阿波羅尼斯圓問題

1、阿波羅尼斯圓問題一【問題背景】蘇教版數(shù)學(xué)必修2第 12 題：已知點 M (x, y) 與兩個定點 O(0,0), A(3,0) 的距離之比為1 ，那么點 M 的坐標應(yīng)滿足2什么關(guān)系畫出滿足條件的點M 所構(gòu)成的曲線二、【阿波羅尼斯圓】公元前 3 世紀，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius ）在平面軌跡一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓如圖，點 A, B 為兩定點，動點P滿足 PAPB ，則1P的軌跡為直線；當(dāng)1時，動點P的軌跡為圓，時，動點后世稱之為 阿波羅尼斯圓 證：設(shè) AB2m（ m 0）,PAPB 以 AB 中點為原點

2、，直線AB 為 x 軸建立平面直角坐標系，則A（m，0），B（m，0）又設(shè) C（ x， y），則由 PAPB 得( xm)2y 2( xm) 2y2，兩邊平方并化簡整理得 （2）2（2）（2）222（）1 x 2m1 x1 ym 1，當(dāng)1時， x0 ，軌跡為線段AB 的垂直平分線；當(dāng)1時， ( x21m)2y24 2 m22 ，軌跡為以點 (221(21)2長為半徑的圓上述課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理三、【范例】12 mm,0)為圓心，211例 1滿足條件 AB2, AC2BC 的三角形 ABC 的面積的最大值是解： 以 AB 中點為原點，直線AB 為 x 軸建立平面直角坐標系，則A

3、（1，0），設(shè)，由 AC2BC 得222（x2y2，B（1，0）C（ x， y）（ x 1） y1）平方化簡整理得y2x2288 ， y2 2，則6x 1 （ x 3）S ABC12 y22 ， S ABC 的最大值是 22 2變式 在ABC 中，邊 BC 的中點為 D ，若 AB2, BC2AD ，則ABC 的面積的最大值是解：以 AB 中點為原點， 直線 AB 為 x 軸建立平面直角坐標系，則 A（1，0），B（1，0），由 BDCD,BC2AD 知， AD2BD ， D 的軌跡為阿波羅尼斯圓，方程為x 32y28C (x, y)BCDx1 y，所以點C的軌跡方程為（，設(shè)，的中點為得D (

4、, )）22x1y 2（2，即52232）()8y，232（ x）1SABC2yy324 2 ，故 S ABC 的最大值是 42 2例 2在平面直角坐標系xOy 中，設(shè)點 A(1,0), B(3,0), C (0, a), D (0, a2) ，若存在點P ，使得 PA2PB, PCPD ，則實數(shù) a 的取值范圍是解： 設(shè) P( x, y) ，則( x1)2y22(x3)2y2 ，整理得 (x5)2y28，即動點 P 在以 (5,0)為圓心， 22 為半徑的圓上運動另一方面，由PCPD 知動點 P 在線段 CD 的垂直平分線ya1上運動，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線ya1與圓 ( x5)2y28 有交

5、點，所以 a122 ，故實數(shù) a 的取值范圍是 221,221例 3在平面直角坐標系xOy 中，點 A 0,3，直線 l：y2x4. 設(shè)圓的半徑為 1，圓心在 l上.若圓 C 上存在點 M ，使 MA2MO ，求圓心 C 的橫坐標 a 的取值范圍 .解：設(shè)Ca,2 a4xa2y 2a21，則圓方程為4又設(shè) M ( x0 , y0 )， Q MA2MOx02y024x0 24 y02 ， 即3x02y0124這說明 M 既在圓xa2y2a421上，又在圓 x2y24 上，因而這1兩個圓必有交點，即兩圓相交或相切，2 122a 4 ( 1)2a 02 1，解得 01212a，即 a 的取值范圍是

