(完整word版)高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法

1、高中解析幾何復(fù)習(xí)資料高考專題：解析幾何常規(guī)題型及方法A:常規(guī)題型方面（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為（xi,y1），（X2，y2）,代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。2典型例題給定雙曲線X2 1。過(guò)A （2, 1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P1及P2,求線段P1 P2的中點(diǎn)P2的軌跡方程。222 y2 y2分析：設(shè) R（Xi,yi）, P2（X2,y2）代入方程得 Xi 1, X2 1。22兩式相減得，、/、1 ,、/、C（X1X2）（X1X2）-（y1y2）（yy?）0。2又設(shè)中點(diǎn)P（X,y）,將X1 X2 2x ,

2、y1 y 2y代入，當(dāng)x X2時(shí)得02yy1y22x , 0。2x1x2又k 32匚，x1x2x2. 、一 _22_代入得 2x2 y2 4x y 0。當(dāng)弦p1P2斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn) p（2, 0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是 2x2 y2 4x y 0說(shuō)明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。（2）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P,與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭橋。22 一，一 xy,_,八， 典型例題 設(shè)P（x,y）為橢圓 不 匕1上任一點(diǎn)，F(xiàn)1（ c,0）, F2（c,0）為焦點(diǎn)，PF1F2,PF2 Ea b（1）求證離心率

3、esin( ) sin sin(2)求 |PF1|3 PF2|3 的最值。，一一一-r1r22c分析：(1)設(shè)|PFi| n, |PF22,由正弦定理得 。sin sin sin( )得e(2)122csin sin sin( )c sin( ) a sin sin(a ex)3 (a ex)3 2a3 6ae2x2。當(dāng)x 0時(shí)，最小值是2a3；當(dāng)xa時(shí)，最大值是2a3 6e2a3。(3)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合 的辦法典型例題拋物線方程y2 p(x 1) (p 0),直線x y t與x軸的交

4、點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且OALOB,求p關(guān)于t的函數(shù)f的表達(dá)式。(1)證明：拋物線的準(zhǔn)線為 1: x 1 -p4由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)(t, 0)在準(zhǔn)線右邊，得 t 1上，而4tp 4 04,x y t由 2消去y得 x2 (2t p)x (t2 p) 0y p(x 1)(2t p)2 4(t2 p) p(4t p 4) 0故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。(2)解：設(shè)點(diǎn) A(x1, y1)，點(diǎn) B(x2, y2) 2 x1 x2 2t p, x1x2 t pOA OB, koA koB 1則 xx2 y1y20又 y

5、y2 (t x1)(t x2) 2 x*2 y1y2 t (t 2)p 0t2P f(t) t 2又p 0, 4t p 4 0得函數(shù)f(t)的定義域是(2, 0)(0,)(4)圓錐曲線的有關(guān)最值(范圍)問(wèn)題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)， 三角函數(shù)，均值不等式)求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0),過(guò)M (a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B, |AB|w 2P

6、(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求 NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，對(duì)于(1),可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過(guò)解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于(2)首先要把 NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問(wèn)題，函數(shù)思想”。解：(1)直線L的方程為：y=x-a,將y=x-a代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線 L與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，、2-4(a p) 4a 0(x1,y1),B(x2,y2),則 x1 x2 2(a 2

7、x#2 a|AB| . (x1 x2)2(必 y2)20 |AB| 2p,8p(p 2a) 0, 0p)，又 y1=x1-a,y2=x2-a,2( x1 x2)2 4x1 x2 , 8p(p 2a),8p(p 2a) 2p,p解得： a2(2)設(shè)AB的垂直平分線交 AB與點(diǎn)Q ,令其坐標(biāo)為x3,y3),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:xx2x3 a p,2y3(x a)包a)-p.所 以 |QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又 MNQ為等腰直角三角形，所以|QM|=|QN尸 J2P，所以 S 1、. 2. 2nab= -| AB | |QN | - p | AB | - p 2pJ2p2,

8、即ANAB面積的最大值為 J2P2。(5)求曲線的方程問(wèn)題1.曲線的形狀已知 這類問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過(guò)原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上。若點(diǎn) A (-1, 0)和點(diǎn)B (0, 8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L： y=kx(k w o),c：y2=2px(p>0)設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為 A、B/,則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為:2_/ ,k 1 2k 、A/(,)k 1 k 18(k2 1)絲一D)。因?yàn)?A、B均在拋物線上，代入，消去k 1p,得：k2-

9、k-1=0.解得:k= 1 而=2.5-2，P- 5 .所以直線L的方程為：y=L5x,拋物線C的方程為y2= 45 x. 252.曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ| 的比等于常數(shù)(>0),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N,則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|,由平面幾何知識(shí)可知：|MN|2二|mo|2-qn|2=|mo|2-i ,將 m點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng) 才1時(shí)，它表示圓

