線性代數(shù)期末考試試題(卷)+答案解析合集

1、WORD格式×××大學(xué)線性代數(shù)期末考試題、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題 2分，共 10 分）1311. 若 005x，則 。_122x x x 01 2 32 若齊次線性方程組x x x 0 只 有零解，則應(yīng)滿足1 2 3x x x 01 2 33已知矩陣 A， B， C（c ij ） sn，滿足 ACCB，則 A 與 B 分別是 階矩陣。a a11 124矩陣 Aaa 的行向量組線性。2122EA則322 ，aA、判斷正誤（正確的在括號(hào)內(nèi)填“”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填“×”。每小題1.若行列式 D 中每個(gè)元素都大于零，則 D0。（）2.零向量一定

2、可以表示成任意一組向量的線性組合。（）2 分，共 10 分）3.向量組 a1， a2， am中，如果 a1 與 am對(duì)應(yīng)的分量成比例，則向量組a1，a2， as 線性相關(guān)。）01001000。（）4.1A，則 AA000100105. 若為可逆矩陣 A 的特征值，則1A 的特征值為。 （）三、單項(xiàng)選擇題 （ 每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題2 分，共 10 分 ）TAA（）。 2 n2 n12n1 42.n 維向量組1，2（ 3sn ）線性無關(guān)的充要條件是（）s1， 2，s中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)1.設(shè)A 為 n 階矩陣，且 A2，則1， 2，s 中存在一個(gè)向量不能用其

3、余向量線性表示1，2，s 中任一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示專業(yè)資料整理1，2，s 中不含零向量2. 下列命題中正確的是 () 。 任意 n 個(gè) n1 維向量線性相關(guān) 任意 n 個(gè) n1 維向量線性無關(guān) 任意 n1 個(gè) n 維向量線性相關(guān)任意 n1 個(gè) n 維向量線性無關(guān)3. 設(shè) A， B 均為 n 階方陣，下面結(jié)論正確的是 () 若 A，B 均可逆，則 AB 可逆若 A，B 均可逆，則 AB 可逆 若 AB 可逆，則 AB 可逆若 AB 可逆，則 A，B 均可逆4. 若1，是線性方程組 A0的基礎(chǔ)解系，則1234 是 A0 的()A 的行向量解向量基礎(chǔ)解系通解 四、計(jì)算題 (每小題 9 分

4、，共 63 分)xabcd6.計(jì)算行列式axbcdabxcd abcxd解·xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x00( x abcd ) ( x abcd ) (xabcd ) x 1bxcd00x01bcxd000x3017.設(shè)ABA2B，且A,求 B。110014211522解 .(A2E)BA(1( A2E)221 ，1B ( A 2E) A432111223WORD格式11002134021專業(yè)資料整理0110設(shè)00B1, 10213C且矩陣滿足關(guān)系式0021X(CB)E,

5、 求。000100025.問 a下列向量組線性相關(guān)？a1211,a,1232211a2取何值時(shí)，6.為何值時(shí)，線性方程組x1x1x2x2x2x3x3 x3有唯一解， 窮多無解和有無窮多解？當(dāng)方程組有無解時(shí)求其通解。當(dāng)當(dāng)1 且 2 時(shí)，方程組有唯一解；2 時(shí)方程組無解211當(dāng)1 時(shí)，有無窮多組解，通解為c11c0011213 490107.設(shè),.1 求此向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向23411370317量用該極大無關(guān)組線性表示。100A，求 A 的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。 0107. 設(shè)五、證明題 （7 分 ）若A 是n 階方陣，且 AAI ，A1，證明 AI0 。其中I 為單位矩陣W

6、ORD格式×××大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案專業(yè)資料整理、填空題8.52.13.ss ， nn4. 相關(guān)8.A3E二、判斷正誤3.×2. 3. 4. 5. × 三、單項(xiàng)選擇題1.2. 3. 4.5. 四、計(jì)算題1.xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x00( x abcd ) ( xabcd ) (xabcd ) x1bxcd00x01bcxd000x2.(A2E)BA(2115221A2E)221 ，B ( A 2E) A4 3 211122

7、33.CB123410000120 0 1，(C2001 0CB00014321100010001'12 1001' 1 2 1 00， XECB1 2101 2 10012101219.11a22111a， aa(2a1)(2a2) 當(dāng)23228a1，11 a22關(guān)。10.當(dāng)1 且 2 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)2 時(shí)方程組無解當(dāng)11.(a 1，1002010200110000則3ra 1，a，12.1a 或 a1 時(shí)，2向量組 a1， a2 ，a3線性相211通解為0c11c020011213121312134 9 0 1001420141 1 3 70341000160317