6、0,55例 4已知 O : x2y 21和點 M (4,2) .（1）過點 M 向 O 引切線 l ，求直線 l 的方程；（2）求以點 M 為圓心，且被直線y 2x1截得的弦長為4 的 M 的方程；（3）設(shè) P 為（ 2）中 M 上任一點，過點P向 O 引切線，切點為Q. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點R ，使得 PQ 為定值若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，PR請說明理由 .解：（ 1）設(shè)切線 l 方程為 y2k(x4) ，易得 | 4k2 |1 ，解得 k819 ，k 2115切線 l方程為 y2819 ( x4) 15（ 2）圓心到直線 y 2x1 的距離為5 ，設(shè)圓的半徑為

7、r ，則 r 22 2(5 )29 M 的方程為 ( x4) 2( y2) 29（ 3）假設(shè)存在這樣的點R(a,b) ，點 P 的坐標為 ( x, y) ，相應(yīng)的定值為，根據(jù)題意可得 PQx 2y 21 ，x 2y 21b) 2，( xa) 2( y即 x 2y212 ( x2y 22ax2by a 2b 2 )（*），又點 P 在圓上 (x4) 2( y2) 29 ，即 x2y 28x 4 y11，代入（ * ）式得：8x 4 y122(82a)x(4 2b) y (a 2b211)2 (82a)8若系數(shù)對應(yīng)相等，則等式恒成立，2 (42b)4，2 (a2b 211)12解得 a2,b1,2

8、或 a2 , b1 ,10，553可以找到這樣的定點 R ，使得 PQ 為定值 .如點 R 的坐標為 (2,1) 時，比值為2 ；PR點 R的坐標為 (2,1) 時，比值為10 553四、【練習(xí)】1如圖，在等腰ABC 中，已知ABAC ， B( 1,0) ，AC 邊的中點為D (2,0) ，點C 的軌跡所包圍的圖形的面積等于解： AB2AD ，所以點A 的軌跡是阿波羅尼斯圓，易知其方程為( x3)2y 24 ，設(shè) C ( x, y) ，由AC 邊的中點為D (2,0)知A(4x,y) ，所以C 的軌跡方程為(4x3) 2(y)24，即( x1)2y 24 ，面積為42如圖，已知平面平面， A、

9、B是平面與平面的交線上的兩個定點，DA,CB，且DA，CB， AD4，BC8， AB6 ，在平面上有一個動點 P，使得APDBPC ，求PAB 的面積的最大值解： 將空間幾何體中的線、面、角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點 P 所滿足的幾何條件DADA PA,在 Rt PAD 中, tan APDAD4AP，BC8AP同理 tanBPCBP，BPAPDBPCBP 2AP ，這樣就轉(zhuǎn)化為題3 的題型在平面上 , 以線段 AB 的中點為原點 ,AB 所在的直線為x 軸 , 建立平面直角坐標系，則A( 3,0), B(3,0) ，設(shè) P(x, y) 則有( x3)2y22 (x3)2y2 ( y0)化簡得 :

10、( x5) 2y 216 ，y216( x5)216 ， | y |4 ，PAB 的面積為 S PAB1 | y | | AB | 3| y |12 ，當(dāng)且僅當(dāng) x5, y4 等號取得，則2PAB 的面積的最大值是12 3 圓 O1 與圓 O2 的半徑都是1， O1O24 ，過動點 P 分別作圓 O1 、圓 O2 的切線PM , PN （ M , N 分別為切點） ，使得 PM2PN 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担?并求動點 P 的軌跡方程 .解：以 O1 ， O2 的中點 O為原點， O1 ， O2 所在直線為x 軸，建立如圖所示平面直角坐標系，yPMNO1xOO2則 O1 ( 2,0) ， O2 ( 2,0) ，由已知 PM2PN 得 PM22PN2，因為兩圓的半徑都為 1, 所以有： PO1212( PO 221) ，設(shè) P（ x,y ），則 (x 2)2y 212( x 2)2y 21 ， 即 (x6)2y 233 ，此即 P 的軌跡方程 .4已知定點 O (0,0) ，點 M 是圓 ( x1) 2y 24 上任意一點，請問是否存在不同于O 的定點 A 使都為 MO 常數(shù)若存在，試求出所有滿足條件的點A 的坐標 , 若不存在，請說MA明理由解： 假設(shè)存在滿足條