三角形五心及其性質(zhì)

1、.三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。三角形垂心的性質(zhì)設(shè) ABC的三條高為AD BE CF,其中D E、F為垂足，垂心為H,角 A B、C的對邊分別為 a、b、c, p=（a+b+c）/2 .1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心;3、垂心H關(guān)于三邊的對稱點，均在 ABC的外接圓上。4、 ABC中，有六組四點共圓，有三組（每組四個）相似的直角三角形，且 AH?HD=BHHE=CHHR5、H、A B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂6、心（并稱這樣的四點為

2、一一垂心組）。 ABC ABH BCH ACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過 H的直線交AB AC所在直線分別于P、Q 貝J AB/AP?tanB+AC/AC?tanC二tanA+tanB+tanC。8 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。9、設(shè)0, H分別為 ABC的外心和垂心，則/ BAO=/ HAC / ABH二/ 0BCZ BC0M HCA10、銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。11、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形（頂點在原三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長最短。12、西姆松定理（西姆松線）

3、：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。13、設(shè)銳角 ABC內(nèi)有一點T那么T是垂心的充分必要條件是P B* PC*BC+PB* PA*AB+PA*P C*AC=AB*BC*CA垂心的向徑定義設(shè)點H為銳角三角形ABC的垂心，向量OH=h向量OA=a向量OB=b 向量 OC=c則 h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC).垂心坐標(biāo)的解析解:設(shè)三個頂點的坐標(biāo)分別為（a1，b1）（a2，b2）（a3，b3），那么垂心坐標(biāo) x= x/2/ , y=- y/2/。其中,二det(x2-x1 , x3-x2 ,y2-y1 ,

4、 y3-y2)；X二det(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y3-y2);y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2) y=det(x3-x2(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3);垂心的向量特征：三角形 ABC內(nèi)一點0,向量OA?OB=OBOC=OC 0A則點0是三角形的垂心證明由 0A?0B=0B0C 得OA?OB-OCOB=0(OA-OC)?OB=0CA?OB=0即OB垂直于AC邊同理由O召OC=O?OA可得OC垂直于AB邊由OA?OB=O?OA 得OA垂直于BC

5、邊顯然點O是三角形的垂心三角形的重心重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是 塞瓦定理 的特例。三角形重心已知： ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于0,CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。證明：根據(jù)燕尾定理，SA AOB= AOC又SA AOB=S BOC SA A0C= B0C再應(yīng)用燕尾定理即得 AF=BF命題得證。重心的幾條性質(zhì):1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2： 1。2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4. 在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)

6、平均，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+ Y2+Y3)/3);空間 直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y 2+Y3)/3 豎坐標(biāo):(Z1+Z2+Z3) /35. 重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。證明：剛才證明三線交一時已證。6. 重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。其它規(guī)則圖形的重心注：下面的幾何體都是均勻的，線段指細(xì)棒，平面圖形指薄 板。三角形的重心就是三邊中線的交點。線段的重心就是線段的中點。平行四邊形的重心就是其兩條對角線的交點，也是兩對對邊 中點連線的交點。平行六面體的重心就是其四條對角線的交點，也是六對對棱 中點連線的交點

7、，也是四對對面重心連線的交點。圓的重心就是圓心，球的重心就是球心。錐體的重心是頂點與底面重心連線的四等分點上最接近底 面的一個。四面體的重心同時也是每個定點與對面重心連線的交點，也是每條棱與對棱中點確定平面的交點。圖 3-115三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心叫做旁心。旁心是一個三角形內(nèi)角平分線 與其不相鄰 的兩個外角平分線的 交點，它到三角形三邊的 距離相等。如圖， 點M就是 ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定 在三角形外。若設(shè)0為 ABC的旁心，用向量表示則有 aOA二bOB+cOC1、三

8、角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。2、每個三角形都有三個旁心。內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，即 內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線 交點的原理：經(jīng)圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊內(nèi)心定理：三角形的三個內(nèi)角的 角平分線 交于一點。該點叫做三 角形的內(nèi)心。注意到內(nèi)心到三邊距離相等（為內(nèi)切圓半徑）,內(nèi)心定理其實極易證。若三邊分別為11 ,12 ,13，周長為P,則內(nèi)心的 重心坐標(biāo) 為(11/ p,l2/p,l3/p)直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊 的差的二分之一。雙曲線上任一支上一

9、點與兩焦點組成的三角形的內(nèi)心在實 軸的射影為對應(yīng)支的頂點。三角形內(nèi)心 的性質(zhì) 設(shè)/ABC的內(nèi)切圓為。O（半徑r），角A、B、C 的對邊分別為 a、b、c, p=（a+b+c）/2。1、三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的內(nèi)心。2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑3、r=S/p。證明：SA ABC=S OAB+S OAC+S OBC=(cr+b葉ar)/2二rp.即得結(jié)論。 ABC中，/ C=90°, r=(a+b-c)/2。5、/ BOC=90 +A/2。6、點O是平面ABC上任意一點，點 O是/ ABC內(nèi)心的 充要條 件是:a（向量 OA）+b（向量 OB）

10、+c（向量 OC）二向量0。7、點0是平面ABC上任意一點，點I是/ ABC內(nèi)心的充要條件是:向量 Ol=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c)。8 / ABC 中，A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3)，那么 /ABC內(nèi)心 I的坐標(biāo)是:(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。9、（歐拉定理）/ ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，0和I分別為其 外心和內(nèi)心，則 01八2=RA2-2Rr 。10、（內(nèi)角平分線分三邊長度

11、關(guān)系）角平分線分對邊與該角的兩邊成比例。證明： ABC中，AD是/ A的角平分線， D在BC上，abc是角的對邊 ABC, d=AD。由于正弦定理 b/sinB=c/sinC d=R1sinB二R2sinC , R1是 ABD的外接圓半徑， R2是 ACD的外接圓半徑，所以 R1/R2=sinC/sinB二c/b.又 BD=R1sinBAD,CD=R2sinCAD,/ CAD2 BAD 所以 BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點，三角形的三個頂點就在這個外接圓上a、b、三角形外心的性質(zhì)設(shè)/ABC的外接圓為。

12、G(R)，角A、B、C的對邊分別為c， p二(a+b+c)/2 .1:( 1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi);(2)直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合;(3 )鈍角三角形的外心在三角形外2:Z BGC二N A,(或/ BGC=2(180° - / A).3:點G是平面ABC上一點，那么點 G是/ABC外心的充要條件是:(向量GA+向量GB)-向量AB=(向量GB+向量GC)-向量BC=(向量GC+向量GA) 向量 CA=|向量0.4:點G是平面 ABC上一點，點 P是平面ABC上任意一點,那么點G是/ ABC外心的充要條件是:(1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(