8、03170013132161 時(shí)，有無窮多組解，a2， a3， a4)a2，34a ，其中a1，a2，a3構(gòu)成極大無關(guān)組，a42a12a2a3100EA010(1)0021特征值 11，0001002001對(duì)2于3 1 1，k0l0五、證明題AIAAAAIAIAIA2IA0 ， IA0一、選擇題(本題共 4小題，每小題 4分，滿分 16 分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題目要求)1、設(shè) A， B為 n 階方陣，滿足等式 AB0，則必有()(A)A0 或 B0;(B)AB0 ；( C) A0 或 B0;(D)AB02、A 和 B均為 n 階矩陣，且222( AB)A2ABB ，則必有(

9、)(A)AE ； (B)BE；( C)AB.(D)ABBA。3、設(shè) A 為 mn矩陣，齊次方程組 Ax0 僅有零解的充要條件是()(A)A 的列向量線性無關(guān)； (B)A 的列向量線性相關(guān)；( C) A 的行向量線性無關(guān)； (D)A 的行向量線性相關(guān) .4、n階矩陣 A 為奇異矩陣的充要條件是()(A)A 的秩小于 n；(B)A0 ；(C)A 的特征值都等于零； (D)A 的特征值都不等于零； 二、填空題(本題共 4 小題，每題 4 分，滿分 16 分)5、若 4階矩陣 A 的行列式 A5，A是 A的伴隨矩陣，則 A=。6、A為 nn階矩陣，且 A2A2E0 ，則( A2E) 1。1a。4是正定

10、的，則 t 的取值范圍1217、8、已知方程組二次型231a2x1 a2x3 無解，2x3222f( x, x ,x)2x3xtx2xx2xx 1231231213是。 三、計(jì)算題(本題共2 小題，每題 8 分，滿分 16 分)1x11111x119、計(jì)算行列式D111y11111y10、計(jì)算 n 階行列式x3xx12nxx3x12nxxx12n四、證明題(本題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分。寫出證明過程)11、若向量組1, 2, 3線性相關(guān)，向量組 2, 3, 4 線性無關(guān)。證明：(1) 1 能有 2, 3 線性表出；(2)4不能由 1,2, 3線性表出。12、設(shè) A 是 n

11、階矩方陣， E 是 n 階單位矩陣， AE可逆，且 證明( 1)( Ef(A)(EA)2E ；( 2) f(f(A)A 。12 分，滿分 32 分。解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟)1PAP為對(duì)角矩陣五、解答題(本題共 3 小題，每小題20013、設(shè) A，求一個(gè)正交矩陣 P 使得032x xx01 2314、已知方程組x 2 xax0 與 方程組 211 23x1xxa 有公共解232x 4xa x01 2a 3023求 a 的值15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知1，2，3是它的三個(gè)解向量，WORD格式i1專業(yè)資料整理21321，234354求該方程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選

12、擇題 1、C；2、D；3、 A；4、 A。二、填空題5、 -125;6 、； 7、 -1 ；8、2三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：3 t。5第二列減第一列，第四列減第三列得：xx0011x1100yy1111yx0001x10D00y0101y4 分）按第一行展開得x10Dx0y001y按第三列展開得x022 。（ 4分） Dxyxy 1y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子nx 3 ，再通過行列式的變換化 i為上三角形行列式WORD格式12、證明11）專業(yè)資料整理四、證明題11、證明：（1） 、因?yàn)?，1x3xDxnii1i11xx3,線3性3 無關(guān)，所以2

13、，又 1，線23性 相關(guān)，故2）、反正法）若不，4 能由 1，不妨設(shè)2, 3 線性表出，4kkk112233由（ 1）知，1能由不妨設(shè)1t 12t 23。所以這表明xx2n2n2n0300034 分）xx2nnn1x(4 分)ii13線性無關(guān)。，1能由 2，3線性表出。 （4 分 ）2，4k(tt)k1k122，322332，,線34性 相關(guān)，3線性表出，矛盾。( Ef(A)(EA)E(EA)(EA)(EA)33r( ，1，23) 3，WORD格式1( EA)( EA)(EA)( EA)( EA)( E A)2E( 4 分)2) f(f(A) Ef(A)Ef(A) 1110221006）專業(yè)資

14、料整理E由fA（E1A），得代：入上（）式 得11（）f(f(A)E(EA)(EA)(EA11111)( EA)( EA)(EA)(EA)22211(EA)(EA)A (4 分)22五、解答題13、解：1）由 EA0得 A 的特征值為11 ，22，35。（ 4 分）2）11 的特征向量為1，22 的特征向量為20。（3 分） 35的特征向量為 313）因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則1, 2, 3 正交。（ 2 分）010111, 2,3 單位化得 p11，p20，3122101p（ 2 分）4）將5）取取 Pp,p,p01 2301011221PAP(1分）02000514、解：該非齊次線性方程組 Ax

