一輪復(fù)習(xí) 實際問題的函數(shù)建模

1、實際問題的函數(shù)建模實際問題的函數(shù)建模考綱點擊考綱點擊1.1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義增長的含義. .2.2.了解函數(shù)模型了解函數(shù)模型( (如指數(shù)如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型普遍使用的函數(shù)模型) )的的廣泛應(yīng)用廣泛應(yīng)用. .熱點提示熱點提示1.1.考查數(shù)學(xué)建模能力以及考查數(shù)學(xué)建模能力以及分析問題、解決問題的能分析問題、解決問題的能力；幾種增長型函

2、數(shù)模型力；幾種增長型函數(shù)模型的應(yīng)用可能會成為的應(yīng)用可能會成為20112011年年高考的又一生長點高考的又一生長點. .2.2.多以解答題的形式出現(xiàn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中、高檔題，偶爾也會屬中、高檔題，偶爾也會在選擇題、填空題中考查在選擇題、填空題中考查. .1.1.幾類函數(shù)模型及其增長差異幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型 (2)三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較指數(shù)函數(shù)yax(a1)與冪函數(shù)yxn(n0)在區(qū)間(0，)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會小于xn，但由于ax的增長 xn的增長，因而總存在一個x0，當(dāng)xx0時有 .對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)與冪函數(shù)yx

3、n(n0)對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)的增長速度，不論a與n值的大小如何總會 yxn的增長速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個實數(shù)x0，使xx0時有 .由可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此沒能在(0)上，總會存在一個x0，使xx0時有 .快于快于a ax x x xn n慢于慢于logloga ax x x xn n logloga ax x2.2.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟( (四步八字四步八字) )(1) ：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2) ：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用

4、數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3) ：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4) ：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題的意義以上過程用框圖表示如下：審題審題建模建模求模求模還原還原1.下列函數(shù)中，隨x的增大而增大速度最快的是()A.yf(1,100)ex By100ln xC.yx100 Dy1002x【答案答案】A【解析解析】在(0，)上，總存在一個x0，使xx0時，有axxnlogax.排除B、C，又e2， 的增長速度大于1002x的增長速度2.在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量y t與單價x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，如果購買1 000 t，每噸為800元；購買2 000 t，每噸為700元；一客戶購買400

5、t，單價應(yīng)該是()A.820元 B840元C.860元 D880元【解析解析】依題意，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，由x800，y1 000及x700，y2 000，可得k10，b9 000，即y10 x9 000，將y400代入得x860.【答案答案】C3.某商場宣傳在節(jié)假日對顧客購物實行一定的優(yōu)惠，商場規(guī)定：如一次購物不超過200元，不予以折扣；如一次購物超過200元，但不超過500元，按標(biāo)價予以九折優(yōu)惠；如一次購物超過500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過500元的給予八五折優(yōu)惠；某人兩次去購物，分別付款176元和432元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應(yīng)付款()A.570.3

6、元 B582.6元C.590.5元 D600元【答案答案】B【解析解析】由題意得付款432元時,實際標(biāo)價為432 480元時，如果一次購買標(biāo)價176480656(元)的商品應(yīng)付款,5000.91560.85582.6(元)4.某種商品降價10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價_【答案答案】11.11%【解析解析】設(shè)商品原價為a，應(yīng)提價為x，則有a(110%)(1x)a，5.某工廠生產(chǎn)其種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40Q Q2，則總利潤L(Q)的最大值是_【答案答案】2 500萬元【解析解析】總利潤L(Q)40Q Q21

7、0Q2 000 (Q300)22 500.故當(dāng)Q300時，總利潤最大值為2 500萬元一次函數(shù)與二次函數(shù)模型一次函數(shù)與二次函數(shù)模型 某人要做一批地磚，每塊地磚(如圖1所示)是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為321.若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置時，做這批地磚所需的材料費用最??？【思路點撥思路點撥】(1)需證明其四邊相等，且四個內(nèi)角均為90；(2)先列

8、出函數(shù)表達(dá)式，由函數(shù)模型求出最值【自主探究自主探究】(1)圖2是由四塊圖1所示地磚組成，由圖1依次逆時針旋轉(zhuǎn)90，180，270后得到，EFFGGHHE，CFE為等腰直角三角形，四邊形EFGH是正方形(2)設(shè)CEx，則BE0.4x，每塊地磚的費用為W，制成CFE、ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)，W x23a 0.4(0.4x)2a0.16 x2 0.4(0.4x)aa(x20.2x0.24)a(x0.1)20.23(0 x0，當(dāng)x0.1時，W有最小值，即總費用最省當(dāng)CECF0.1米時，總費用最省【方法點評方法點評】1.在實際問題中，有很多問題的兩變量之間

