正弦定理教案詳案

正弦定理一、教學(xué)內(nèi)容分析：“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，是解決生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，正弦定理提醒了任意三角形的邊角之間的一種等量關(guān)系，它與后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。本節(jié)課的主要任務(wù)是通過引入三角形的面積公式，推導(dǎo)出正弦定理，并讓學(xué)生初步把握正弦定理的根本應(yīng)用。二、學(xué)情分析：對(duì)高一的學(xué)生來說，一方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何、解直角三角形、任意角的三角比等學(xué)問，具有肯定的觀看分析、解決問題的力量；但另一方面對(duì)舊學(xué)問間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用往往會(huì)消滅思維障礙，思維敏捷性、深刻性受到制約，特別是對(duì)于本校的同學(xué)，這方面的力量比較薄弱。依據(jù)以上特點(diǎn)，教師需要恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，留意前后學(xué)問間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題。三、設(shè)計(jì)思路：由于學(xué)生的總體根底比較薄弱，因此，在上課之前，針對(duì)《正弦定理》課內(nèi)內(nèi)容學(xué)生不太簡(jiǎn)潔理解的地方，我作了一個(gè)學(xué)情調(diào)查，將其中的公式推導(dǎo)要應(yīng)用的關(guān)鍵學(xué)問以題目的形式出給學(xué)生做，用以診斷學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理的學(xué)問方法根底，然后分析梳理為課堂教學(xué)效勞。在課堂教學(xué)方面，首先通過一個(gè)實(shí)際生活的例子引入，在現(xiàn)實(shí)的測(cè)繪工作中，常常會(huì)遇到解斜三角形的問題，那么，在斜三角形中，邊和角之間有沒有特別的關(guān)系可以給我們利用呢？借鑒前面利用坐標(biāo)研究三角的方法，用坐標(biāo)法來對(duì)任意三角形進(jìn)展?fàn)幷?，得到三角形的面積公式，通過對(duì)三角形面積公式的變形，得到正弦定理，但不比照值的意義作深入的探討〔放在其次節(jié)課進(jìn)展。定理爭(zhēng)論完畢以后，引導(dǎo)學(xué)生利用正弦定理來解決具體問題，并覺察，正弦定理可以解決解三角形的兩類問題〔〕三角形兩角和一邊，求其它邊和角〔2〕三角形兩邊和一邊對(duì)角，求其它邊和角。四、教學(xué)目標(biāo)：一、學(xué)問與技能：理解三角形的面積公式，初步把握正弦定理及其證明；會(huì)初步運(yùn)用正弦定理解三角形；培育數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。二、過程與方法：1、通過實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；2、承受坐標(biāo)法來爭(zhēng)論任意三角形，并感受其解決問題的優(yōu)越性，感受數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性；3、通過應(yīng)用分析、問題解決來培育學(xué)生良好的學(xué)習(xí)思維習(xí)慣，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的自信念。三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)問之間的聯(lián)系與推理使學(xué)生明白事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一性。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探究與證明；正弦定理的根本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探究與證明；正弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路。教學(xué)過程：一、情景引入：開場(chǎng)白：今日我們來爭(zhēng)論三角形。初中我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過解直角三角形，通常依據(jù)直角三角形中邊角的特別關(guān)系來求解。但在解決實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到關(guān)于解斜三角形的問題。如：C400600A10B某林場(chǎng)為了準(zhǔn)時(shí)覺察火情，在林場(chǎng)中設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A和B。某日兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的林場(chǎng)人員分別觀測(cè)到CA處觀測(cè)到火情發(fā)生在北偏西400B處觀測(cè)到火情在北偏西600B在A10千米處，請(qǐng)你幫助確定火場(chǎng)CC400600A10B這個(gè)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題：在三角形ABC中，AB=1，A13B3求AC和BC的長？這就是一個(gè)解斜三角形的問題。師：思考一下，我們用以前的學(xué)問該怎么求呢？生： 師：我們可以通過作垂線，構(gòu)造直角三角形的問題來解。但是，有沒有更好的方法，可以直接求解呢？這就是我們今日要爭(zhēng)論的內(nèi)容 正弦定理。二、授課我們?cè)诮堑姆秶鷶U(kuò)大后，將角放在坐標(biāo)系中進(jìn)展?fàn)幷?，?duì)任意角三角比重進(jìn)展了定義，奠定了整個(gè)三角內(nèi)容的根底。今日，我們同樣將三角形放在坐標(biāo)系中進(jìn)展?fàn)幷?，看能否給我們y些驚喜？如下圖建立直角坐標(biāo)系：我們先定一下點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo).A〔0，0〕 B〔c，0〕 問：點(diǎn)C的坐標(biāo)如何確定？生：點(diǎn)C在角ACosA=x/b，sinA=y/b所以：x=bcosA，y=bsinA

