數(shù)值分析求解非線性方程根的二分法,簡單迭代法和牛頓迭代法

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆涨蠼夥蔷€性方程根的二分法、簡單迭代法和牛頓迭代法，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)比較兩 種方法的收斂速度。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、編寫二分法、牛頓迭代法程序，并使用這兩個程序計(jì)算f(x)x e 2 0在0, 14 4 區(qū)間的解，要求誤差小于10 ，比較兩種方法收斂速度。2、在利率問題中，若貸款額為 20萬元，月還款額為2160元，還期為10年，則年 利率為多少？請使用牛頓迭代法求解。3、由中子遷移理論，燃料棒的臨界長度為下面方程的根cotx= (x2- 1)/2x，用牛頓迭代法求這個方程的最小正根。4、用牛頓法求方程f(x) = x3 - 11x2 + 32x- 28 = 0的根，精確至8位有效數(shù)字。

2、比 較牛頓迭代法算單根和重根的收斂速度，并用改進(jìn)的牛頓迭代法計(jì)算重根。實(shí)驗(yàn)程序X第 1 題：f(x)x e 2 0 區(qū)間0,1函數(shù)畫圖可得函數(shù)零點(diǎn)約為0.5。畫圖函數(shù):fun cti onTest1()% f(x) 示意圖,f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1;y = r + exp(ij - 2P lot(r, y);grid on二分法程序:計(jì)算調(diào)用函數(shù)： c,nu m=bisect(0,1,1e-4)fun cti on c,n um=bisect(a,b,delta)%lnp ut-a,b是取值區(qū)間范圍%Out put -c牛頓迭代法

3、最后計(jì)算所得零點(diǎn)值-num是迭代次數(shù)%-delta是允許誤差ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb0return ;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)deltan um=k;%num為迭代次數(shù)endbreak ;%-p0是零點(diǎn)值end c=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛頓迭代法程序:計(jì)算調(diào)用函數(shù)：c,nu m=newt on (fu

4、 nc1,0.5,1e-4)調(diào)用函數(shù):fun cti ony = fun c1(x) y = x + exp(x) - 2;end迭代算法:fun cti on c,num=n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func是運(yùn)算公式-delta是允許誤差%Out put -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值-num是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;p1= p0- y0/dy0;err=abs (p1-p 0);p0=p1;if (errvdelta)num=k; %n

5、um為迭代次數(shù) break ;end end c=p0;第2題:由題意得到算式：200000 ?(1 + ?10 - 2160 ?12 ?10 = 0計(jì)算調(diào)用函數(shù)：c,nu m=newto n(fun c2,0.02,1e-8)程序：先用畫圖法估計(jì)出大概零點(diǎn)位置在0.02附近。畫圖程序:fun ctionTest2() % f(x) 示意圖，f(x) = 200000*(1+x)A10-2160*12*10; f(x) = 0 r = linsp ace(0,0.06, 100);y = 200000*(1+r)A10-2160*12T0;plot(r, y);grid on調(diào)用函數(shù):fun

6、cti ony=fu nc2(r) y=200000*(1+r)A10-2160*12*10;end牛頓迭代法算法程序:fun cti onc,n um =n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func是運(yùn)算公式-delta是允許誤差%Out put -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值-num是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;p1= p0- y0/dy0;err=abs (p1-p 0);p0=p1;if (errvdelta)n um=k;break;end e

7、nd c=p0;%-num是迭代次數(shù)第 3 題：cot ?= (?八 1)/2?求最小正數(shù)解計(jì)算調(diào)用函數(shù)： c,nu m=newt on (fu nc3, 1 ,1e-8)程序：先用畫圖法估計(jì)出最小正解位置在 1到2之間畫圖程序:fun ctionTest3() % f(x) 示意圖，f(x) = cot(x)-(xA2-1)./(2.*x); f(x) = 0，-6,6);ezplot( cot(x)-(xA2-1)./(2.*x) grid on調(diào)用函數(shù):fun cti ony=fu nc3(x) y=cot(x)-(x.2-1)./(2.*x);end牛頓迭代法算法程序:fun cti

