第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性

1、第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一一.連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念1.改變量改變量21uu 初值初值終值終值記作記作: u.12uu 注注 1.改變量可正可負改變量可正可負.)(xfy xxx 00 yux)(0 xxf )(0 xf 2.2.連續(xù)連續(xù)定義定義(1) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義有定義,自變量的改變量自變量的改變量如果如果0時時,函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量x 趨于趨于y 0也趨于也趨于0lim0 yx即即,則稱則稱)(xf0 x在點在點連續(xù)連續(xù).注注)(xfy 在點在點0 x函數(shù)函數(shù)連續(xù)的幾何意義連續(xù)的幾何意義.xyoxx 00 x0 x

2、xx 0yox y x y x例例1 證明證明2)(xxf 在在2x 處連續(xù)處連續(xù).(2)(2)fxf y因因證證22(2)2x 2()4xx yx0lim所以所以20lim()4xxx 0 故故2)(xxf 在在2x 處連續(xù)處連續(xù).例例2 證明證明cxf )(在在0 xx 處連續(xù)處連續(xù).例例3證明證明xysin 在在),(內(nèi)任一點連續(xù)內(nèi)任一點連續(xù).證證在在),(內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點0 x y)sin()sin(00 xxx )()(00 xfxxf )2cos(2sin20 xxx yx0lim因因所以所以故故xysin 在在),(內(nèi)任一點連續(xù)內(nèi)任一點連續(xù).0)()(00 xfxxfy yx

3、0limxxx 0令令, 0)()(lim00 xfxfxx則則)()(lim00 xfxfxx 即即討論函數(shù)連續(xù)的另一定義形式討論函數(shù)連續(xù)的另一定義形式)()(lim000 xfxxfx 0 定義定義(2) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某鄰域的某鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 如果如果)()(lim00 xfxfxx 則稱則稱)(xf0 x在點在點連續(xù)連續(xù).注注精確性定義精確性定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義有定義, 如果如果 對對, 0 不論多么小不論多么小,總存在總存在, 0 當(dāng)當(dāng) 0 xx時時,)()(0 xfxf恒有恒有則稱則稱)(xf0 x

4、在點在點連續(xù)連續(xù).連續(xù)條件連續(xù)條件: a)有定義有定義 b)有極限有極限c)值相等值相等.有定義、有極限都是連續(xù)的有定義、有極限都是連續(xù)的必要條件必要條件.如果如果),()(lim00 xfxfxx 則稱則稱)(xf0 x在點在點右連續(xù)右連續(xù).),()(lim00 xfxfxx 則稱則稱)(xf0 x在點在點左連續(xù)左連續(xù).關(guān)系關(guān)系連續(xù)的充要條件為左連續(xù)且右連續(xù)連續(xù)的充要條件為左連續(xù)且右連續(xù).)()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx 區(qū)間連續(xù)區(qū)間連續(xù): 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)內(nèi)每一點都連續(xù)每一點都連續(xù), 則

5、稱則稱)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),并且并且在左端點右連續(xù)在左端點右連續(xù),在右端點左連續(xù)在右端點左連續(xù),則稱則稱)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)上連續(xù).注注 幾何意義幾何意義兩定義分工兩定義分工:定義定義(1)一般用于證明題一般用于證明題.定義定義(2)一般用于具體題判斷一般用于具體題判斷.例例4 討論函數(shù)討論函數(shù) )(xf xx2sin0 x0 xxe2處的連續(xù)性處的連續(xù)性.解解 )(lim0 xfx )(lim0 xfx xxx22sinlim2022)(lim0 xfx )0(f2 xxe2lim02 xxx2sinl

6、im0所以所以)0()(lim0fxfx 故故 函數(shù)函數(shù))(xf連續(xù)連續(xù).因因又又從而從而在在0 x00lim( )()xxf xf x000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x例例5 求求ba,的值的值,使函數(shù)使函數(shù))(xf在分界點連續(xù)在分界點連續(xù) )(xf 0 x0 x0 xxxsin1abxx 1sin解解 )0(fa )(lim0 xfx )(lim0 xfx1 )1sin(lim0bxxxb xxxsin1lim0依題意得依題意得ab 1故故. 1, 1 ba二二.函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(不連續(xù)點不連續(xù)點)有下列三種情況之一有下列三種情況之一,函數(shù)函數(shù))(xf0

