導數(shù)結合“洛必達法則”巧解恒成立問答

1、導數(shù)結合“洛必達法則”巧解恒成立問題第一部分：歷屆導數(shù)高考壓軸題1.2006年全國2理設函數(shù)f(x) =(X +1)1 n(x+ 1)，若對所有的x>0，都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.2.2006全國1理1 X已知函數(shù) f X e ax1 X(I)設a 0，討論y f X的單調性;(n)若對任意 x 0,1恒有f X 1，求a的取值范圍.3.2007全國1理設函數(shù)f(x) ex ex(I)證明：f(x)的導數(shù)f(X)> 2 ；求a的取值范圍.ax，求a的取值范圍.(n)若對所有 x> 0都有f (x) > ax ,4.2008全國2理設函數(shù)f (x) Sin

2、X2 cosx(I)求f(X)的單調區(qū)間;(n)如果對任何 x > 0 ,都有f (x) <5.2008遼寧理In X設函數(shù) f(x) ln X ln(x 1).1 X求f (x)的單調區(qū)間和極值；是否存在實數(shù) a，使得關于x的不等式f(X)a的解集為(0,)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,試說明理由.6.2010新課標理設函數(shù) f (x) = ex 1 x ax2.(I)若a 0,求f(x)的單調區(qū)間；(n)若當x>0時f (x)0,求a的取值范圍7.2010新課標文已知函數(shù)f(x) x(ex 1) ax2.(I)若(n)當x 0時，f (x)0，求a的取值范圍.8.2

3、010全國大綱理f (x)在x1時有極值，求函數(shù) f (x)的解析式;設函數(shù)f (x)1 e(I)證明：當x1時,(n)設當x 0時,f(x)-xx1,求a的取值范圍.ax9.2011新課標理已知函數(shù)-，曲線xf(x)在點(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.(I)求b的值;Gn)如果當x 0，且x 1時,ln x kf(x) 一，“求k的取值范圍.x 1 x10.自編3自編：若不等式sinx x ax對于x (0,)恒成立，求a的取值范圍.第二部分：新課標高考命題趨勢及方法1.新課標高考命題趨勢近年來的高考數(shù)學試題逐步做到科學化、規(guī)范化，堅持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數(shù)學作

4、為基礎學科的作用，既重視考查中學數(shù)學基礎知識的掌握程度,又注重考查進入高校繼續(xù)學習的潛能。 為此，高考數(shù)學試題常與大學數(shù)學知識有機接軌,以高等數(shù)學為背景的命題形式成為了熱點2.分類討論和假設反證許多省市的高考試卷的壓軸題都是導數(shù)應用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點考查的題型.這類題目容易讓學生想到用分離參數(shù)法，一部分題用這種方法很奏效，另一部分題在高中范圍內用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路一一分類討論和假設反證的方法3.洛必達法則0-型及一型函數(shù)未定式的一種解法0雖然這些壓軸題可以用分類討論和假設反證的方法求解,但這種方法往往討論多樣、過于繁雜，學生掌握起來非

5、常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問題的原因是出現(xiàn)了 0 ”型的式子，而這就是大學數(shù)學中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是洛必達法則.第三部分：洛必達法則及其用法1.洛必達法則洛必達法則：設函數(shù)f (x)、g(x)滿足:lim f(X) lim g(x) 0 (1)xa / xa八/(2)在 U''(a)內，f (x)和 g(x)都存在，且 g(x) 0 ；lim 3A(3)xag(x)( A可為實數(shù)，也可以是lim 通 lim 3 A則xag(x) xag(x).(可連環(huán)使用)求極限得最值。2.2011新課標理的常規(guī)解法上L 上/ aInx 已知函數(shù)f (

6、x)-，曲線xy f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為 x 2y 30.(I)求 a、b的值;(” n)如果當x 0，且x 1時,f(x)Inxn(I)略解得(n)方法一：分類討論、假設反證法由(I)知 f (x)x 1丄，所以xf(x)(In x2k)亠(2lnx (k 1)(x1).x 1 x考慮函數(shù)h(x) 2ln x則 h'(x)(k 1)(x21) 2x(i)當 k0 時，由 h'(x)k(x21) (x 1)2知,1時,h'(x)0 .因為 h(1)0 ,所以當x (0,1)時，h(x)0，可得11 x2h(x)(1,)時，h(x) 0，可得h(x) 0

