彈性桿動力學(xué)模型及其數(shù)值方法

1、青島大學(xué)碩士學(xué)位論文彈性桿動力學(xué)模型及其數(shù)值方法姓名:賈美娟申請學(xué)位級別:碩士專業(yè):應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師:趙維加20090605 第一章預(yù)備知識蘭/蘭j=l彳(紡,仍e一,(仍白=。 c, . 2-7 i =11f彳(紡,仍e一,(仍b=o (1.J 由y&的任意性,即q,乞,勺的任意性,可得出線性方程組彳(紡,紀(jì)0=,(仍,(1f三次樣條函數(shù):三次樣條函數(shù)的概念:在區(qū)間【口,6】上,給定療+1個互不相同的節(jié)點a=xo<五<<毛寶6(1.2-9函數(shù)少=,(x在這些節(jié)點的值為廠(=乃,i=o,l,。如果分段表示的函數(shù) s(x滿足下列條件(Is(x在予區(qū)間【薯,薯+?！可系谋?/p>

2、達(dá)式置(x都是次數(shù)不超過3的多項式;(2s(玉=咒;(3s(xC2【口,b】.則稱y=廠(x為三次樣條插值函數(shù),簡稱為三次樣條。三次樣條函數(shù)具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì),它是C2類函數(shù),能滿足工程設(shè)計關(guān)于光滑 性的要求,且不論型值點增加多少,在兩個相鄰節(jié)點之間均為分段3次多項式。 7青島大學(xué)碩士學(xué)位論文第二章彈性桿動力學(xué)模型2.1一階動力學(xué)平衡方程給定慣性坐標(biāo)系(D一勿f中,把坐標(biāo)軸分別記為%,%,設(shè)彈性桿中心線 r(s,t為弧坐標(biāo)s和時問t的二元連續(xù)函數(shù)。記55a a磊瓦i瓦假設(shè)截面是剛性的。先平移瓦孬到面,則PQ=PoPo=紕=e3口As再把截面剛性旋轉(zhuǎn)角p得到新的坐標(biāo)系記為el,島,島,使得硒旋轉(zhuǎn)

3、到砸。 (2.1-1第二章彈性桿動力學(xué)模型冠=,=萬丟+躉蠶=(島巳+e2e:+(1+島島g (2.1-4 則(喜。;刀,f,=cel,e2,1+e3,r c2.-一5, 記J:墼盟,則得到F描述了彈性桿的剪切拉伸,稱為剪切拉伸變量。設(shè)7=掣,=Tar(s,t它們分別是速度和剪切拉伸變量。以,(s,f上任意一點P為原點,在彈性桿的截面 .卜建立截面主軸坐標(biāo)系(Pd,d:以作為局部坐標(biāo)系1131,與文獻(xiàn)【20】巾的局部坐標(biāo)不 同,我們?nèi)∫?s,t,吒(J,f為位于彈性桿截而上的兩個相互垂直的單位向量;在彈 性桿不發(fā)生拉伸變形的情況下,即當(dāng)rl=,2=o,3=l時,心(s,t為在點尸處,(J,t

4、的單位切向量,其中,l,廠2,3是指,的3個分量,下同。記為角速度,Q為彎扭度,則有誓以;誓一畋。設(shè)為彈性桿的能量密度函數(shù),則p=等,掰=蕓,=蒡,膨=誓p 2百肛面H2而朋。面9青島大學(xué)碩士學(xué)位論文分別為動量,角動量,內(nèi)力和內(nèi)力矩。將,分解為它=t七s其中乞表不彈性桿的動能密度函數(shù),鬈表不彈性勢能密度函數(shù),即乞=要【島。y.,+.,.國】乞=吉(廠一J。c(,一J。+(Q一臼。D(Q一臼。其中如為線密度,.,為慣量矩陣,C、D為彈性常量矩陣,F4、口。分別為原始剪 切拉伸量和原始彎扭度。設(shè)彈性桿各向同性,此時C、D為對角陣,且C=diag(4,蜀,c1,D=西昭(4,墾,巴,其中4,罵為截面

