)兩星相距最近時(shí)的距離為r1，最遠(yuǎn)時(shí)為r2，如下圖的橢圓所示，其焦點(diǎn)為F。設(shè)橢圓的半長軸為a，半短軸為b，則焦點(diǎn)F和中心點(diǎn)O之間的距離，又，r1r2FO由於雙星之間的作用力為向心的保守力場，所以其角動(dòng)量守恆，即=常數(shù) (1)利用力學(xué)能守恆定律，取最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)的力學(xué)能，得 (2)利用(1)式，可得 (4)由克卜勒第二定律，即等面積掃描定律，知面積掃描速率=常數(shù)。利用(1)式可得

6、 (5)由(4)和(5)兩式，可得雙星運(yùn)動(dòng)的週期為 (6)(3) 設(shè)地球的質(zhì)量為mE，太陽的質(zhì)量為MS，地球和太陽之間的距離為RE，地球的公轉(zhuǎn)週期為TE，則 (7)由(6)和(7)兩式可得 (8)由(1)題得，又由題設(shè)數(shù)據(jù)得，以之代入(8)式可得 (9)設(shè)兩星至其系統(tǒng)質(zhì)心的距離分別為R1和R2，則，得 (10)由(9)和(10)兩式可解得m1 = 0.26MS，m2 = 0.15MS。二、熱電致冷效應(yīng)當(dāng)電流i自導(dǎo)體A流向?qū)wB時(shí)，通過兩導(dǎo)體接合面的電流載子會(huì)吸收或釋出熱能，使接合面的溫度降低或升高。每單位時(shí)間吸收或釋出的熱能為 (1)式中T為接合面的絕對(duì)溫度，、分別代表A、B二導(dǎo)體的賽貝克（S

7、eebeck）係數(shù)。稱為帕耳帖（Peltier）熱，當(dāng)吸收熱能時(shí)，為正值。由於Peltier熱，使圖二a所示的模組可作為冷凍機(jī)使用。以銅片連接N型和P型半導(dǎo)體晶粒的兩端面。通直流電流i之後，在上方的接合面處，熱被吸收，在下方的接合面處，熱被釋出。因此模組的上端溫度被冷卻為Tc，另一端溫度則被加熱至Th。使用時(shí)，欲冷卻的物體可直接與冷端接觸，熱端則接散熱片。圖二aNP+i i Tc Th Th 銅片半導(dǎo)體晶粒(V/K)a (W/K)b () 在冷端的抽熱能力，會(huì)因半導(dǎo)體晶粒內(nèi)所產(chǎn)生的焦耳熱，及自熱端傳導(dǎo)至冷端的熱，而減少。因此(1)式經(jīng)修正後，每單位時(shí)間自冷端抽出的熱能應(yīng)為 (2)式中a和b皆為

8、大於零的常數(shù)。在(2)式中，我們忽略接合面及銅片的電阻，並假設(shè)只在接合面處才跟外界有熱交換。N型及P型半導(dǎo)體晶粒的熱導(dǎo)係數(shù)分別為kn和kp，電導(dǎo)係數(shù)分別為sn和sp，賽貝克係數(shù)分別為n和p。這些性質(zhì)常數(shù)均假設(shè)與溫度無關(guān)。 (a) 已知模組中，每個(gè)半導(dǎo)體晶粒的長度為L，截面積為A。試求(2)式中的常數(shù)a和b，以kn、kp、sn、sp、A、和L表示之。(b) 若Th為定值，則Tc的最低值為何？應(yīng)用表1的數(shù)據(jù)，計(jì)算當(dāng)熱端溫度Th = 300K時(shí)，Tc 的最低值為何？表 1利用多對(duì)N型及P型半導(dǎo)體晶粒相接，可增加冷卻能力，圖二b為3對(duì)模組熱電致冷器。iiNPNPNP圖二b (c) 現(xiàn)欲利用30對(duì)模組致