10、。這種方法叫做直接法。(6)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問(wèn)題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這 交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來(lái)解決)典型例題22x y已知橢圓C的萬(wàn)程1 1 ,試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線43y 4x m,橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。分析：橢圓上兩點(diǎn)(x1,y1)，(x2, y2),代入方程，相減得3(XiX2)(Xi X2)4(y1y2) (Yiy2)0。Yiy2x1x21、，r一一，代入得y 3x。4Y 3x又由斛仔父點(diǎn)(m, 3m)。Y 4x m2_ 2_ _ _、m 皿士 ( m

11、) ( 3m)Y /日 2,132 .13交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有 - - 1 ,得 m 。431313(7)兩線段垂直問(wèn)題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問(wèn)題，常用k1 k2 -X1典型例題已知直線l的斜率為k ,且過(guò)點(diǎn)P( 2,0),點(diǎn)(如圖)。(1)求k的取值范圍；(2)直線l的傾斜角為何值時(shí)，A、B與拋物線相垂直。分析：(1)直線y k(x 2)代入拋物線方程得2 222k x (4k4)x 4k 4 0,由 0,得 1 k 1(k 0)。一上 、工口4k24(2)由上面方程得X1X2 , k2ymk2(x1 2)(X2 2) 4,焦點(diǎn)為 0(0,0)。.y1y2 k2,2由 koA- koB11,

12、得 k ，x1x2k 122或 arctan 21來(lái)處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理。, x2拋物線C:y2 4(x 1),直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交B:解題的技巧方面在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺(jué)得解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲 線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說(shuō)明：(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條 件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。典型例題 設(shè)直線3x 4y m 0與圓x2 y2 x 2y 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)

13、，若OP OQ ,求 m的值。 .一 22解： 圓x2 y2 x 2y 0過(guò)原點(diǎn)，并且OP OQ , 1PQ是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為 M( 1)21又M( ，1)在直線3x 4y m 0上，215 r ,3 ( ) 4 1 m 0, m即為所求。22評(píng)注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過(guò)原點(diǎn)并且 OP OQ,PQ是圓的直徑，圓心在直線3x 4y m 0上，而是設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)再由OP OQ和韋達(dá)定理求 m ,將會(huì)增大運(yùn)算量。評(píng)注：此題若不能挖掘利用幾何條件OMP 90 ,點(diǎn)M是在以O(shè)P為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計(jì)算量將很大，并且比較麻煩。.充分利用韋達(dá)

14、定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y x 1 相交于 P、Q 兩點(diǎn)，且 OP OQ , |PQ| t1° ,2求此橢圓方程。x 1與橢圓相交于 P(x1，y1)、Q(x2，丫2)兩點(diǎn)。 .2.2解：設(shè)橢圓萬(wàn)程為ax by 1(a b 0),直線yy x 1由方程組 22 消去y后得ax by 12_(a b)x 2bx b 1 02bb 1x1 x2, x1x2 a ba b由 kOP kOQ 1 ,得 y1y2x1x2(1)又P、Q在直線y x

15、1上，%1,(2)yx21,(3)yy2 (x11)(x21) x1x2 (x1 x2)1把(1)代入，得2x1x2(x1 x2) 10,即3a b化簡(jiǎn)后，得(4)a b 2、22x2 )( y1y2 )-10由 | PQ| ，得(x12(Xi X2)25,、2,-,(x1 x2) 4x1 x242b 2 J)4(b 1).一 一 2 _. .一 1 .把(2)代入，得4b 8b 3 0 ,解得b 或b2代入(4)后，解得a 3或a -223.1由 a b 0,倚 a ,b - °22所求橢圓方程為結(jié)2評(píng)注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡(jiǎn)化了計(jì)算。三.充分利用曲線系方

16、程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過(guò)兩已知圓C1： x2222y4x2y0和C2：x y 2y 4 0的交點(diǎn)，且圓心在直線2x 4y 1 0上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：x2 y2 4x 2y (x2 y2 2y 4) 0-22_即(1 )x (1 )y 4x 2(121、其圓心為C (,)11又C在直線l上， 2 2 4 -1)y 40,1C C1,代入所設(shè)圓的方程得 x2 y2 3x y 13所求。評(píng)注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡(jiǎn)化了計(jì)算。 四、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問(wèn)題.這也是我們常說(shuō)的三角代換法。典型例題2P為橢圓*2a2yT 1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形 OAPB面積的最大值 b及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。五、線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過(guò)程般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為 Xa，Xb，判別式為4,則|AB| & k2 % Xb| V1 k2 ,若 |a|直接用結(jié)論，能減