5、繞哦軸和以軸的抗剪剛度,G為截面繞以軸的抗拉剛度,4,墾為 截面繞d。軸和d:軸的抗彎剛度,Q為截面繞噥軸的抗扭剛度。.所以有=三幾】,】,+,-,緲+(廠一,。c(J一J。+(Q一臼”D-(口一口。(2.16 注意到p=成?！?肌=勘,F=C(F-F。,M=D(QQ。在慣性坐標(biāo)系(D一勿f中,利用連續(xù)性得到 豢:睪 (2.I-8 af孤7方程(2.18在截面主軸坐標(biāo)系(P一以吐以中的投影為【28】 堅+緲×J:耋+口×】, (2.1-9 Ot Os 。另外在(D一勿f中,由于52以一52dkmm 3t3s利用國和口的定義得到塑型:避型(2.1-10O t dS lO第二章

6、彈性桿動力學(xué)模型注意到在(尸一d,以以中,喀是坐標(biāo)軸,當(dāng)然此時喀是常向量,故在【P一以吐以上 摯:o,塑:o (2.1-11 Os dt方程(2.1一lo在(P-d,畋以的投影為警×畋+×(Q×畋=等×以+Q×(×以(2.1-12 利用向量積恒等式×(Q×畋+(×畋×Q=(×Q×以 (2.1-13 方程(2.1-12化為爭一卦例,k=1,2,3(2.1-14, 注意到以線性無關(guān),故對于任何向量口,都有爭一一卦刪(2.1-15,即有擎+×Q:挈 (2.1-16 dt

7、ds設(shè)彈性桿在力和力矩作用下任意運動,考慮弧坐標(biāo)分別為s和s+As的尸和,點 之間的微元弧段。設(shè)尸點的負(fù)截面在t時刻受臨近截而作用的內(nèi)力和內(nèi)力矩分別為 一F和一M,點的正截而在f+f時刻受臨近截而作用的內(nèi)力和內(nèi)力矩分別為 F+AF和M+塒,和M均為s和t的二元連續(xù)函數(shù)。假設(shè)弧段上作用的單位長 度分布力g和分布力偶h,將全部作用力對P點簡化,jj保留各增量的一階小量, 根據(jù)牛頓力學(xué)的動量定理和對質(zhì)心的動量矩定理,得到【20】肌如鏟: (2.1-17af ,l 1” 塒+,×F+廳厶:厶竺dtI一式各項除以紐。令血一0,可得 第三章平衡方程的離散與求解C(s一%(s一。一2(s一%+2(

8、s一%小凼=一等(2當(dāng)l=刀一l時I諺彩幽=萬1eI-N(s一%M(s一%2(2(J一%一(J一%。一+(s一%+2ds h2=一一60I力珈=吾(s一%一(s一%2(J一%+2(J一%一凼=嘉 (3當(dāng),=刀+l時f力么出=古e。(s一。一(s一%2(2(s一&一(J一卜+(s一%小2dsh一-_-一60f諺私=吾C”(s一.(s一%2(J一%+2(J一毛H一凼=芻 (4當(dāng),=玎一N時l力珈=嘉(一刊2(t+扣“(去一珈1凼+ f一嘉嘉(s一%一2(s一%_(-一去(s一%一凼=一去+嘉 I諺咖=。吉卜洲一一2(一吾÷吾(+秘飛-卜 f一嘉(s一磊(5一毛糾2(一i5F+嘉(

9、t+去(s一%一凼 155h=一一.一一一104h26Jll lO(5當(dāng),=刀一1一時r諺彤凼=,r(ss+。一。(SSN+n2(,+去cs一毛(吾一t一(去一砉(s一%出h2=一一27青島大學(xué)碩士學(xué)位論文I力酗=嘉(s一曲州(8-SN+n2吾(s一%+2(s一%。凼=嘉(6當(dāng),=刀+lN時賽巍成ds=一p糞嘭(,r力彤出N N+pZZ(a。(f×z,(rr歡嗚吮凼一一p嘭(,f。力彤出 。(f×z,(fr。歡嗚吮凼一,=O I=1k=l 。=c善q(r(堿岳一旃彩晤+r力咖+善N善N(6,(,×(ca。(,N N,善善勿(f×(D以(fIL力么7仡凼+

