引力場(chǎng)中的高斯定理

1、引力場(chǎng)中的高斯定理（偏引力和靜電力都是有勢(shì)力， 相應(yīng)的引力勢(shì)和靜電勢(shì)都滿足三維空間里最簡(jiǎn)單的二階 微分）方程一一拉普拉斯方程 .用e代表引力勢(shì)或者靜電勢(shì)場(chǎng)，它在三維空間里所滿足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（自汶+自82+勸自2）e （x,y,z）=o.由于相應(yīng)的靜電力和引力等于勢(shì)的微分（的負(fù)值），它的大小便與半徑r 成反比了，即 e (r )x 1/r,F(r)=- d e2/dr OC 1/r由于萬(wàn)有引力定律與 Coulombs law本質(zhì)是一樣的，因此引力場(chǎng)中也存在高斯定理，并且與萬(wàn)有引力定律等價(jià)I、預(yù)備知識(shí)引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)：引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)是一個(gè)向量，其大小等于1千克的質(zhì)點(diǎn)在該處所受引力的大小,方

2、向與該質(zhì)點(diǎn)在該處所受引力的方向一致引力線：如果在引力場(chǎng)中出一些曲線， 使這些曲線上每一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)方向一致，那么所有這樣可以作出的曲線叫做引力線引力線數(shù)密度：在引力場(chǎng)中任一點(diǎn)取一小面元 S與該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向垂直，設(shè)穿過(guò) S的引力線有 N根，則比值 N/ S叫做該點(diǎn)的引力線數(shù)密度，它的意義是通過(guò)該點(diǎn)單位垂直截面的引力線根數(shù)，規(guī)定引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)3 N/ S.引力線性質(zhì)：引力線其自無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 止與該質(zhì)點(diǎn)，引力線在宇宙中處處存在.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的 任何兩條引力線不會(huì)相交，不形成閉合線引力通量：通過(guò)一面元S的引力通量為該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小 E與厶S在垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的投影面積 S = Scos 0的乘積.n

3、、通過(guò)一個(gè)任意閉合曲面S的引力通量0 =4 n GE m,與閉合曲面外的引力質(zhì)量無(wú)證明：（1）通過(guò)包括質(zhì)點(diǎn) m的同心球面的引力通量都等于4 n Gm.以質(zhì)點(diǎn)m所在處為中心以任意半徑r作一球面.根據(jù)萬(wàn)有引力定律,在球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小一樣E=G m /r2,場(chǎng)強(qiáng)的方向沿半徑向外呈輻射狀.在球面上任意取一面元dS,其外法線向量n也是沿著半徑方向向外的，即n和E間夾角0 =0,所以通過(guò)dS的引力通量為d 0 =EcosJ G20 dS=EdS= G m /r 2dS,通過(guò)整個(gè)閉合球面的引力通量為0 =dS= G m /r 2x 4n r2=4 n Gm.（2）通過(guò)包圍質(zhì)點(diǎn)的任意閉合曲面S的引力通量都等

4、于 4 n Gm在閉合面S內(nèi)以質(zhì)點(diǎn)m所在處0為中心作一任意半徑的球面S,根據(jù)（1）通過(guò)此球面的引力通量等于4 n Gm.由于引力場(chǎng)分布的球?qū)ΨQ性，這引力通量均勻地分布在 4 n球面度的立體角內(nèi)，因此在每個(gè)元立體角 dQ內(nèi)的引力通量是 Gm.如果把這個(gè)立體角的錐面延長(zhǎng),使它在閉合面 S上截出一個(gè)面元dS.設(shè)dS到質(zhì)點(diǎn)m的距離為r, dS的法線n與場(chǎng)強(qiáng)E的夾角為0，則通過(guò)dS的引力通量 d 0 =Ecos 0 dS=Gm/r2cos 0 dS, cos 0 dS= dS是dS在垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的投影面積，所以d 0 =EdS = G m /r 2dS = GmdQ .所以通過(guò)面元 dS的引力通量和通

5、過(guò)球面S上與dS對(duì)應(yīng)的面元dS的引力通量相等，所以通過(guò)整個(gè)閉合面S的引力通量都必定和通過(guò)球面 S的引力通量一樣，等于4n Gm.（3 ）通過(guò)不包括質(zhì)點(diǎn)的任意閉合面S的引力通量恒為 0.因?yàn)閱蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力線是輻向的直線，它們?cè)诳臻g連續(xù)不斷.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在閉合面S之外時(shí)，從某個(gè)面元dS上進(jìn)入閉合面的引力線必然從另外一個(gè)面元dS上穿出，而這一對(duì)面元dS和dS對(duì)質(zhì)點(diǎn)所張的立體角相等，通過(guò)dS的引力通量和通出dS的引力通量的代數(shù)和為0,通過(guò)整個(gè)閉合面 S的引力通量是通過(guò)這樣一對(duì)對(duì)面元的引力通量之和，當(dāng)然也是等于（4）多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力通量等于它們單獨(dú)存在時(shí)的引力通量的代數(shù)和設(shè)物體有m.m2.m3m個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其中

6、第1到第n個(gè)被高斯面S所包圍，第n+1到第k個(gè)在高斯面之外，則 k個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)存在時(shí)通過(guò) S的引力通量為0 =0 1+ 0 2+ 0 3+ 0 n+0 n+1+ +0 k = 0 1+ 0 2+ 0 3+ 0 n=4 n G(m+ m2+ mn)= 4 n GE m.證畢.根據(jù)上面的結(jié)論可以證明，假設(shè)在地球鉆一小孔，穿過(guò)地心，在小孔處放以不帶電的粒子，粒子將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)川、引力場(chǎng)中的高斯定理的應(yīng)用F面的結(jié)論由容曉暉推導(dǎo)得出（1 ）.單個(gè)質(zhì)點(diǎn):4兀g。r （無(wú)限遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）；（2）.均勻質(zhì)量球殼:_g =2當(dāng) rR 時(shí),4兀go r（相當(dāng)于質(zhì)量集中在球殼中心）（3）.均勻質(zhì)量的實(shí)心球體：當(dāng) rR時(shí)

7、,4兀g0 r （相當(dāng)于質(zhì)量集中在球體中心）；（4）.無(wú)限長(zhǎng)的棒:面（一個(gè)）：（6） 兩個(gè)無(wú)限大的平行平面:面密度）求萬(wàn)有引力場(chǎng)中的引力位,1.單個(gè)質(zhì)點(diǎn):2.均勻質(zhì)量球殼:cp化0 r3.2兀go r兩板之間或引力位差（幾表示質(zhì)量的線密度）；（5）.無(wú)限大的平g =g（b表示質(zhì)量的（萬(wàn)有引力的位，或稱為重力勢(shì)能位）4兀gr （無(wú)限遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）當(dāng) rR時(shí),（無(wú)限遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）均勻質(zhì)量的實(shí)心球體:當(dāng)rR時(shí),/ 22、1 m3 (r - R )-8応g R4兀g R，當(dāng) rR 時(shí),化 r（無(wú)限遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）4.無(wú)限長(zhǎng)的棒:c亦?2）2兀g r2 （幾表示質(zhì)量的線密度）；5.無(wú)限大的平面（一個(gè)）：r26.兩個(gè)無(wú)限大的平行平面： 兩板之間g （兩板之間為零勢(shì)能點(diǎn)），兩板兩（外）12=(r1 -r2)go（b表示質(zhì)量的面密度）筆者認(rèn)為類似于靜電場(chǎng)，在引力場(chǎng)中也可以