7、 ,從而當x1 x1時,f(x)In(7 1k-)x(ii )當0 k 1時，由于當(1,丄)時，(k1 k1)(x21)2x0,故 h'(x)0，而h(1) 0，故當x (1,丄)時,1 kh(x) 0,可得-1.h(x)與題設矛盾.(iii )當 k 1 時，h'(x)0,而 h(1)0 ,故當 x (1,)時，h(x) 0，可得h(x) 0，與題設矛盾綜上可得，k的取值范圍為(，0.1 x注：分三種情況討論： k 0 :0 k 1 :k 1不易想到尤其是0 k 1時,許多考生都停留在此層面，舉反例x (1,丄)更難想到而這方面根據不同題型涉及的解法1 k也不相同，這是高中

8、階段公認的難點，即便通過訓練也很難提升3.運用洛必達和導數(shù)解2011年新課標理當x 0，且x1 時，f(x)In x1 ln x也即kx 12xln x1 x21，記 g(x)x x2xln x1 x2則 g '(x)2(x21)ln x 2(12 2x2)2(x2 1)(1 x )(122x )(In xV2) x2 1)記 h( x)In x，則 h'(x)4x從而h(x)在(0,)上單調遞增,22x )1+x (1+x2)2x(1+x2)2(1且h(1)0，因此當x (0,1)時,h(x) 0,當 x (1,)時，h(x) 0 ;當 x (0,1)時，g'(x)0

9、,當 x(1,)時，g'(x)0 ,所以 g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,)上單調遞增.由洛必達法則有l(wèi)im g (x) lim(x 1x 112xln x1) 12xl nxlim2x 1 1 x22x即當x 0，且x1時,g(x) 0 .因為k g(x)恒成立，所以k 0 .綜上所述，當x 0，且 x 1 時，f (x)ln x k蘆;成立，k的取值范圍為(,0.注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)k分離出來.然后對分離出來的函2x ln x數(shù)g(x) 仝罟 1求導，研究其單調性、極值1 x此時遇到了“當x=1時，函數(shù)g(x)值沒有意義”這一問題，很多考生會陷入困

10、境.如果考前對優(yōu)秀的學生講洛必達法則的應用，再通過強化訓練就能掌握解決此類難題的這一有效 方法.當然這一法則出手的時機：(1 )所構造的分式型函數(shù)在定義域上單調(2)是0型。04.運用洛必達和導數(shù)解2010新課標理x設函數(shù)f (x) e 1 x2 ax .(I)若a 0，求f(x)的單調區(qū)間;(n)當 x 0時，f(x) 0,求a的取值范圍.應用洛必達法則和導數(shù)(n)當 x 0時，f(x) 0,即 ex 1 xax2.當x0時，a R；當x0 時，ex2x ax等價于axe 1 x2x記 g(x)x .e 1x2xx (0,+)，則 g '(x)(x 2)ex x 2記 h(x)x(x

11、 2)ex 2 x (0,+ ),則 h'(x) (x 1)ex當 x (0,+ )時，h ''(x)xex 0，所以h'(x) (x 1)ex 1在(0,+ )上單調遞增，且h'(x)h'(0)0，所以h(x) (x 2)ex x 2在(0,+ )上單調遞增，且h(x) h(0)0 ,因此當x (0,+ )時，g'(x)啤x0，從而g(x)ex1 x2一 在(0,+ )上單調遞增.x由洛必達法則有,!叫 g(x)limx .e 1x2xxlim ex 0 2xxlim x 0 2即當x0時,g(x)-，所以當x2(0,+)時，所以g(x

12、)丄，因此a2綜上所述,且 x 0 時，f (x)20成立.5.運用洛必達和導數(shù)解自編題(0,)恒成立，求a的取值范圍.解：應用洛必達法則和導數(shù)當x (o,2)時，原不等式等價于sin x廠3sin x xcosx 2xx3 4 、 x sinxz 記 f(X)3，則 f '(x) x記 g(x) 3sin X xcosx 2x，貝y g'(x) 2cosx xsinx 2 .因為 g”(x) xcosx sinx cosx(x tanx),g'''(x)xsinx 0 ,所以 g''(x)在(0,)上單調遞減，且g''(