15、b 對(duì)應(yīng)的齊次方程組為Ax0WORD格式因 R(A)3 ，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有 1 個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都是它的 基礎(chǔ)解系。( 5 分)另一方面，記向量 2()1，則23AA(2 123)2A1A 2A32bbb0T，就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)直接計(jì)算得 (3,4,5,6)03243知，原方程組的通解為xk1k， kR。( 7 分)546515、解：將與聯(lián)立得非齊次線性方程組:xxx0,123x2xax0,1232x4xa x0,12a 3x2xxa1.123且的解即為所求全部公共解若此非齊次線性方程組有解 , 則與有公共解對(duì)的增廣矩陣 A 作初等行變

16、換得 :00001專業(yè)資料整理1110111012a001a10A214a000 (a2)( a 1)0121a1001aa14 分)1°當(dāng) a1 時(shí)，有 r(A)r(A)23 ，方程組有解 ,即與有公共解 , 其全部公共解即 為的通解，此時(shí)10100100A，0000則方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為WORD格式4 分)4 分)1 所以與的全部公共解為 k0， k為任意常數(shù) .12°當(dāng) a2 時(shí)，有 r(A)r(A)3 ，方程組有唯一解 , 此時(shí)10000101 A， 0011000000 故方程組的解為 :, 即與有唯一公共解 x.1111專業(yè)資料整理線性代數(shù)習(xí)題和

17、答案第一部分選擇題 （共 28 分）、單項(xiàng)選擇題（本大題共 14 小題，每小題 2 分，共 28 分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分aa1112=m，aa1311=n，則行列式 aa1a1 1213等于（）aaaaaaa2122232121222313.設(shè)行列 式A. m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n10014.設(shè)矩陣A=020-1，則 A等于（）11003B.10 0001130 000200111320000D.1003A.C.01010030010015. 設(shè)矩陣 A=312101，A是 A的伴隨矩陣，則中位于（

18、1， 2）的元素是（）214A. 6B.6AB=AC，則必有（）C.2D. 216. 設(shè) A 是方陣，如有矩陣關(guān)系式A.A= 0 B.BC時(shí) A=0C.A0 時(shí) B=CD.|A|0時(shí) B= C17. 已知 3×4 矩陣 A 的行向量組線性無關(guān)，則秩（ A T） 等于（）A.1B.2C.3D.418.設(shè)兩個(gè)向量組A. 有不全為0 的數(shù) 1，1，B.有不全為0 的數(shù)1，C. 有不全為0 的數(shù)D. 有不全為0 的數(shù)和 1 1+ 2 2+?+1，1， 2 ，? ， s 和 2 ， ? ， s 使 ?， s使 ?， s使 2， 1， 11( 2 ，1+ 2 ?， s 均線性相關(guān)，則（）2+?+

19、 s s=0 和 1 1+1+ 1) + 2( 2+2) +?+ s( 1- 1) + 2(?， s和不全為0 的數(shù) s=02 2+? s s=0+) =0s) 2- 2) +?+ s( 1， 2， ? ， s 使 1 1+ 22+?+s-=0s=0A. 1+2是 Ax=0的一個(gè)解 B.1 1 1+ 2 是 Ax=b 的一個(gè)解2 219.設(shè)矩陣 A的秩為r ，則 A中A.所有 r-1 階子式都不為0B.所有 r- 1階子式全為0C.至少有一個(gè) r 階子式不等于 0D. 所有 r 階子式都不為020.設(shè) Ax=b 是一非齊次線性方程組，1， 2是其任意 2 個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）C.1-2

20、是 Ax=0的一個(gè)解 D.2 1- 2是 Ax=b的一個(gè)解21.設(shè) n 階方陣 A不可逆，則必有（）A. 秩（A）<nB. 秩（A）=n-1C.A=0D.方程組 Ax=0 只有零解22.設(shè) A是一個(gè) n（3） 階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數(shù) 和向量 使 A = ，則 是A的屬于特征值 的特征向量B. 如存在數(shù) 和非零向量 ，使（E-A）=0，則 是A的特征值C. A 的 2 個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D. 如1， 2， 3是A的3個(gè)互不相同的特征值， 1， 2， 3依次是 A的屬于 1， 2， 3的特征向量，則 1， 2， 3 有可能線性相關(guān)11設(shè). 0是矩陣 A的特

21、征方程的A.k 3B.k<33 重根， A的屬于 0 的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為 k ，則必有（）C.k=3D.k>39. 設(shè) A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò) 誤的是（）A.|A|D.A 的行（列）向量組是正交單位向量 組TB=CAC.則（）2 必為1B.|A| 必為1 -1T C.A=A10. 設(shè) A 是實(shí)對(duì)稱矩陣， C是實(shí)可逆矩陣， A.A 與 B 相似B. A 與 B 不等價(jià)C. A 與 B 有相同的特征值D.A 與 B 合同11. 下列矩陣中是正定矩陣的為 （）A.233434 B.26100111C.D.023120035102第二部分非選擇題（7共2 分）、填空題格內(nèi)本大