7、x在點在點的間斷點的間斷點.則則0 x就是就是)(xfa)沒定義沒定義b)沒極限沒極限c)值不等值不等.或或或或間斷點間斷點第一類第一類第二類第二類可去可去跳躍跳躍無窮無窮其它其它按左右極限情況按左右極限情況:例例6 討論下列函數(shù)的間斷點及其類型討論下列函數(shù)的間斷點及其類型 )(xfxxsin )(xf )(xfx1 )(xfx1sin在在0 x在在0 x在在0 x1 x1 x1 xx 12/1x 2在在1 x因因)0(f不存在不存在所以間斷所以間斷.解解因因)0(f不存在不存在所以間斷所以間斷.解解因因)0(f不存在不存在所以間斷所以間斷.解解解解 因因所以間斷所以間斷.)(lim1xfx不

8、存在不存在例例6 討論下列函數(shù)的間斷點及其類型討論下列函數(shù)的間斷點及其類型解解因因解解解解解解1sinlimsinlim00 xxxxxx所以為可去間斷點所以為可去間斷點.因因0)(lim1)(lim11 xfxfxx所以為跳躍間斷點所以為跳躍間斷點. xx1lim0所以為無窮間斷點所以為無窮間斷點.因因xx1sinlim0 不存在不存在所以為其它間斷點所以為其它間斷點. )(xfxxsin在在0 x )(xf 1 x1 x1 xx 12/1x 2在在1 x )(xfx1在在0 x )(xfx1sin在在0 x關(guān)于可去間斷點的附加說明關(guān)于可去間斷點的附加說明xxxfsin)( 在在0 x是是可

9、去可去間斷點間斷點.因因, 1sinlim0 xxx而而)0(f卻不存在卻不存在, 所以間斷所以間斷.如果將如果將)0(f改成改成, 1則則)(xf在在0 x連續(xù)連續(xù).但事實上是但事實上是 )(1xf xxsin1在在0 x連續(xù)連續(xù).數(shù)學(xué)上可以通過討論數(shù)學(xué)上可以通過討論)(1xf解決解決)(xf的問題的問題.0 x0 x補充定義的方法補充定義的方法: 先求極限值先求極限值,極限值是幾極限值是幾,就將函數(shù)值改成幾就將函數(shù)值改成幾.例例7給給)0(f補充一個什么數(shù)值補充一個什么數(shù)值,能使能使xxxf )1ln()( 在點在點0 x連續(xù)連續(xù).解解xxxxxf )1ln(lim)(lim00 xxx1

10、0)1ln(lim 補充補充.)0( f三三.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果如果)(xf和和)(xg在點在點0 x連續(xù)連續(xù), 則則(1)()(xgxf 在點在點0 x連續(xù)連續(xù);(2)()(xgxf在點在點0 x連續(xù)連續(xù);(3)當(dāng)當(dāng)0)(0 xg時時,)()(xgxf在點在點0 x連續(xù)連續(xù).如果函數(shù)如果函數(shù))(ufy 在點在點0u連續(xù)連續(xù),)(xgu 在點在點0 x連續(xù)連續(xù), 并且并且),(00 xgu 則則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù))(xgfy 在點在點0 x連續(xù)連續(xù).如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在點在點0 x連續(xù)連續(xù),),(00 xfy 且且)(xfy 有反函數(shù)有反函數(shù)),(1yfx 則則)(1yf

11、 在點在點0y連續(xù)連續(xù).重要結(jié)論重要結(jié)論 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)內(nèi)連續(xù)連續(xù).注注1cos)( xxf在在定義域定義域內(nèi)不連續(xù)內(nèi)不連續(xù).問題問題:(1)初等函數(shù)求連續(xù)區(qū)間初等函數(shù)求連續(xù)區(qū)間?(2)初等函數(shù)求間斷點初等函數(shù)求間斷點?(3)分段函數(shù)求間斷點分段函數(shù)求間斷點?求極限求極限:(1)已知已知)(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), 則則)()(lim00 xfxfxx 例例8 求求.1)arctancosln(sinlim20 xxexxxx 解解 原式原式0210)0arctan0cos0ln(sine . 0 (2)極限符號與函數(shù)符號互換極限符號與函數(shù)符號互換)(lim0 xgfxx)(lim0 xgfxx)(lim)(xgfaxg)(af 條件條件:外函數(shù)在內(nèi)函數(shù)的極限點處連