10、島(f×(加。Il。飭么幽+丟N善N口,(,×(ca。(,r諺7織瓴出+口小×(or9r諺餞凼+I.諺,凼 當(dāng)訂=2,3,Nl時,把上面結(jié)果代入上面兩式,再由其中 hi×乃2Kj(1f擰=0,±l,±拂,(3.2-11 (3.2-12第三章平衡方程的離散與求解E 2雕引 一苧蕓竽玩廠警坂一齋吃+,丟壇制一(一西31+.168。1h、/hih一喪髓脅.,+i94ho Kd+2633h。K。廳¨+元h2(瓦協(xié),+置屯.,+蓋瓦.。吒+等瓦以 +蓋眉。+,吼+互4532h0、"K+¨一置+。+,吒+i94h。、

11、"K。一以+,矗。+。+瓦h(yuǎn)2(五一置+,五川+了h西3丘.v制口.,一jh而3B+。應(yīng)脅.,+瓦h(yuǎn)2E.,五州+芝4532h。2K,",一面h3(戤椰,+置+,dN+n+j14h2i五+魯X州+X。I一面h3Kk州+生315k。壙面43h2x氮一瓦h(yuǎn)2E+.矗+.=E其巾J為三階單位矩陣,屁。=qE=E(an.1,a.,a。+,a|Iv+¨,as+n,a,v+。+J,屯.J,屯,鞏+J,bN+¨,bN+。,bN+。+J Gh=Gnon。.1,at,aF+l,aNt.1,aN+n,aNt+l,bt.|,bt,b"+l,bN-.1,bN,bNvl

12、, z_.,乙,z月+J,z+。.,ZN+n z+J (3.2-13 (3.2-14青島大學(xué)碩士學(xué)位論文分別取擰=l,刀=N時得到K¨和KV”。取詹=(眉(J,K,K(r戶=(E,E,7吞=(GJ,嘭,G7玄(五,也,廳2=戶當(dāng)?shù)?N+I,N+2,2N時同理可推出玄,P和吞。取置=,=G=(耋M:卜L 歹jJ置(西p舀p,廳州藝2F(3.2-15 IM(之,乞,2:。=G3.3數(shù)值結(jié)果借助于動力學(xué)比擬方法,對于固定的f,把超細(xì)長彈性桿的表面看作是一條封閉 的平面曲線點集X。=x(o,t沿著空間曲線(s=r(s,f移動和旋轉(zhuǎn)得到的,即設(shè)點 30第三章平衡方程的離散與求解集墨(s=X(s

13、,f是點集K摩經(jīng)過向起點位置(0=,(o,t平移,旋轉(zhuǎn)以及由c(平移 到(s的復(fù)合運動得到,則置(s=4(s(x(o一(o+(s (3.3一I 其中4(s=彳(J,t=(d,(J,td2(s,t嘭(J,啪,4(s是由置。一,:(o所在平面到 X(s一(O所在平面的旋轉(zhuǎn)矩陣。在(3.3-1式中對s微分得到警=苦(耶h(0+相 (3.3-2 注意到歐拉矩陣4(s是正交矩陣,利用彳左乘方程組(3.3-2得到X(O-r(O,f=4(s7(置(曲一C(s” (3.33 將(3.33式代入(3.32式得到求解曲面網(wǎng)線X(曲的微分方程初值問題idX,=警4(s7(墨(s一,:(J”+吹J (3.3-4 lK(o=置。從而我ff"-I得到五(曲,模擬出彈性桿。下面是一些數(shù)值結(jié)果為:2之 與 書七4 2乏 七 七缶 致謝 致謝 本文是在我的導(dǎo)師趙維加教授的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。在此我要對趙 老師致以誠摯的謝意。在論文的寫作過程中，趙老師給了我許多的幫助和關(guān)懷。趙 老師學(xué)識淵博、治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、平易近人。趙老師的悉心指導(dǎo)，不僅使我學(xué)到了扎實的 專業(yè)知識，在怎樣處人處事等方面也收益很多。同時他對工作的積極熱情、認(rèn)真負(fù) 責(zé)、有條不紊、實事求是的態(tài)度，給我留下了深刻的印象，使我受益匪淺。