22、題共 10 小題， 錯(cuò)填或不填均無分。每小題 2 分，共 20 分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空23.111356.9253624. 設(shè) A=1 111 11 ， B=.則 A+2B=.3，25.設(shè) A=(a ij ) 3×3，|A|=2 ，Aij 表示|A| 中元素 aij 的代數(shù)余子式( i,j=1,2,3 222(a 11A21+a12A22+a13A23)+(a 21A21+a22A22+a23A23)+(a 31A21+a32A22+a33A23)=.26.設(shè)向量( 2，-3， 5)與向量( -4，27.設(shè) A是 3× 4 矩陣，其秩為 3，若為.28

23、.設(shè) A是 m× n矩陣， A的秩為為.）,則6， a）線性相關(guān)，則 a=.1， 2 為非齊次線性方程組 Ax=b的 2 個(gè)不同的解，則它的通解r(<n)則齊次線性方程組 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)數(shù)29.設(shè)向量30.設(shè) 3 階矩陣31. 設(shè)矩陣 A=， 的長度依次為A 的行列式 |A|=8 01062已知 133121082則向量 + 與 - 的內(nèi)積（2和 3，已知 A有 2個(gè)特征值 -1 和 4，則另一特征值為 . + ， - )=是它的一個(gè)特征向量，則 所對(duì)應(yīng)的特征值為 .f（x1,x2,x3,x4,x5） 的秩為 4，正慣性指數(shù)為 3，則其規(guī)范形為 .6 分，

24、共三、計(jì)算題（本大題共7 小題，每小題1202 3 133. 設(shè) A=340 ，B=32.設(shè)實(shí)二次型241211）34.試計(jì)算行列式311251342011153342335.設(shè)矩陣 A=，求矩陣 B 使其滿足矩陣方程11012342 分）TAB ；(2) |4A|.21301301， 2=， 3=， 4=0224AB=A+2B.341936. 給定向量組 1=試判斷 4是否為 1，2， 3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。37. 設(shè)矩陣 A=12102242662102333334求：（1）秩（ A）；（2） A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。WORD格式5555011專業(yè)資料整理38. 設(shè)

25、矩陣 A=022234243的全部特征值為 1，1 和 -8. 求正交矩陣 T 和對(duì)角矩陣 D，使 T1- 1AT=D.39. 試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形222 f（x 1,x 2,x 3）=x 1xxxxxxxx 23444， 23121323并寫出所用的滿秩線性變換。 四、證明題（本大題共 2 小題，每小題 5 分，共 10 分）3 -1 240. 設(shè)方陣 A滿足 A=0，試證明 E-A 可逆，且（ E-A）=E+A+A .41. 設(shè) 0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)特解， 1， 2是其導(dǎo)出組 Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 .試證明 （ 1） 1= 0+ 1， 2= 0+ 2 均是 Ax

26、=b 的解；（ 2） 0， 1， 2 線性無關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 14 小題，每小題 2 分，共 28 分）12. D2.B3.B4.D5.C4. D7.C8.A9.A10.B2.A12.B13.D14.C、填空題（本大題共 10 空，每空 2 分，共 20 分）3374.616.13717.418.1019. 1+c（ 2- 1）（或 2+c（ 2- 1） ），c 為任意常數(shù)222220.n-r21. 522. 223.124.z 1zzz234三、計(jì)算題本大題共 7 小題，每小題6 分，共 42 分）25.解（ 1）T 1202286AB=.34034181012110310

27、2）|4A|=43|A|=64|A| ，而120 |A|= 3402. 所以 |4A|=64 ·（ -2 ） =-128 12131125111511513411131= 1111201100105501533553026.解B=A，而51162062301040.27.解 AB=A+2B即（ A- 2E）223143A-2E ） 110153.121164WORD格式專業(yè)資料整理- 1A=所以 B=(A-2E)143423386153110296.16412321292130053210351035130113010112011202240112008800113419013112

28、001414000042.解一100201010011所以 4=21+ 2+ 3，組合系數(shù)為（ 2，1，1）.0000解二考慮 4=x1 1+x2 2+x3 3，2xx3x0123x3x1122x2x4233x4xx9.123 方程組有唯一解( 2， 1， 1)組合系數(shù)為（ 2 ，1，1）.43.解對(duì)矩陣 A 施行初等行變換1）2）121021210212102000620328209632000217000000328303283=B.0006200031秩（ B） =3，所以秩（ A）由于 A與 B 的列向量組有相同的線性關(guān)系，而 向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故 A 的第 1、 組。=秩（ B） =3.B 的第 1、2 、 4 列是 B 的列A 的第 1、44.解 A 的