9、的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)；2.有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等一般利用函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸與單調(diào)性解決，但一定要注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯1.某市現(xiàn)有從事第二產(chǎn)業(yè)人員100萬人，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值a萬元(a為正常數(shù))，現(xiàn)在決定從中分流x萬人去加強(qiáng)第三產(chǎn)業(yè)分流后，繼續(xù)從事第二產(chǎn)業(yè)的人員平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值可增加2x%(0 x0，x0，可解得0 x50.設(shè)該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值增加f(x)萬元，則f(x)(100 x)a(12x%)1.2ax100a0.02a(x2110 x)

10、0.02a(x55)260.5a，x(0,50f(x)在(0,50上單調(diào)遞增，當(dāng)x50時，f(x)max60a，因此在保證第二產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值不減少的情況下，分流出50萬人，才能使該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值增加最多分段函數(shù)模型分段函數(shù)模型 北京奧運會紀(jì)念章某特許專營店銷售紀(jì)念章，每枚進(jìn)價為5元，同時每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向北京奧組委交特許經(jīng)營管理費2元，預(yù)計這種紀(jì)念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2 000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價格為x元(1)寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種

11、紀(jì)念章所獲得的利潤y(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式(并寫出這個函數(shù)的定義域)(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內(nèi)利潤y(元)最大，并求出這個最大值【思路點撥思路點撥】(1)利潤(售價進(jìn)價管理費)(銷售的紀(jì)念章數(shù))，注意價格取值是分段的；(2)分段函數(shù)求最值時，要分段求，然后比較大小【自主探究自主探究】(1)依題意,此函數(shù)的定義域為(0,40)當(dāng)0 x20，則當(dāng)x16時，ymax32 400(元)當(dāng)20 x4時，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過4噸，即3x4時，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)

12、模型 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)【思路點撥思路點撥】【自主探究自主探究】(1)1年后該城市人口總數(shù)為y1001001.2%100(11.2%)，2年后該城市人口總數(shù)為y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，3年后該城市人口總數(shù)為y100(11.2%)2

13、100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3.x年后該城市人口總數(shù)為y100(11.2%)x(xN N* *)(2)10年后人口總數(shù)為100(11.2%)10112.7(萬)(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬人，即100(11.2%)x120，xlog1.0121.2016(年)因此，大約16年以后該城市人口將達(dá)到120萬人【方法點評方法點評】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用是高考的一個主要內(nèi)容，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查在實際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示通?？杀硎緸閥a(1p)x(其中a為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為

14、時間)的形式3.對于五年可成材的樹木，在此期間的年生長率為18%，以后的年生長率為10%，樹林成材后，既可以出售樹木，重栽新樹木；也可以讓其繼續(xù)生長問哪一種方案可獲得較大的木材量？(只需考慮十年的情形)【解析解析】設(shè)新樹苗的木材量為Q，則十年后有兩種結(jié)果：連續(xù)生長十年，木材量NQ(118%)5(110%)5；生長五年后重栽，木材量M2Q(118%)5，則因為(110%)51.611，即MN.因此，生長五年后重栽可獲得較大的木材量1.(2009年湖北高考)在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機(jī)運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機(jī)20臺

15、；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機(jī)10臺若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為()A.2 000元B2 200元C.2 400元 D2 800元【解析解析】設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件求線性目標(biāo)函數(shù)z400 x300y的最小值解得當(dāng) 時zmin2 200，故選B.【答案答案】B2.(2009年上海高考)可用函數(shù)f(x)描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(xN N* *)，f(x)表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān)(1)證明：當(dāng)x7時，掌握程度的增長量f(x1)f(x)總是下降；(2)根據(jù)經(jīng)

16、驗，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121，(121,127，(127,133當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科【解析解析】(1)證明：當(dāng)x7時，f(x1)f(x)而當(dāng)x7時，函數(shù)y(x3)(x4)單調(diào)遞增，且(x3)(x4)0，故f(x1)f(x)單調(diào)遞減當(dāng)x7，掌握程度的增長量f(x1)f(x)總是下降(2)由題意可知0.115ln 0.85，整理得解得a 620.506123.0，123.0(121,127由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科3.(2009年湖南高考)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測算，一

17、個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2 )x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？所以【解析解析】(1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n 當(dāng)0 x64時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64x0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)所以f(x)在x64處取得最小值此時n 1 19.故需新建9個橋墩才能使y最小解應(yīng)用題，首先應(yīng)通過審題，分析原型結(jié)構(gòu)，深刻認(rèn)識問題的實際背景，確定主要矛盾，提出必要的假設(shè)，將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問