9、冷器，冷卻一個(gè)發(fā)熱功率為2.0 W的雷射用二極體，使其維持25 0C的運(yùn)作溫度。已知二極體與致冷器的接觸熱阻為2.5 K/W，致冷器的熱端溫度為700C，應(yīng)用表1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算輸入致冷器的電流應(yīng)為多少？【註】熱阻的定義：若一均勻平板的截面積為A，厚度為L，兩端面的溫度分別為T1和T2（），則每單位時(shí)間內(nèi)通過該平板的熱量為，式中k為熱傳導(dǎo)係數(shù)。上式也可改寫為，式中稱為該物體的熱阻（Thermal Resistance）。(d) 承(c)小題，此致冷器的性能係數(shù)(COP)為多少？二、解：(a) 先考慮同時(shí)有熱流和電流的N型半導(dǎo)體晶粒，如下圖所示，0ixxx0i冷端(Tc)熱端(Th)在截面x處，沿

10、x方向傳導(dǎo)的熱流為 。N-型半導(dǎo)體晶粒的電阻為。在x0和x之間的區(qū)塊，電流i產(chǎn)生的焦耳熱為。在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，就每單位時(shí)間而言，(流出的熱能) - (流入的熱能) = (本身所產(chǎn)生的熱能)即 (1)將上式對(duì)x積分，可得 若取x0 = 0，x = L，則 (2)將邊界條件：T(L) = Th和T(0) = Tc，代入(2)式，可得 (3)由於銅片及接合面的電阻可忽略，因此不需考慮二者的焦耳熱損失，且銅片處於均勻的溫度Tc，不會(huì)有熱流自一半導(dǎo)體晶粒傳導(dǎo)至另一晶粒。因此進(jìn)入N型半導(dǎo)體冷端的熱流，應(yīng)是來自周圍，或是經(jīng)由晶粒本身。前者以表示之，後者就是。在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，設(shè)電流為i，則進(jìn)入冷端的淨(jìng)熱流，應(yīng)等於接

11、合面的熱吸收率，也就是Peltier熱：(在冷端) (4)式中和分別為銅片和N型半導(dǎo)體晶粒的Seebeck係數(shù)。同理，對(duì)P型晶粒的分析，可得 (5)(在冷端)(6)因此冷端的總吸熱率為代入(3)，(4)，(5)和(6)式，可得： (7)可知 ， -【另解】：考慮半導(dǎo)體晶粒，取厚度為dx的一小段，如下圖所示：0Lx+dxx冷端(Tc)熱端(Th)x在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，每單位時(shí)間內(nèi) (傳導(dǎo)出的熱流) - (傳導(dǎo)入的熱流) = (內(nèi)部產(chǎn)生的熱能) (8)將上式對(duì)x積分，並代入冷端（x = 0）處的邊界條件：和 ，可得 (9) (10)在(9)和(10)兩式中，代入熱端（x = L）處的邊界條件：和，可得

12、(11) (12)由(12)式可得 (13)試題圖二所示的模組，N型和P型半導(dǎo)體晶粒的組合，對(duì)電阻而言為串聯(lián)，對(duì)熱導(dǎo)而言為並聯(lián)，因此(13)式可寫為 (14)加上帕帖耳熱的效應(yīng)，上式可寫為： (15)(15)式和(7)式的結(jié)果完全相同。-(b)在冷端的吸熱率為 (16)式中。將含電流i的項(xiàng)配方，並將其移到等號(hào)左邊，得 (17)(17)式等號(hào)的右邊，對(duì)Tc而言，為一單調(diào)增加的函數(shù)。當(dāng)?shù)忍?hào)左邊為極小值時(shí)，Tc為最低。由於冷凍機(jī)冷端的抽熱率，可知當(dāng)且時(shí)，(17)式左邊為極小值，也就是零。因此當(dāng)Tc為最低值時(shí)，得 (18)若Th為定值，則(18)式的正根即為最低的Tc值，即 (19)代入題設(shè)的數(shù)據(jù)，可得當(dāng)Th = 300 K時(shí)，Tc的最低值為 -【另解】：由(16)式可得 (20)欲使Tc最低，則必須為零，同時(shí)Tc對(duì)電流i必須為極小，也就是，即解得 (21)將(21)式代入(20)式，並令，可得最低的冷端溫度Tc,min為 (22) (22)式和(19)式完全相同。-(c)冷端的溫度 ，式中為二極體的運(yùn)作溫度；為二極體與冷端的接觸熱阻。