13、x)0 ,2所以g'(x)在(0,)上單調遞減，且g'(x)0.因此g(x)在(0,)上單調遞減,2 2且 g(x) 0 ,故 f '(x)啤0，因此xf(x)x sin x在(0,)上單調遞減.x3由洛必達法則有l(wèi)im f(x) lim Xx 0x 0 x1 cosx lim 2 x 0 3xlimx 0 6xcosx limx 06即當x 0時，g(x)16，即有f (X)x (0,)恒成立.13故a 一時，不等式sinx x ax對于6通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應用洛必達法則解決的試題應滿足: 可以分離變量; 用導數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調性; 出

14、現(xiàn)“ 0 ”型式子.6.運用洛必達和導數(shù)解2010年新課標文2010海南寧夏文(21) 已知函數(shù) f(x) x(ex 1) ax2.(I)若f (x)在x 1時有極值，求函數(shù) f (x)的解析式;(n)當x 0時，f(x) 0，求a的取值范圍.解: (I)略(n)應用洛必達法則和導數(shù)0時，f(x) 0，即 x(e，求a的取值范圍.ax 1解：(I)略(n)應用洛必達法則和導數(shù)由題設x 0 ,此時f(X)0. 1) ax2.當0 時，a R;當0 時，x(ex 1)ax2等價于ex1 ax，也即a記 g(x),x (0, x)，則 g'(x)(x 1)ex 1記 h( x)(x 1)ex

15、 1, x(0,)，則 h'(x) xex0,因此 h(x)(x1)ex 1 在(0,)上單調遞增，且h(x)h(0)0，所以 g'(x)凹x0 ,從而g(x)在(0,)上x0 .單調遞增.由洛必達法則有xelim 一x 0 1即當x 0時，g(x)所以g(x) 1，即有a1.綜上所述，當a 1，xf (x)0成立.7.運用洛必達和導數(shù)解2010年大綱理2010全國大綱理(22)(I)證明：當x 1時,設函數(shù)f (x)1 e x.f(x) ；(n)設當 x 0時，f(x)x 1當a 0時，若x當a 0時，當X;0, f(x) ax 1xf(x)，即 1ax 1axX -不成立;

16、1X，1ax0,則a0,則14X等價于r旦ax 1X，即ax 1XXxe e 1Xxe XX記g(x)絲X .e 1Xxe X2x 2，則 g'(X)XX .! 2e 1(xeX/ XX7(eX22x e ).記 h( x) exX2 2 e x，則 h'(x)ex 2x e,h''(x)X x e +e因此，h'(x)ex 2x e x在(0,)上單調遞增,且 h'(0)0 ,所以h'(x)即 h(x)在(0,)上單調遞增，且h(0)0,所以h(x) 0.因此 g '(X)= x(xe x)Xe訥(X)0 ,所以g(x)在(0,

17、)上單調遞增.由洛必達法則有l(wèi)im g(x) limx 0x 0xXxe e 1Xxe XX00二 lXm0 2e-XXe xeXXi xe1，即當x 0時,21 1g(x)2，即有 g(x)1所以a -綜上所述，a的取值范圍是2(E.8.運用洛必達和導數(shù)解2008年全國2理設函數(shù)f (x) sinX2 cosx(I)求f(X)的單調區(qū)間;(n)如果對任何f (x) < ax，求a的取值范圍.解：(I) f(X)(2 cosx)cosx sin x( sin x)2(2 cos x)2cos X 1(2 cosx)當 2k n X3當 2k n 3 X32k n2k n¥( k Z )時,34 n(k Z )時,3cosxcosx1-,即卩f(X)21,即卩f(X)2因此f(x)在每一個區(qū)間 2k2 冗,2k n32 n三匸(k Z )是增函數(shù),3f (x)在每一個區(qū)間 2knjn3(k Z )是減函數(shù).(n)應用洛必達法則和導數(shù)f(x)sin x2ax cosx則 sinx2 cosxax等價于asin xx<2，即 g(x) cosx)sin xx(2 cosx)g'(x)2xcosx 2sin X sin xcosx x2 2x (