8、onc,n um =n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func是運(yùn)算公式-p0是零點(diǎn)值 -delta是允許誤差%Out put -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;p1= p0- y0/dy0;err=abs (p1-p 0);p0=p1;if (errvdelta)n um=k;break;end end c=p0;精確至8位有效數(shù)字第 4 題：f(x) = x3 - 11x2 + 32x - 28 = 0根據(jù)畫圖圖像可得函數(shù)有一個重根

9、在區(qū)間1,3和另一個根在區(qū)間6,8。計(jì)算調(diào)用函數(shù)：重根：c,n um=newt on (fu nc4, 1 ,1e-8)另外的單根： c, nu m=newto n(fun c4, 6 ,1e-8)畫圖程序:fun cti onTest4() % f(x) 示意圖，f(x) = xA3-11.*xA2+32.*x-28; f(x) = 0 r = 0:0.01:8;y =匚人3-11.*匚人2+32.*卜28;P lot(r, y);grid on調(diào)用函數(shù):fun cti onfun c4(x) y=x.3-11.*x.2+32.*x-28;end牛頓迭代法算法程序:fun cti on c,

10、num=n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func是運(yùn)算公式-p0是零點(diǎn)值%Out put -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值%-delta是允許誤差-num是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:100yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;if (dy0=0)c= vp a( p0,8);n um=k;break;elsep1= p0-y0/dy0;err=abs( p1-p0);p0=p1;if (errvdelta)n um=k;break;endend end c= vp a( p0,8);改進(jìn)的牛頓算

11、法程序:fun cti on c,num=n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func是運(yùn)算公式-p0是零點(diǎn)值 -delta是允許誤差%Out put -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值-num是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:100y0=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;if (dy0=0)c= vp a( p0,8);n um=k;break;elsep1= p0-2*y0/dy0;%根據(jù)重根計(jì)算時，改進(jìn)Newt on法的收斂速度，可以采用在迭代函數(shù)中乘上重根數(shù)的方法進(jìn)行改善。err=abs( p1-pO

12、);p0=p1；if (errvdelta)n um=k;break;endendendc=v pa(p 0,8);四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析第1題:根據(jù)圖片可以看出函數(shù)零點(diǎn)的值在0.4與0.5之間，牛頓迭代法時取0.5作為迭代初值。第2題:根據(jù)圖片可以看出函數(shù)零點(diǎn)的值在0.02與0.03之間，可采用0.02作為迭代初值。第3題:根據(jù)圖片可以看出函數(shù)最小正數(shù)零點(diǎn)的值在1與2之間，在使用牛頓迭代法時可以采用 1為迭代初值。第4題:根據(jù)圖片可以看出函數(shù)重根為 2，另一單根為7。在使用迭代法時刻采用1和6為初值進(jìn) 行計(jì)算。五、實(shí)驗(yàn)結(jié)論通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出， 二分法，簡單迭代法和牛頓迭代法三種算法中，牛頓迭代法在選取適合值進(jìn)行代入的情況下能得到較好的收斂效果。第1題:二分法實(shí)驗(yàn)結(jié)果：c =0.4429 ，num =11牛頓迭代法實(shí)驗(yàn)結(jié)果：c =0.4429 ，num =3根據(jù)結(jié)果可以看出兩者計(jì)算結(jié)果相同，牛頓迭代法迭代次數(shù)為 3，二分法的迭代次數(shù)為11，比較而言迭代次數(shù)牛頓迭代法比二分法小得多。第2題實(shí)驗(yàn)結(jié)果：零點(diǎn) c = 0.0263 ，num = 4通過畫圖后能對計(jì)算結(jié)果有一個較好的估計(jì)，從而在最后獲得結(jié)果，并且迭代次數(shù)也 較少。第3題實(shí)驗(yàn)結(jié)果：零點(diǎn) c = 1.3065 , num = 5。cot(x)函數(shù)在n /2處無限值，畫圖時注意使用符號函數(shù)ezp