C(bcosA，bsinA)abAA c B x師：從這里看一看出，不管角A是鈍角、直角，還是銳角，點(diǎn)C的坐標(biāo)形式都不會(huì)變。CCxCD。問：大家覺察沒有，對(duì)于三角形ABCCD生：它是三角形ABCAB師：我們看一下，這個(gè)三角形的底邊AB長為c，高可以表示成bsinA，知道了三角形的底邊和高，可以求出什么？生：三角形的面積。師：請(qǐng)說出三角形的面積表達(dá)式：

ABC

12bcsinA〔操作幾何畫板，變動(dòng)三角形外形〕我們來看一下，當(dāng)三角形變化時(shí)，點(diǎn)C會(huì)發(fā)生變化？生：不會(huì)師：那就是說，這個(gè)面積公式可以適用于任意三角形。6個(gè)元素，三條邊，三個(gè)角，這個(gè)表達(dá)式含有幾個(gè)元素？生：三個(gè)，兩條邊，一個(gè)角。師：邊和角有什么關(guān)系嗎？生：角是兩邊的夾角。師：你能用一句話來表達(dá)一下這個(gè)面積公式嗎？生：三角形的面積等于：三角形的兩邊與它們的夾角的正弦值的乘積的一半。師：我們現(xiàn)在是用b,c，A這三個(gè)元素來表示的，那么，同樣的，你還能用其他的邊角來表示嗎？

1 1 1 bcsinA acsinB absinCABC

2 2 2師：用一句話來描述一下這個(gè)公式？生：三角形的面積=任意兩邊與他們夾角的正弦的積的一半師：這是一個(gè)格外秀麗的公式，我們看看，它將任意三角形的三條邊，三個(gè)角和三角形的面積在一個(gè)式子里面聯(lián)系在了一起。從今以后，我們求三角形的面積又多了一個(gè)選擇。師：我們通過這個(gè)公式還可以看出，任意三角形的邊角之間有一種特別的等量關(guān)系，我們把等式中的S12bcsinAacsinBabsinC師：我們看看這個(gè)式子，等式中每條邊都消滅了21次，總的來說還是很簡(jiǎn)單。我們能否將它們進(jìn)展等價(jià)變形，讓邊角之間的關(guān)系變得更加明確、更加簡(jiǎn)潔一點(diǎn)？1：等式的左、中、右同除以abc又會(huì)得到什么呢？sinA sinB sinC生：a b c

a b csinA

sinB

sinC2：2bcsinA=acsinB,acsinB=absinC即：bsinA=asinB,csinB=bsinC，要使2個(gè)等式的形式完全一樣，并且能夠練習(xí)在一起。b/sinB=a/sinA,c/sinC=bsinBa b csinA

sinB

sinC我們來看一下，這個(gè)連等式將三角形的6個(gè)元素完善的結(jié)合在了一起，比起前面的表達(dá)式，它顯得格外的簡(jiǎn)潔，格外的美。為什么說它格外美呢？大家看看它的構(gòu)造，有什么特點(diǎn)？生：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，表達(dá)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.問：哪位同學(xué)能用文字語言把它描述一下？生：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等師：我們初中學(xué)過，在任意三角形ABC中，大邊對(duì)大角，這個(gè)兩等式可以看做大邊對(duì)大角的一個(gè)升級(jí)版，大邊對(duì)大角的正弦，小邊對(duì)小角的正弦，他們的比值相等。不爭(zhēng)論不知道，一爭(zhēng)論嚇一跳，小小的一個(gè)三角形蘊(yùn)含了這么多的奇特！說明：這就是我們今日要學(xué)的正弦定理。為什么要寫成這種形式呢？由于這個(gè)比值是一個(gè)常數(shù)，有它特定的意義，我們?cè)谙乱还?jié)課再進(jìn)展?fàn)幷?。師：我們?cè)賮頎?zhēng)論一下這個(gè)連等式。我們可以將它分解成幾個(gè)等式？a b a c b c生：三個(gè)：

sinA

sinB，

sinA

sinC，

sinB

sinC師：我們來看一下，每個(gè)等式含有4個(gè)元素。對(duì)于每個(gè)等式來說，假設(shè)用方程的觀點(diǎn)來看，假設(shè)要求出其中一個(gè)元素，需要知道幾個(gè)元素？生：知道三個(gè)。師：三個(gè)方程，每個(gè)含有四個(gè)量，知其三求其一?！?x可以用正弦定理來求解假設(shè)可以，應(yīng)當(dāng)如何求？〔x的值〕11001100200500 x(1)C BB8A 108200 CB x(4)

AA8 960B x

9(5)

Ax105020x105020050(2)CB 597597xC B

11400 C(3)C(6)由此，我們可以歸納出正弦定理可以解決某些三角形的求解問題：兩角及任意一邊；兩邊及其中一邊的對(duì)角.〔2〕 應(yīng)用正弦定理解決引例問題；4、歸納小結(jié)請(qǐng)大家梳理一下我們今日學(xué)的內(nèi)容：生：我們今日利用坐標(biāo)系對(duì)三角形進(jìn)展?fàn)幷摚X察了：1S